Fisica classica/Onde elettromagnetiche

Onde Elettromagnetiche

Dalle Equazioni di Maxwell all'equazione delle onde

Si parte dalle equazioni di Maxwell in forma differenziale viste precedentemente e si considera il caso in cui non vi sono cariche libere e non vi sono correnti elettriche. Trattiamo l'elettromagnetismo in assenza di materia.

${\vec {\nabla }}\cdot {\vec {E}}=0$

(1)

${\vec {\nabla }}\cdot {\vec {B}}=0$

(2)

${\vec {\nabla }}\times {\vec {E}}=-{\frac {\partial {\vec {B}}}{\partial t}}$

(3)

${\vec {\nabla }}\times {\vec {B}}={\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial {\vec {E}}}{\partial t}}$

(4)

Se facciamo il rotore della eq. 3 e sostituiamo al II membro l'eq.4 otteniamo:

${\vec {\nabla }}\times {\vec {\nabla }}\times {\vec {E}}=-{\frac {\partial }{\partial t}}{\vec {\nabla }}\times {\vec {B}}=-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}{\vec {E}}}{\partial t^{2}}}$

(5)

Ma esiste una identità vettoriale, dato un qualsiasi campo vettoriale ${\vec {A}}\$

${\vec {\nabla }}\times {\vec {\nabla }}\times {\vec {A}}==\nabla \left(\nabla \cdot {\vec {A}}\right)-\nabla ^{2}{\vec {A}}\$

Per cui il primo membro della equazione 5 può essere trasformato grazie a questa identità e al fatto che vale l'eq.1. Quindi l'eq. 5 diviene:

$\nabla ^{2}{\vec {E}}={\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}{\vec {E}}}{\partial t^{2}}}$

(6)

Senza nessun mezzo siamo arrivati a trovare che le equazioni di Maxwell permettono di avere un campo elettrico che si propaga nello spazio con una legge eguale a quella di tutte le onde. Analogamente dalla eq. 4 facendo il rotore e sostituendo l'eq. 3 al secondo membro:

${\vec {\nabla }}\times {\vec {\nabla }}\times {\vec {B}}={\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial }{\partial t}}{\vec {\nabla }}\times {\vec {E}}=-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}{\vec {B}}}{\partial t^{2}}}$

(7)

Per cui il primo membro della eq.7 può essere trasformato grazie alla identità vettoriale di prima ed al fatto che vale l'eq.2. Quindi l'eq. 7 diviene:

$\nabla ^{2}{\vec {B}}={\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}{\vec {B}}}{\partial t^{2}}}$

(8)

Ricordiamo come:

$c={1 \over {\sqrt {\mu _{o}\varepsilon _{o}}}}=2.99292458\times 10^{8}ms^{-1}\$

è la velocità della luce nel vuoto.

La conclusione è che dalle equazioni di Maxwell è possibile ricavare un campo elettromagneico che si propaga nel vuoto senza l'intervento di nessun mezzo. Fino al XIX secolo si ipotizzava che esistesse un mezzo (molto rigido e poco denso) attaverso cui si propagavano le onde elettromagnetiche: l'etere.

Non tutte le proprietà delle onde elettromagnetiche sono state ancora messe in luce, nel seguito cercheremo di evidenziare meglio tali proprietà.

Proprietà elementari delle onde elettromagnetiche

La prima proprietà da mettere in evidenza è la natura trasversale delle onde elettromagnetiche infatti apparentemente dalle eq. 6 ed 8 abbiamo 6 componenti indipenti del campo. In realtà se consideriamo un riferimento cartesiamo e scegliamo localmente la direzione dell'asse delle $x\$ coincidente con la direzione di propagazione. Se la regione di spazio è sufficiente piccola solo le derivate spaziali nella direzione di propagazione sono nulle. In poche parole stiamo facendo l'ipotesi che l'onda sia localmente piana. Con queste ipotesi sempre verificabili in un ambito locale la eq. 1 diventa:

${\frac {\partial E_{x}}{\partial x}}=0$

(9)

La eq. 2:

${\frac {\partial B_{x}}{\partial x}}=0$

(10)

Le tre componenti dell'eq. 3:

$0=-{\frac {\partial B_{x}}{\partial t}}$

(11)

${\frac {\partial E_{z}}{\partial x}}=-{\frac {\partial B_{y}}{\partial t}}$

(12)

$-{\frac {\partial E_{y}}{\partial x}}=-{\frac {\partial B_{z}}{\partial t}}$

(13)

Mentre le tre componenti dell'eq. 4

$0={\frac {\partial E_{x}}{\partial t}}$

(14)

${\frac {\partial B_{z}}{\partial x}}={\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial E_{y}}{\partial t}}$

(15)

$-{\frac {\partial B_{y}}{\partial x}}={\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial E_{z}}{\partial t}}$

(16)

L'eq. 9 e 14 mostrano come la componente del campo elettrico nella direzione del moto non varia nello spazio e nel tempo, analogamente l'eq. 10 e 11 indicano che la componente del campo magnetico nella direzione del moto non varia nello spazio e nel tempo. In definitiva le uniche onde elettromagnetiche possibili sono trasversali cioè le uniche componenti da considerare sono quelle nella direzione $y\$ e $z\$. Inoltre le eq. 12 e 13 (le eq. 15 e 16 non aggiungono niente) stabiliscono delle precise relazioni tra le componenti mutuamente perpendicolari del campo elettrico e magnetico.

Infatti se ad esempio l'espressione della componente $z\$ della parte elettrica e magnetica dell'onda elettromagnetica mutuamente perpendicolari valgono:

$E_{z}=f(x\pm ct)\$ $B_{y}=g(x\pm ct)\$

Il segno $\pm \$ per indicare una onda regressiva o progressiva. Definendo $\xi =x\pm ct\$, $f'=df/d\xi \$, $g'=dg/d\xi \$. Sostituita nella eq. 12:

$f'=\mp cg'$

Questa non è altro che una equazione differenziale che integrata seplicemente porta a:

${\frac {E_{z}}{B_{y}}}=\mp c$

A meno di una costante additiva (che non ha interesse nel caso delle onde, l'esistenza di onde non nega la possibilità che nel vuoto ci siano campi elettrici e magnetici costanti). Analogamente usando la eq. 13:

${\frac {E_{y}}{B_{z}}}=\mp c$

Questo indica che in una onda elettromagnetica vi sono solo due componenti indipendenti del campo ad esempio le componenti perpendicolari elettriche o le due componenti parallele elettriche e magnetiche.

Onde Piane

Le più semplici onde (non solo elettromagnetiche) sono le onde piane monocromatiche. Lontani dalle sorgenti delle onde tutte le onde sono scomponibili nella somma di tali onde. Infatti nella trattazione fatta abbiamo ignorato come si producono le onde elettromagnetiche cioè le sorgenti. Questo è un argomento a parte che sarà trattato in seguito. Una onda elettromagnetica piana viene rappresentata per la parte elettrica da:

${\vec {E}}({\vec {r}},t)={\vec {E}}_{o}\cos({\vec {k}}\cdot {\vec {r}}-\omega t+\varphi )$

Dove ${\vec {E}}_{o}\$ è detta l'ampiezza dell'onda e nelle onde piane è costante, $\varphi \$ è la fase dell'onda, ${\vec {k}}\$ è il vettore d'onda che come per tutte le onde è diretto nella direzione di propagazione.

La parte magnetica dell'onda piana si ricava dalla relazione appena vista e qui indicata in maniera sintetica, indicando con ${\vec {c}}\$ il vettore velocità di propagazione dell'onda:

${\vec {B}}({\vec {r}},t)={\frac {1}{c^{2}}}{\vec {c}}\times {\vec {E}}({\vec {r}},t)\$

Spesso si preferisce usare la rappresentazione esponenziale (indicando come si fà sempre in elettromagnetismo l'unità immaginaria con $j={\sqrt {-1}}\$):

${\vec {E}}({\vec {r}},t)={\vec {E}}_{o}e^{{\vec {k}}\cdot {\vec {r}}-\omega t+\varphi }$

Si dimostra mediante la formula di Eulero che la parte reale della rappresentazione esponenziale di una onda piana coincide con la rappresentazione sinusoidale. Una onda piana è una onda che si propaga senza attenuazione, consrvando quindi la sua ampiezza, non sfasandosi che in maniera assolutamente prevedibile è chiaramente una astrazione utile per la trattazione generale.

Onde Sferiche

Consideriamo un altro caso importante quello in cui la sorgente e di conseguenza l'onda abbia una simmetria sferica. In questo caso l'equazione delle onde va riscritta in coordinate polari quindi ripartendo dalla equazione delle onde. Considerando la componente elettrica (ma sarebbe stata identico considerare la componente magnetica):

$\nabla ^{2}{\vec {E}}({\vec {r}},t)={\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}{\vec {E}}({\vec {r}},t)}{\partial t^{2}}}\$

Se l'onda è sferica, possiamo sostituire ${\vec {E}}({\vec {r}},t)\$ con ${\vec {E}}(r,t)\$, cioè è indipendente da $\theta \$ e $\phi \$, ma anche l'espressione di $\nabla ^{2}\$ si semplifica trasformando l'equazione delle onde in una forma unidimensionale:

${\frac {\partial ^{2}[r{\vec {E}}(r,t)]}{\partial r^{2}}}={\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}[r{\vec {E}}(r,t)]}{\partial t^{2}}}\$

La soluzione più semplice, formalmente simile ad un'onda piana unidimensionale è:

$r{\vec {E}}(r,t)={\vec {A}}_{o}e^{j(kr-\omega t+\varphi )}\$

Quindi:

${\vec {E}}(r,t)={\frac {{\vec {A}}_{o}}{r}}e^{j(kr-\omega t+\varphi )}\$

La grandezza costante vettoriale ${\vec {A}}_{o}\$ ha le dimensioni di campo elettrico per una lunghezza, quindi allontanandosi l'ampiezza del campo elettrico va con l'inverso della distanza dal centro della distribuzione. La caratteristica trasversale viene ovviamente mantenuta per cui la direzione di ${\vec {A}}_{o}\$ è perpendicolare alla direzione radiale.

Il vettore di Poynting

L'equazioni di Maxwell ammettono come soluzioni le onde elettromagnetiche, le quali per la loro propagazione non necessitano di nessun mezzo.

Le onde elettromagnetiche trasportano energia come è chiaro nella esperienza pratica, e vedremo che posseggono anche quantità di moto. Per quantificare l'energia trasportata facciamo ricorso alle proprietà elementari della materia poco densa, quindi ci riferiamo a gas rarefatti o plasmi. La trattazione potrebbe essere fatta in maniera più generale, ma si sarebbe dovute considerare la forma più generale delle equazioni di Maxwell in presenza di materia e questo appesantisce la trattazione. La materia ci serve qui per prevedere la presenza nel volume $T\$ attraversato dall'onda elettromagnetica di cariche libere $q\$ indipendenti l'una dall'altra. La forza di Lorentz agente su ogni singola carica $q\$ con velocità istantanea ${\vec {v}}(t)\$ sarà:

${\vec {F}}=q[{\vec {E}}(t)+{\vec {v}}(t)\times {\vec {B}}(t)]$

(17)

Indichiamo genericamente il campo elettromagnetico con ${\vec {E}}(t)\$ e ${\vec {B}}(t)\$. La potenza media dissipata (la linea orizzontale sopra la formula indica tale operazione di media) da tale campo elettrico e magnetico variabile nel tempo sarà:

${\overline {W}}={\overline {q[{\vec {E}}(t)+{\vec {v}}(t)\times {\vec {B}}(t)]\cdot {\vec {v}}(t)}}={\overline {q{\vec {E}}(t)\cdot {\vec {v}}(t)}}$

(18)

Essendo ovviamente $[{\vec {v}}(t)\times {\vec {B}}(t)]\cdot {\vec {v}}(t)\equiv 0\$. La potenza totale mediamente dissipata nel volume $T\$ dove sono presenti $dN=nd\tau \$ cariche, $n\$ è il numero di cariche per unità di volume ed $d\tau \$ è l'elemento di volume di $T\$. L'operazione di integrazione se il volume è sufficientemente grande fa mediare la potenza, per cui elimino il segno di media:

${\overline {W}}=\int _{N}q{\vec {E}}(t)\cdot {\vec {v}}(t)dN=\int _{T}nq{\vec {E}}(t)\cdot {\vec {v}}(t)d\tau =\int _{T}{\vec {E}}\cdot {\vec {J}}d\tau$

(19)

Tale equazione rappresenta una estensione della legge di Joule in forma differenziale. Dalla IV equazione (11) di Maxwell

$W={\frac {1}{\mu _{o}}}\int _{T}{\vec {E}}\cdot ({\vec {\nabla }}\times {\vec {B}})d\tau -{\frac {1}{c^{2}}}\int _{T}{\vec {E}}(t)\cdot {\frac {\partial {\vec {E}}}{\partial t}}$

(20)

Date due grandezze vettoriali, in questo caso ${\vec {E}}(t)\$ e ${\vec {B}}(t)\$, si può dimostrare esplicitando la divergenza ed il rotore che:

${\vec {E}}\cdot ({\vec {\nabla }}\times {\vec {B}})=-{\vec {\nabla }}\cdot ({\vec {E}}\times {\vec {B}})+{\vec {B}}\cdot ({\vec {\nabla }}\times {\vec {E}})$

sostituendo l'ultima eguaglianza vettoriale nella eq.20 si ha che:

$W=-{\frac {1}{\mu _{o}}}\int _{T}{\vec {\nabla }}\cdot ({\vec {E}}\times {\vec {B}})d\tau +{\frac {1}{\mu _{o}}}\int _{T}{\vec {B}}\cdot ({\vec {\nabla }}\times {\vec {E}})d\tau -{\frac {1}{c^{2}}}\int _{T}{\vec {E}}(t)\cdot {\frac {\partial {\vec {E}}}{\partial t}}$

(21)

Se sostituiamo nell'eq.21 la legge di Faraday in forma differenziale (10) di Maxwell ${\vec {\nabla }}\times {\vec {E}}=-{\frac {\partial {\vec {B}}}{\partial t}}\$ si avrà che la potenza media dissipata nel volume vale:

$W=-{\frac {1}{\mu _{o}}}\int _{T}{\vec {\nabla }}\cdot ({\vec {E}}\times {\vec {B}})d\tau -{\frac {1}{\mu _{o}}}\int _{T}{\vec {B}}\cdot {\frac {\partial {\vec {B}}}{\partial t}}d\tau -{\frac {1}{c^{2}}}\int _{T}{\vec {E}}(t)\cdot {\frac {\partial {\vec {E}}}{\partial t}}$

(22)

Il primo integrale, mediante il teorema di Gauss, si può trasformare in un integrale esteso alla superficie $S\$ che delimita il volume $T\$, mentre invertendo il segno di derivata temporale con il segno di integrale nel secondo e terzo termine e raggruppando si ha che:

$W=-\int _{S}({\frac {1}{\mu _{o}}}{\vec {E}}\times {\vec {B}})\cdot {\vec {dS}}-{\frac {1}{2}}{\frac {\partial }{\partial t}}\left[\int _{T}\left({\frac {B^{2}}{\mu _{o}}}+\epsilon _{o}E^{2}\right)d\tau \right]$

(23)

Il secondo termine è la variazione di energia elettrica e magnetica all'interno del volume (quindi niente di nuovo rispetto alla elettrostatica e la magnetostatica), mentre la grandezza nuova è il vettore di Poynting:

${\vec {I}}={\frac {1}{\mu _{o}}}{\vec {E}}\times {\vec {B}}\$

che rappresenta la potenza trasportata dall'onda elettromagnetica per unità di superficie . Come si vede la direzione di ${\vec {I}}\$ , essendo mutuamente perpendicolare ai vettori trasversali, è lungo la direzione di propagazione dell'onda stessa. Le dimensioni del vettore di Poynting sono quindi quelle di una energia diviso un tempo ed una lunghezza al quadrato. La massima potenza dissipabile da un'onda elettromagnetica per ragioni di conservazione dell'energia è ovviamente proprio l'intensità del vettore di Poynting. Se si ha una sorgente puntiforme di onde elettromagnetiche, quindi l'onda ha una simmetria sferica, mentre l'intensità dei campi elettrici e magnetici dell'onda diminuiscono con $1/r\$, l'intensità del vettore di Poynting diminuisce con il quadrato della distanza dalla sorgente. Questo garantisce che, se non viene assorbita l'onda, in condizioni stazionarie in tutte le sfere concentriche vi sia istante per istante la stessa energia e quindi l'espressione implica la conservazione dell'energia. Notiamo come nel ragionamento fatto sia stata la parte elettrica dell'onda che ha compiuto lavoro sulle cariche dissipando energia.

La quantità di moto trasportata da un'onda elettromagnetica, potrebbe in maniera formale ricavarsi in forma generale come è stato fatto per ricavare l'energia: il ragionamento sarebbe complicato dal fatto di dovere introdurre il tensore di Maxwell. Si può semplificare il ragionamento considerando il caso microscopico per un'onda progressiva che dissipa parte della energia interagendo con un insieme di cariche indipendenti. Questa ultima ipotesi è eguale a quella fatta precedente per ricavare l'energia media dissipata da un'onda elettromagnetica.

Quindi se consideriamo una superficie normale alla direzione di propagazione dell'onda $\delta I\$ in cui è presente una carica $\Delta Q\$ e se da tale superficie viene assorbita una frazione $\Delta |I|\$ della onda elettromagnetica che l'attraversa. Le cariche mediamente acquisteranno per effetto di tale assorbimento una velocità nella direzione istantanea del campo elettrico:

$\Delta |I|\Delta S=\Delta Q|v_{E}||E|\$

(24)

La forza media esercitata da tale onda sarà data da:

${\overline {\vec {F(t)}}}=\Delta Q{\overline {\vec {E(t)}}}+q{\overline {{\vec {v(t)}}\times {\vec {B(t)}}}}=\Delta Q{\overline {{\vec {v(t)}}\times {\vec {B(t)}}}}\$

(25)

Ma ${\vec {v}}(t)={\vec {v}}_{E}\$, e ${\vec {B}}={\frac {1}{c^{2}}}{\vec {c}}\times {\vec {E}}$, quindi possiamo scrivere che:

$|{\vec {v(t)}}\times {\vec {B(t)}}|={\frac {|v_{E}||E|}{c}}\$

con direzione eguale a quella dell'onda elettromagnetica stessa, quindi sostituendo tutte queste espressioni nella eq. 25 si ha che la pressione $p\$ vale:

$p={\frac {\overline {\vec {F(t)}}}{\Delta S}}=\Delta Q{\frac {|v_{E}||E|}{c\Delta S}}\$

Ma se sostituiamo in questa espressione la eq.24 si ha che:

$p={\frac {|\Delta I|}{c}}\$

(26)

Quindi la pressione esercitata dalla radiazione è pari alla variazione di intensità dell'onda elettromagnetica stessa. Quindi se venisse assorbita totalmente la pressione eserciata sarebbe:

$p={\frac {|I|}{c}}\$

Se invece fosse riflessa totalmente la pressione esercitata sarebbe:

$p={\frac {2|I|}{c}}\$

Campi elettromagnetici nei dielettrici

Se si riscrivono le equazioni di Maxwell in presenza di materia, immaginando che non vi siano nè cariche libere nè correnti di conduzione, si arriva anche nei dielettrici, cioè i materiali isolanti, ad una equazione delle onde:

$\nabla ^{2}{\vec {E}}={\frac {1}{c'^{2}}}{\frac {\partial ^{2}{\vec {E}}}{\partial t^{2}}}$

(26)

La differenza è che la velocità della luce ha un valore inferiore a quello del vuoto:

$c'={\frac {c}{n}}\$

Infatti $n\$ chiamato indice di rifrazione è sempre maggiore di 1. Finché le onde elettromagnetiche hanno frequenze basse ( minori di qualche 100 di MHz) $n\$ è semplicemente

$n={\sqrt {\epsilon _{r}\mu _{r}}}\$

Dove $\epsilon _{r}$ è la costante dielettrica relativa (sempre maggiore di 1) e $\mu _{r}\$ è detta permeabiltà magnetica relativa, che nella maggior parte delle sostanze è prossima all'unità. Quindi se consideriamo, ad esempio, l'acqua la quale ha una costante dielettrica relativa pari a 80, la velocità della luce per quanto riguarda le basse frequenze è circa 1/9 di quella nel vuoto.

A frequenze più alte, se si tiene in considerazione la spiegazione microscopica della costante dielettrica relativa, bisogna introdurre la polarizzazione del dielettrico. La Polarizzazione non risponde istantaneamente al campo elettrico presente localmente. Inoltre vi è un assorbimento delle onde elettromagnetiche da parte del dielettrico. Per tenere in conto di entrambi gli aspetti si introduce un indice di rifrazione complesso:

${\tilde {n}}=n-i\kappa$

Dove la parte reale determina la velocità (di fase) dell'onda alla frequenza considerata, mentre κ chiamato coefficiente di estinzione, dà un'idea di quanta parte dell'onda viene assorbita nell'attraversamento del mezzo. Sia n che κ dipendono dalla frequenza.

La variazione di n va sotto il nome di dispersione, fenomeno molto evidente in ottica ma presente in vasto intervallo di frequenze. L'equazione microscopica che descrive l'azione del campo elettrico sui dipoli elementari di cui è fatta la materia è simile a quella di un oscillatore armonico forzato con un termine di smorzamento. Tale sistema ammette una frequenza di risonanza, al crescere della frequenza, fino a quando il materiale ha un piccolo assorbimento κ, n tende a crescere. In corrispondenza della frequenza di risonanza dove κ è massimo n può diventare inferiore all'unità. In pratica si ha che ad esempio l'acqua alle frequenze ottiche ha un indice di rifrazione di appena 1.33.

Un semplice modello a livello atomico rende conto di cosa avviene. Consideriamo un atomo di numero atomico $Z\$, immaginato come una sfera. In assenza di campo elettrico il centro delle cariche positive: nucleo coincide con il centro delle cariche negative (la distribuzione degli elettroni). Se applichiamo un campo elettrico esterno ${\vec {E}}\$ avrò che l'atomo si deformerà (molto debolmente) in quanto il campo elettrico esercita una azione eguale ed opposta sul nucleo e sugli elettroni: la deformazione $\delta \$ sarà proporzionale al campo elettrico applicato con una costante di proporzionalità $\alpha \$ dipendente dall'atomo considerato, in maniera tale che

$\alpha {\vec {\delta }}=Ze{\vec {E}}\$

Dove $e\$ è la carica elementare. Conoscendo la massa dell'atomo possiamo definire con

$\omega _{o}^{2}={\frac {\alpha }{m}}\$

Cosicchè la deformazione vale (eliminando il simbolo di modulo dal campo elettrico:

${\vec {\delta }}={\frac {Ze}{m\omega _{o}^{2}}}{\vec {E}}\$

Quindi si ha che viene indotto un momento di dipolo pari a:

${\vec {p}}=Ze\delta ={\frac {(Ze)^{2}}{m\omega _{o}^{2}}}{\vec {E}}$

Se quindi la densità di atomi per unità di volume vale $n\$ (ma la densità è quella di un gas perfetto9:

${\vec {P}}=n{\frac {(Ze)^{2}}{m\omega _{o}^{2}}}{\vec {E}}\$

Quindi:

Essendo anche:

${\vec {P}}=\epsilon _{o}(\epsilon _{r}-1){\vec {E}}\$

si ha che:

$\epsilon _{r}=1+n{\frac {(Ze)^{2}}{\epsilon _{o}m\omega _{o}^{2}}}\$

Tanto maggiormente gli atomi sono deformabili tanto maggiore sarà la costante dielettrica relativa, così al tendere di $n\$ a zero la costante dielettrica relativa tende ad 1. Se il campo elettrico è variabile nel tempo con una forma del tipo:

${\tilde {E}}=E_{o}e^{j\omega t}\$

Notare come per semplicità si sia considerato un caso unidimensionale, per cui si è omesso il simbolo di vettore. L'equazione della dinamica è:

$m{\ddot {\delta }}m\gamma {\dot {\delta }}+m\omega _{o}^{2}\delta =E_{o}e^{j\omega t}\$