Matematica per le superiori/L'iperbole

L'iperbole è il luogo dei punti del piano per i quali è costante la differenza delle distanze da due punti fissi detti fuochi.

Equazione generica

L'equazione generica dell'iperbole può essere dedotta dal suo significato geometrico:
$\left|PF_{1}-PF_{2}\right|=2a$
$\left|{\sqrt {(x-c)^{2}+y^{2}}}-{\sqrt {(x+c)^{2}+y^{2}}}\right|=2a$
${\sqrt {(x-c)^{2}+y^{2}}}=2a+{\sqrt {(x+c)^{2}+y^{2}}}$
$(x-c)^{2}+y^{2}=4a^{2}+(x+c)^{2}+y^{2}+4a{\sqrt {(x+c)^{2}+y^{2}}}$
$x^{2}+c^{2}-2cx-4a^{2}-x^{2}-c^{2}-2cx=4a{\sqrt {(x+c)^{2}+y^{2}}}$
$-4cx-4a^{2}=4a{\sqrt {(x+c)^{2}+y^{2}}}$
$c^{2}x^{2}+a^{4}+2a^{2}cx=a^{2}x^{2}+a^{2}c^{2}+2a^{2}cx+a^{2}y^{2}$
$x^{2}(c^{2}-a^{2})-a^{2}y^{2}=a^{2}c^{2}-a^{2}$
${\frac {x^{2}(c^{2}-a^{2})}{a^{2}(c^{2}-a^{2})}}-{\frac {a^{2}y^{2}}{a^{2}(c^{2}-a^{2})}}={\frac {a^{2}(c^{2}-a^{2})}{a^{2}(c^{2}-a^{2})}}$
${\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{c^{2}-a^{2}}}=1$
$b^{2}=c^{2}-a^{2}$
${\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1$

Si può quindi operare una traslazione per spostare il centro dall'origine:

${\frac {(x-x_{c})^{2}}{a^{2}}}-{\frac {(y-y_{c})^{2}}{b^{2}}}=1$