Analisi matematica

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ANALISI ALGEBRICA E INFINITESIMALE

ANALISI ALGEBRICA

numeri complessi

definizioni

Una coppia $\ (a,b)$ di numeri reali, tali che:

$a):\qquad (a,b)=(a^{,},b^{,})$ se $\ a=a^{,},b=b^{,},$

$b):\qquad (a,0)=a$ numero reale,

$c):\qquad (a,b)+(a^{,},b^{,})=(a+a^{,},b+b^{,}),$

$d):\qquad (a,b)\cdot (a^{,},b^{,})=(aa^{,}-bb^{,}),ab^{,}+a^{,}b),$

definisce un numero detto numero complesso.

Esso può rappresentarsi in varie forme:

1) algebrica:$\ (a,b)=a+ib,$ dove $\ i=(0,1)=$ unità immaginaria;

2) trigonometrica:

3) geometrica: mediante un punto $\ P\equiv (a,b)$ di coordinate $\ (a,b)$ in un sistema cartesiano; il punto $\ P$ si dice indice del numero ed il piano dei numeri complessi è detto piano di Gaus.

Due numeri complessi: $\ a+ib,\ a-ib$ si dicono complessi coniugati; la loro somma è $\ 2a,$ il loro prodotto è $\ a^{2}+b^{2},$ e i loro indici sono due punti simmetrici rispetto all'asse x.

Due numeri contrari hanno gli indici simmetrici rispetto all'origine.

Due numeri reciproci sono tali che i loro indici sono simmetrici rispetto all'asse x e i loro moduli sono inversi rispetto al cerchio di centro $\ 0$ e raggio $\ 1.$

operazioni

a) addizione e sottrazione

$\ (a+ib)\pm (a'+ib')=(a\pm a')+i(b\pm b')$

b) moltiplicazione

$\ (a+ib)\cdot (a'+ib')=aa'-bb'+i(ab'+a'b),$

ovvero:

$[\ \rho (cos\theta +i\sin \theta )]\cdot [\rho '(\cos \theta '+i\sin \theta ')]=\rho \rho '[cos(\theta +\theta ')+i\sin(\theta +\theta ')],$

cioè si moltiplicano i moduli e si sommano gli argomenti.

c) elevazione a potenza

$\ (a+ib)^{n}=[\rho (cos\theta +i\sin \theta )]^{n}=\rho ^{n}(\cos n\theta +i\sin n\theta )$

(formula di Moivre).

In particolare:

$i^{4k+1}=i\qquad i^{4k+2}=-1\qquad i^{4k+3}=-i\qquad i^{4k+4}=1$

d) divisione

${a+ib \over a'+b'}={(a+ib)(a'-ib') \over a'^{2}+b'^{2}}={aa'+bb'+i(a'b-ab') \over a'^{2}+b'^{2}}$

ovvero:

${\rho (\cos \theta +i\sin \theta ) \over \rho '(cos\theta '+i\sin \theta ')}={\rho \over \rho '}[cos(\theta -\theta ')+i\sin(\theta -\theta ')]$

e) estrazione di radice

${\sqrt[{n}]{a+ib}}={\sqrt[{n}]{\rho \ (cos\theta +i\ sin\theta )}}={\sqrt[{n}]{\rho }}\ [cos{\theta +2k\pi \over n}+i\ sin{\theta +2k\pi \over n}]$

con$:\qquad \ k=0,1,2...n-1.$

Questi $\ n$ numeri sono le soluzioni dell'equazione binomia: $\ x^{n}=a+ib.$

In particolare:

${\sqrt[{n}]{1}}=cos{2k\pi \over n}+i\ sin{2k\pi \over n},\qquad {\sqrt[{n}]{-1}}=cos{(2k+1)\pi \over n}+i\ \sin {(2k+1)\pi \over n}$

dove $:\qquad k=0,1,2...n-1$

f) potenza con esponente immaginario

$\ e^{ix}=cos\ x+i\ sin\ x$

(fomula di Eulero), da cui segue la forma esponenziale di un numero complesso:

$\rho (cos\ \theta +i\ sin\ \theta )=\rho e^{i\theta }=e^{log\rho +i\theta }$

g) logaritmo di un numero complesso

$\log[\rho (cos\ \theta +i\ sin\ \theta )]=log\ \rho +i\theta +2k\pi i,\qquad k=0,1,2...$

Questa formula da per il logaritmo infinite soluzioni.

ANALISI INFINITESIMALE

LA DERIVATA E LE SUE IMMEDIATE APPLICAZIONI

derivata e differenziale della funzione $y=f(x)$

$\ 1)$ Una funzione $y=f(x)$ si dice derivabile nel punto $\ P=[c,f(c)]$ se esiste determinato il limite del rapporto incrementale calcolato nel punto stesso quando l'incremento della variabile indipendente tende a zero, cioè se esiste il limite:

$\lim _{h\to 0}{f(c+h)-f(c) \over h}$

il quale limite si dice derivata di $\ f(x)$ per $\ x=c.$

Se il limite suddetto esiste per ogni valore $\ x$ di un intervallo $\ (a,b)$ si pone:

$\ f'(x)=Df(x)={dy \over dx}=\lim _{h\to 0}{f(x+h)-f(x) \over h}=\phi (x),$

funzione che rappresenta la derivata di $\ f(x)$ in tutto$\ (a,b).$

'esempio'

Se $\ y=\ sen\ x,$

${f(x+h)-f(x) \over h}={\ sen(x+h)-\ sen(x) \over h}={2\ sen{h \over 2}\ cos(x+{h \over 2}) \over h},$ e

$\lim _{h\to 0}{f(x+h)-f(x) \over h}=\lim _{h\to 0}[{\ sen{h \over 2} \over {h \over 2}}\ cos(x+{h \over 2})]=\ cos\ x$

onde $:\qquad D\ sen\ x=\ cos\ x.$

regole di derivazione

derivata di una somma o differenza

${\frac {d(u\pm v)}{dx}}={\frac {du}{dx}}\pm {\frac {dv}{dx}}$

derivata di un prodotto

${\frac {d(uv)}{dx}}=v\ {\frac {du}{dx}}+u\ {\frac {dv}{dx}}$

derivata di un quoziente

${\frac {d({\frac {u}{v}})}{dx}}={\frac {v{\frac {du}{dx}}-u{\frac {dv}{dx}}}{v^{2}}}$

derivata di funzione di funzione

${\displaystyle }$

derivata della funzione inversa di y=f(x)

${\frac {dx}{dy}}={\frac {1}{\frac {dy}{dx}}},$ se ${\frac {dy}{dx}}\neq 0$, cioè se la funzione data è invertibile nell'intervallo in cui si considera.

derivata di cf(x)

${\frac {d[cf(x)]}{dx}}=c\ {\frac {df}{dx}}$

derivate fondamentali

1) ${\frac {dc}{dx}}=0$

2) ${\frac {dx}{dx}}=1$

3) ${\frac {dx^{m}}{dx}}=mx^{m-1}$

4) ${\frac {d[f(x)]^{m}}{dx}}=m[f(x)]^{m-1}{\frac {df}{dx}}$

5) ${\frac {d{\sqrt[{n}]{x}}^{m}}{dx}}={\frac {m}{n}}{\sqrt[{n}]{x}}^{(m-n)};\qquad {\frac {d}{}}$

derivate e differenziali di ordine n

1) ${\frac {d^{n}f(x)}{dx^{n}}}={\frac {d}{dx}}[{\frac {d^{n-1}f(x)}{dx^{n-1}}}]$

derivate e differenziali di una funzione z=f(x,y)

1) derivate parziali prime

${\frac {\delta f}{\delta x}}=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {f(x+h,y)-f(x,y)}{h}}=f'_{x}$

${\frac {\delta f}{\delta y}}=\lim _{k\rightarrow 0}\ {\frac {f(x,y+k)-f(x,y)}{k}}=f'_{y}$

2) derivate parziali seconde

${\partial ^{2}f \over \partial x^{2}}={\partial \over \partial x}({\partial f \over \partial x});\qquad {\partial ^{2}f \over \partial y^{2}}={\partial \over \partial y}({\partial f \over \partial y})$

${\partial ^{2}f \over \partial x\partial y}={\partial \over \partial y}({\partial f \over \partial x});\qquad {\partial ^{2}f \over \partial y\partial x}={\partial \over \partial x}({\partial f \over \partial y});$

${\partial ^{2}f \over \partial x\partial y}={\partial ^{2}f \over \partial y\partial x},$

cioè le derivate seconde miste sono uguali.

3) derivate di una funzione $z=f(x,y)$ composta mediante le funzioni: $\ x=\phi (t),\ y=?(t);$

4) derivata secondo la direzione di coseni direttori $\ \alpha$ e $\ \beta$ nel piano, e $\ \alpha ,\ \beta ,\ \gamma$ nello spazio.

5) differenziali totali di $\ z=f(x,y):$

6) Un'espressione: $\ A(x,y)dx+B(x,y)dy$ si dice differenziale esatto se è il differenziale totale di una $\ f(x,y)$, cioè se:

$\ A(x,y)dx+B(x,y)dy={\partial f \over \partial x}dx+{\partial f \over \partial y}dy$

per il che è necessario e sufficiente che sia verificata la condizione: ${\partial A \over \partial y}={\partial B \over \partial x}.$

formule e regole fondamentali del calcolo differenziale

1) formula del valore medio per una funzione y=f(x) differenziabile nell'intervallo (x,x+h):

$\ f(x+h)-f(x)=hf'(x+\theta h)$

con $\ (\ 0<\theta \ <1)$

2) formula del valore medio per una funzione z=f(x,y) differenziabile in un campo C contenente il punto (x,y):

$\ f(x+h,y+k)-f(x,y)=hf'_{x}(x+\theta h,y+\theta k)+kf'_{y}(x+\theta h,y+\theta k)$

con $\ (0<\theta \ <1)$

3) formula di Cauchy per due funzioni f(x) e g(x) differenziabili nell'intervallo (x,x+h) e con g'(x)≠0

${\frac {f(x+h)-f(x)}{g(x+h)-g(x)}}={\frac {f'(x+\theta h)}{g'(x+\theta h)}}$

con $\ (0<\theta \ <1$

4) formula di Taylor e di Mac-Laurin per una funzione f(y) differenziabile almeno fino all'ordine n:

a) $\ f(x+h)=f(x)+{\frac {h}{1}}f'(x)+{\frac {h^{2}}{2!}}f''(x)+...+{\frac {h^{n}}{n!}}f^{(n)}(x+\theta h)$

b) $\ f(x)=f(0)+{\frac {x}{1!}}f'(0)+{\frac {x^{2}}{2!}}f''(0)+...+{\frac {x^{n}}{n!}}f^{(n)}(\theta x)$

L'ultimo termine del secondo membro chiamasi termine complementare o resto. Si indica normalmente con $\ R_{n}$ e può assumere le seguenti forme:

$\ R_{n}={\frac {n^{n}}{n!}}f^{(n)}(x+\theta h)\qquad (forma\ di\ Lagrange)$

$\ R_{n}={\frac {h^{n}(1-\theta )^{(n-p)}f^{(n)}(x+\theta h)}{p(n-1)!}}\qquad (forma\ di\ Schlomisch)$

$\ R_{n}={\frac {h^{n}(1-\theta )^{n-1}f^{(n)}(x+\theta h)}{(n-1)!}}\qquad (forma\ di\ Cauchy)$

5) formule di Taylor e di Mac-Lorin per una funzione z=f(x,y) differenziabile fino all'ordine n:

6) regola di Hopital per le forme indeterminate:

a) Se il rapporto ${\frac {f(x)}{\phi (x)}}$ per x=c si presenta nelle forme

${\frac {0}{0}},\quad {\frac {\infty }{\infty }},\quad allora:\quad \lim _{x\to \ c}{\frac {f(x)}{\phi (x)}}=\lim _{x\to \ c}{\frac {f'(x)}{\phi '(x)}}$

se il limite del secondo membro esiste, e in caso contrario:

$\lim _{x\to \ c}{\frac {f(x)}{\phi (x)}}=\lim _{x\to \ c}{\frac {f^{(n)}(x)}{\phi ^{(n)}(x)}}$

essendo n il primo ordine delle derivate per le quali il limite del 2° membro esiste.

b) Le forme indeterminate del tipo $0\cdot \infty ,\infty -\infty ,$ si riconducono al caso a) mediante le trasfomazioni:

$f(x)\cdot \phi (x)={\frac {f(x)}{\frac {1}{\phi (x)}}}\qquad f(x)-\phi (x)=[{\frac {1}{\phi (x)}}-{\frac {1}{f(x)}}]:{\frac {1}{f(x)\phi (x)}}$

c) Le forme indeterminate del tipo $\ 1^{\infty },\infty ^{0},0^{0}$ si riconducono ai casi precedenti ricorrendo ai logaritmi e precisamente se

$\lim _{x\to \ c}\log f(x)^{\phi (x)}=\lim _{x\to c}\phi (x)\log f(x)=l\qquad allora\quad \lim _{x\to \ c}f(x)^{\phi (x)}=e^{l}$

7) formule di eulero sulle funzioni omogenee:

8) sulla ricerca delle radici di un'equazione: f(x)=0

esempi

a) sviluppi di funzioni notevoli mediante la formula di Mac-Laurin

1) $e^{x}=1+{\frac {x}{1!}}+{\frac {x^{2}}{2!}}+....+{\frac {x^{n-1}}{(n-1)!}}+{\frac {x^{n}}{n!}}\ e^{\theta x}$

2) $a^{x}=1+{\frac {x\log a}{1!}}+{\frac {(x\log a)^{2}}{2!}}+...+{\frac {(x\log a)^{n-1}}{(n-1)!}}+{\frac {(x\log a)^{n}}{n!}}\ a^{\theta x}$

3) $sen\ x={\frac {x}{1!}}-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}+...+(-1)^{k}\ {\frac {2^{2k+1}}{(2k+1)!}}\ cos\ \theta x$

b) calcolo del limite delle forme indeterminate

1) forma ${\frac {0}{0}}\qquad \lim _{x\to \ -2}{\frac {x^{3}+8}{x^{5}+32}}={\frac {-8+8}{-32+32}}=0$

$\lim _{x\to \ -2}{\frac {3x^{2}}{5x^{4}}}={\frac {3(-2)^{2}}{5(-2)^{4}}}={\frac {3}{20}};$

$\lim _{x\to \ 0}{\frac {a^{x}-b^{x}}{c^{x}-d^{x}}}={\frac {a^{0}-b^{0}}{c^{0}-d^{0}}}=0$

$\lim _{x\to \ 0}{\frac {a^{x}\log a-b^{x}\log b}{c^{x}\log c-d^{x}\log d}}={\frac {\log a-\log b}{\log c-\log d}};$

$\lim _{x\to \ 0}{\frac {\log {\frac {1-x^{2}}{1+x^{2}}}}{sen\ x^{2}}}={\frac {log\ 1}{sen\ 0^{2}}}={\frac {0}{0}}$

$\lim _{x\to \ 0}{\frac {\log {\frac {1-x^{2}}{1+x^{2}}}}{sen\ x^{2}}}=\lim _{x\to \ 0}{d \over dx}({\frac {1-x^{2}}{1+x^{2}}}):{d \over dx}sen\ x^{2}=$

$\lim _{x\to \ 0}{\frac {\frac {-4x}{1-x^{4}}}{2\ senx\ cosx}}=\lim _{x\to \ 0}(-{\frac {4}{2\ (1-x^{4})\ cos\ x}})\cdot \lim _{x\to \ 0}{\frac {x}{sen\ x}}=-2.$

2) forma ${\frac {\infty }{\infty }}\qquad \lim _{x\to \ 0}{\frac {\frac {1}{log\ (1-x)}}{cotg\ x}}={\frac {\frac {1}{log\ 1}}{cotg\ 0}}={\frac {\infty }{\infty }}$

GLI INTEGRALI

1) per decomposizione

$\int {}[c_{1}f_{1}(x)+c_{2}f_{2}(x)]dx=c_{1}\int {}{}f_{1}dx+c_{2}\int {}{}f_{2}(x)dx$

(proprietà distributiva dell'integrale)

2) per sostituzione

$\int {}{}f(x)dx=\int {}{}f[x(t)]{dx \over dt}dt$

avendo posto: $\ x=x(t),$ da cui:$\ dx={dx \over dt}dt$

3) per parti

$\int {}{}u(v)dv=u(x)v(x)-\int {}{}v(x)du;$

$\ u(x)$ si dice: fattore finito

$\ dv$ si dice: fattore differenziale, perchè è il diferenziale di una funzione v(x) nota.

4) per serie

Una serie di funzioni è integrabile termine a termine se:

$\ a)\qquad :\ sum_{n=1}^{\infty }\int {}{}u_{n}(x)dx$ è convergente in un intervallo $\ (a,b),$

$\ b)\qquad :$ la somma $\ S(x)$ della serie e le funzioni $\ u_{n}(x)$ sono in $\ (a,b)$ integrabili,

$\ c)\qquad :\int {}{}S(x)dx=\sum _{n=1}^{\infty }\int {}{}u_{n}(x)dx.$

Una serie uniformemente convergente di funzioni continue in un intervallo $\ (a,b)$ è integrabile termine a termine nello stesso intervallo.

In particolare, se una funzione è sviluppabile in serie di Mac-Laurin in un intervallo $\ (-r,r)$, nello stesso intervallo è integrabile termine a termine.

ESEMPI DI INTEGRAZIONE COI DIVERSI METODI

1) per decomposizione

$\int {}{}(3x^{2}+5x-1)dx=3\int {}{}x^{2}dx+5\int {}{}xdx-\int {}{}dx=x^{3}+{5x^{2} \over 2}-x+c$

2) per sostituzione

$\int {}{}(2x+1)^{2}dx={1 \over 2}\int {}{}t^{2}dt={t^{3} \over 6}={(2x+1)^{3} \over 6}$

avendo posto $\ 2x+1=t$ da cui: Errore del parser (Errore di conversione. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") riporta: "Cannot get mml. upstream connect error or disconnect/reset before headers. reset reason: connection termination"): {\displaystyle \ dx={dt \over 2}}

FORMULE RISOLUTIVE DI INTEGRALI

1) integrali immediati

funzione data	integrale	funzione data	integrale
$\ x^{m}$	${\frac {x^{m+1}}{m+1}}$	$\ cos^{2}x$	$\ tang\ x$
$\ a^{x}$	${\frac {a^{x}}{\log {a}}}$	$\ -cosc^{2}\ x$	$\ cotang\ x$
$\ e^{x}$	$\ e^{x}$	$\ sec^{2}\ x$	$\ tang\ x$
${\frac {1}{x}}$	$\ logx$	$-\ cosec^{2}\ x$	$\ cotang\ x$
$\ sinx$	$\ -cosx$	${1 \over {\sqrt {1-x^{2}}}}$	$\ arc\ sen\ x$
$\ cosx$	$\ senx$	$-{1 \over {\sqrt {1-x^{2}}}}$	$\ arc\ cos\ x$
${\frac {1}{2{\sqrt {x}}}}$	${\sqrt {x}}$	$\ {1 \over 1+x^{2}}$	$arc\ tang\ x$
${\frac {1}{n{\sqrt[{n}]{x}}^{n-1}}}$	${\sqrt[{n}]{x}}$	$-{1 \over 1+x^{2}}$	$\ arc\ cotang\ x$
$\ {1 \over x{\sqrt {x^{2}-1}}}$	$\ arc\ sec\ x$	$\ -{1 \over x{\sqrt {x^{2}-1}}}$	$\ arc\ cosec\ x$

2) integrali quasi immediati

1°) $\ \int _{}{(ax+b)^{n}}dx={\frac {1}{a}}\ \int _{}(ax+b)^{n}d(ax+b)={\frac {(ax+b)^{n+1}}{a(n+1)}}$

2°) $\ \int _{}{\frac {dx}{ax+b}}={\frac {1}{a}}\ \int _{}{\frac {d(ax+b)}{ax+b}}={\frac {1}{a}}\log(ax+b)$

3°) $\ \int _{}{\frac {dx}{(ax+b)^{n}}}={\frac {1}{a}}\ \int _{}{\frac {d(ax+b)}{(ax+b)^{n}}}={\frac {1}{a(1-n)(ax+b)^{n-1}}}$

4°) $\ \int _{}{\frac {xdx}{ax^{2}+b}}={\frac {1}{2a}}\ \int _{}{\frac {d(ax^{2}+b)}{ax^{2}+b}}={\frac {1}{2a}}\log(ax^{2}+b)$

5°) ${\begin{aligned}\ \int _{}{\frac {dx}{ax^{2}+b}}&={\frac {1}{a}}\ \int _{}{\frac {dx}{x^{2}+c^{2}}}={\frac {1}{ac}}\ \int _{}{\frac {d({\frac {x}{c}})}{({\frac {x}{c}})^{2}+1}}={\frac {1}{ac}}\ arc\ tang{\frac {x}{c}}\\&={\frac {1}{a}}{\sqrt {\frac {a}{b}}}\ arc\ tang{\sqrt {\frac {a}{b}}}\ x\end{aligned}}$

quando $\ {\frac {b}{a}}=c^{2}\ >0$

3) integrali non immediati

funzioni razionali

funzione razionale intera

$\ \int _{}(a_{o}x^{n}+a_{1}x^{n-1}+.....+a_{n-1}x+a_{n})dx=a_{o}{\frac {x^{n+1}}{n+1}}+....+a_{n+1}$

funzione razionale fratta:${\frac {A(x)}{B(x)}}$

Se il denominatore è tale che:

$\ B(x)=(x-\alpha )(x-\beta )^{r}[(x-\epsilon )^{2}+\delta ^{2}][x-\mu )^{2}+\nu ^{2}]^{s}$

essendo: $\ \alpha$ una radice reale semplice,

$\ \beta$ una radice reale multipla,

$\ \epsilon \pm i\delta$ due radici complesse semplici,

$\ \mu \pm i\nu$ due radici complesse multiple,

dell'equazione: $\ B(x)=0$, la frazione data si decompone nel seguente modo:

${\frac {A(x)}{B(x)}}={\frac {c_{1}}{x-\alpha }}+{\frac {d_{r}}{(x-\beta )^{r}}}+{\frac {d_{r-1}}{(x-\beta )^{r-1}}}+....+{\frac {d_{1}}{x-\beta }}+{\frac {m_{1}x+n_{1}}{(x-\epsilon )^{2}+\delta ^{2}}}+{\frac {p_{s}x+q_{s}}{[(x-\mu )^{2}+\nu ^{2}]^{s-}}}+$

$+{\frac {p_{s-1}x+q_{s-1}}{[(x-\mu )^{2}+\nu ^{2}]^{s-1}}}+....+{\frac {p_{1}x+q_{1}}{(x-\nu )^{2}+\nu ^{2}}}$

dove le costanti $\ c_{1},d_{i},m_{i},n_{i},p_{i},q_{i}$, si determinano riducendo i due membri a forma intera, confrontando i numeratori ottenuti, e risolvendo il sistema che si ottiene scrivendo che devono essere uguali i coefficienti delle stesse potenze della $\ x$ dei due menbri. L'integrazione della frazione ${\frac {A_{x}}{B_{x}}}$ è ricondotta così ad un gruppo di integrali quasi tutti immediati

formule risolutive notevoli

A)$\ \int _{}{\frac {A(x)dx}{(x-\alpha _{1})(x-\alpha _{2})....(x-\alpha _{n})}}=\sum _{i=1}^{n}c_{i}\ log(x-\alpha _{i})$

B)$\ \int _{}{\frac {dx}{(ax^{2}+b)^{2}}}={\frac {\sum _{i=1}^{i=n}c_{i}\ log(x-\alpha _{i})}{(ax^{2}+b)^{n-1}}}+c_{n}I_{o}(x)$

dove $\ I_{o}(x)=\ \int _{}{\frac {dx}{ax^{2}+b}}$

funzioni irrazionali

$a)\qquad \int _{}{}F[x,(ax+b)^{m \over n},(ax+b)^{p \over q}....(ax+b)^{r \over s}]ds$

con F simbolo di funzione razionale.

Ponendo:$\ ax+b=t^{\mu }$ dove $\ \mu =m.c.m(n,q,...s)$, da cui: $a\ dx=\mu t^{\mu -1}dt$, l'integrale diventa:

$\int _{}{}F({t^{\mu }-b \over a},\ t^{m}q_{1},\ t^{p}q_{2},...t^{r}q_{k}){\mu \over a}\ t^{\mu -1}dt$

con:$\ q_{1}={\mu \over n},\ q_{2}={\mu \over q},\ ....q_{k}={\mu \over s},$

e si è così ricondotti all'integrale di una funzione razionale.

esempio

$1\qquad \int _{}{}{dx \over 1+{\sqrt {2}}}$

Ponendo $\ x=t^{2},\ dx=2\ t\ dt,\ t={\sqrt {x}}$ si ha:

${\begin{aligned}\int _{}{}{dx \over 1+{\sqrt {x}}}&=2\int _{}{}{t\ dt \over 1+t}=2t-2\log(1+t)\\&=2{\sqrt {x}}-2\log(1+{\sqrt {x}})\end{aligned}}$

$2\qquad \int _{}{}{dx \over {\sqrt[{3}]{x}}-1}$

Posto $\ x=t^{3}$ onde $dx=3t^{2}\ dt$ si ha:

$\ \int _{}{}{dx \over {\sqrt[{3}]{x}}-1}=\int _{}{}{1 \over t-1}3\ t^{2}dt=3\int _{}{}{t^{2} \over t-1}dt$

Ora, ${t^{2} \over t-1}=1+t+{1 \over t-1},$ quindi

$\ \int _{}{}{t^{2} \over t-1}dt=t+{t^{2} \over 2}+\log(t-1);$

allora, per $t={\sqrt[{3}]{x}},$

$\int _{}{}{dx \over {\sqrt[{3}]{x}}-1}=3[{\sqrt[{3}]{x}}+{1 \over 2}{\sqrt[{3}]{x}}^{2}+\log({\sqrt[{3}]{x}}-1)]$

$b)\qquad \int _{}{}{F(x,{\sqrt {ax^{2}+bx+c}}}\ )dx$

con F simbolo di funzione razionale.

I°) Se a>0, si pone: ${\sqrt {ax^{2}+bx+c}}=t-{\sqrt {a}}\ x,$ da cui:

$x={t^{2}-c \over 2{\sqrt {a}}\ t+b},\qquad dx=2{(t^{2}+c){\sqrt {a}}+bt \over (2t{\sqrt {a}}+b)^{2}}dt,\qquad t=x+{\sqrt {ax^{2}+bx+c}}$

${\sqrt {ax^{2}+bx+c}}={\frac {(t^{2}+c){\sqrt {a}}+bt}{2t{\sqrt {a}}+b}}$

Sostituendo tutto in funzione di t l'integrale vieme razionalizzato.

esempio

$\int {}{}{1 \over {\sqrt {x^{2}-4x+5}}}dx$

Poniamo: ${\sqrt {x^{2}-4x+5}}=t-x$ da cui

$x={1 \over 2}{t^{2}-5 \over t-2},\qquad dx={t^{2}-4t+5 \over 2(t-2)^{2}}\ dt,\qquad t=x+{\sqrt {x^{2}-4x+5}};$

${\sqrt {x^{2}-4x+5}}={t^{2}-4t+5 \over 2(t-2)}$

allora, a meno di una costante:

$\int _{}{}{1 \over {t^{2}-4t+5 \over 2(t-2)}}\ {1 \over 2}\ {t^{2}-4t+5 \over (t-2)^{2}}dt=\int _{}{}{dt \over t-2}=\log(t-2);$

si ha quindi:

$\int _{}{}{dx \over {\sqrt {x^{2}-4x+5}}}=\log(x+{\sqrt {x^{2}-4x+5}}-2)$

funzioni trascendenti

$a)\qquad \int _{}{}F(sen\ x,cos\ x)dx$

con F simbolo di funzione razionale.

Si pone: $\ t=tang\ {x \over 2},$ da cui: $dx={dt \over 1+t^{2}},sen\ x={2t \over 1+t^{2}},cos\ x={1-t^{2} \over 1+t^{2}}$

Esprimendo in t, l'integrale viene razionalizzato.

esempio

$\int _{}{}{dx \over sen\ x+cos\ x}$

Ricordato che

$sen\ x={2\ tang{x \over 2} \over 1+tang^{2}{x \over 2}}\qquad cos\ x={1-tang^{2}{x \over 2} \over {1+tang^{2}{x \over 2}}}$

si porrà: $tang{x \over 2}=t$ da cui ${dt \over dx}={1 \over 2}{1 \over cos^{2}{x \over 2}}={1 \over 2}(1+t^{2});$

allora:$\int _{}{}{dx \over sen\ x+cos\ x}=\int _{}{}{{2 \over 1+t^{2}} \over {2t \over 1+t^{2}}+{1-t^{2} \over 1+t^{2}}}dt=\int {}{}{2dt \over -t^{2}+2t+1},$

con che la funzione da integrare è una funzione razionale.

$b)\qquad \int _{}{}F(tang\ x)dx$

con F simbolo di funzione razionale.

Si pone: $tang\ x=t$, da cui $dx={dt \over 1+t^{2}},$ e l'integrale espresso in t viene razionalizzato.

esempio

$\int _{}{}tang\ x\ dx=\int _{}{}{t \over 1+t^{2}}\ dt={1 \over 2}\ log_{e}(1+t^{2})={1 \over 2}\log _{e}(1+tng^{2}x)$

$c)\qquad \int _{}{}F(e^{ax})dx$

con F sinbolo di funzione razionale.

Si pone : $\ e^{ax}=t,$ da cui $x={1 \over a}\ log\ t,\ dx={dt \over dx}$ e sostituendo l'integrale viene razionalizzato.

esempio

$\int {}{}{1 \over 1+e^{x}}\ dx$

Posto $\ e^{x}=t,$ da cui ${dt \over dx}=e^{x}=t,$ si ha:

$\int {}{}{dx \over 1+e^{x}}=\int {}{}{dt \over t(1+t)}=log\ t-log\ (1+t),$ e

$\int {}{}{dx \over 1+e^{x}}=log\ e^{x}-log\ (1+e^{x})=x-log(1+e^{x})$

$\ d)$ Si possono ridurre a integrali di funzioni trigronometriche dei tipi a) e b) mediante opportune sostituzioni gli integrali seguenti di funzioni irrazionali.

I° $\int {}{}F(x,{\sqrt {a^{2}-x^{2}}})\ dx$, con F simbolo di funzione razionale.

si pone: $\ x=a\ sent,$ onde:

$\int {}{}F(x,{\sqrt {a^{2}-x^{2}}})\ dx=\int {}{}F(a\ sent,a\ cost)a\ cost\ dt$

esempio

$\int {}{}{5 \over {\sqrt {5^{2}-x^{2}}}}\ dx$

Si pone $x=5\ sen\ t,$ da cui: $\ dx=5\ cost\ dt,$ e $\ t=arc\ sen{x \over 5}.$

Allora:

$\int {}{}{x \over {\sqrt {5^{2}-x^{2}}}}\ dx=\int {}{}{5\ sent \over {\sqrt {5^{2}-5^{2}\ sen^{2}t}}}5\ cost\ dt=-5\ cost$

Sostituendo i ha: $\ -5\ cos\ arc\ sen{x \over 5}=-{\sqrt {5^{2}-x^{2}}}.$

II° $\int {}{}F(x,{\sqrt {a^{2}+x^{2}}})\ dx$

Si pone: $\ x=a\ tang\ t$ ovvero $\ x=a\ sinh\ x,$ da cui:

$\ dx=a\ sec^{2}t\ dt\qquad dx=a\ cosh\ t\ dt$

Allora:

$\int {}(x,{\sqrt {a^{2}+x^{2}}})\ dx=\int {}{}F(a\ tang\ t,a\ sec\ t)a\ sec^{2}t\ dt$

ovvero

$=\int {}F(a\ senh\ t,\ a\ cosh\ t)a\ cosh\ t\ dt.$

esempio

III° $\int {}{}F(x,{\sqrt {x^{2}-a^{2}}})\ dx$

$\ e)$ Si possono ridurre facilmente a integrali razionali i seguenti: ponendo $\ cos\ x=t$ ovvero $\ sen\ x=t$, si ha:

$\int _{}{}sen\ xF(sen^{2}x,cos\ x)dx=-\int _{}{}F(t-t^{2},t)dt$

$\int _{}{}cos\ xF(cos^{2}x,sen\ x)dx=\int _{}{}F(1-t^{2},t)dt$

con F simbolo di funzione razionale.

$\ f)\qquad formulenotevolidiriduzione$

ESEMPI DI CALCOLO DI INTEGRALI NON IMMEDIATI

esercizio 1°

$\ \int _{}{\frac {x+1}{x^{2}-5x+6}}dx$

Si ha: $\ x^{2}-5+6=(x-2)(x-3)$ ,

${\frac {x+1}{x^{2}-5x+6}}={\frac {c_{1}}{x-2}}+{\frac {c_{2}}{x-3}}$ ,

$\ x+1=(c_{1}+c_{2})x-3c_{1}-2c_{2}$ ,

da cui:

$\left\{{\begin{matrix}c_{1}+c_{2}=1\\-3c_{1}-2c_{2}=1\end{matrix}}\right.$

Risolvendo il sistema si ha:$\ c_{1}=-3$ e $\ c_{2}=4$

Quindi:

$\int _{}{\frac {x+1}{x^{2}-5x+6}}dx=\ \int _{}{\frac {-3}{x-2}}dx+\ \int _{}{\frac {4}{x-3}}dx=log{\frac {(x-3)^{4}}{(x-2)^{3}}}$

esercizio 2°

$\ \int _{}{\frac {x^{3}+x+1}{x^{3}-x^{2}+x-1}}dx$

Eseguendo la divisione si ha:

$\ \int _{}{\frac {x^{3}+x+1}{x^{3}-x^{2}+x-1}}=1+{\frac {x^{2}+2}{x^{3}-x^{2}+x-1}}=1+{\frac {x^{2}+2}{(x-1)(x^{2}+1)}}$

Scomponendo la seconda frazione ottenuta e determinando le costanti come nell'esempio prescedente si trova:

${\frac {x^{2}+2}{x^{3}-x^{2}+x-1}}={\frac {c_{1}}{x-1}}+{\frac {c_{2}x+c_{2}}{x^{2}+1}}={\frac {3}{2}}{\frac {1}{x-1}}-{\frac {1}{2}}{\frac {x+1}{x^{2}+1}}$

Quindi:

$\ \int _{}{\frac {x^{3}+x+1}{x^{3}-x^{2}+x-1}}dx=x+{\frac {3}{2}}log(x-1)-{\frac {1}{4}}log(x^{2}+1)-{\frac {1}{2}}arc\ tang(x)=$

$=x+log{\sqrt {\frac {(x-1)^{3}}{{\sqrt {(}}x^{2}+1)}}}-{\frac {1}{2}}arc\ tang(x)$

esercizio 3°

$\int {}{}{x^{3}-x^{2}+1 \over (1+x^{2})^{3}}dx$

Applicando la formula notevole $\int {}{}{A(x) \over (ax^{2}+b)^{n}}dx={\sum _{i=1}^{2n-2}c_{i}x^{i-1} \over (ax^{2}+n)^{n-1}}+c_{2n-1}\log(ax^{2}+b)+c_{2n}I_{0}(x)$

Derivando i due membri, riducendo i risultati allo stesso denominatore e confrontando poi i numeratori, si trovano i valori:

$\ c_{1}={1 \over 4}\quad c_{2}={-1 \over 2}\quad c_{3}={3 \over 4}\quad c_{4}={-1 \over 4}\quad c_{5}=0\quad c_{6}={1 \over 4}$

I DIVERSI TIPI DI INTEGRALE DEFINITO

integrale lineare

--definizioni

$\ C=$ intervallo (a, b) dell'asse x,

$\ f=f(x),$

$\ I_{c}=\lim _{\Delta x_{i}\to \ 0}\sum _{i}f(x_{i})\Delta x_{i}=\int _{a}^{b}f(x)dx=\varphi (b)-\varphi (a),$

essendo $\varphi (b)-\varphi (a)$ la funzione primitiva di f(x) che si annulla per x=a.

--significato geometrico

L'integrale considerato rappresenta:

"L'area della regione compresa fra l'asse x, la curva y=f(x) e le ordinate x=a, x=b".

Se la curva attraversa l'asse x, l'area risulta uguale alla differenza dei due integrali ralativi alle due parti in cui la y=f(x) viene divisa dall'asse x.

--teorema della media

$\int _{a}^{b}f(x)dx=\lambda (b-a),$

essendo $\ \lambda$ un numero compreso fra il limite inferiore e superiore di f(x) in (a,b).

Se la funzione è continua, $\ \lambda =f(c)$ essendo: a<c<b.

--formule di integrazione approssimata

$A)\qquad \int _{a}^{b}dx={h \over 2}[(y_{0}+y_{n})+2(y_{1}+y_{4}+...+y_{n-1})],$

essendo: $\ h={b-a \over n}$ e $\ y_{0},\ y_{1},...y_{n}$ le ordinate corrispondenti alle ascisse a,a+h,...a+nh=b. (metodo di Bezout).

$B)\qquad \int _{a}^{b}f(x)dx={h \over 3}[(y_{0}+y_{2n})+2(y_{2}+y_{4}+...+y_{2n-2})+4(y_{1}+y_{3}+...+y_{2n-1})]$

avendo $\ h,\ y_{0},...y_{2n}$ lo stesso significato di prima. (metodo di Simpson).

integfrale curvilineo

1° tipo

$a)\ definizioni:\qquad \left\{{\begin{matrix}C=intervallo\ (a,b)\ dell'asse\ x,\\f=f(x,y)\ con\ y\ \phi (x)\end{matrix}}\right.$

$\ I_{c}=\lim _{\Delta x_{i}\to 0}\sum _{i}f[x_{i},\phi (x_{i})]\Delta x_{i}=\int _{\gamma }f(x,y)dx=$

$\ =\int _{a}^{b}f[(x,\phi (x)]dx=\int _{a}^{b}g(x)dx,$

essendo $\gamma$ l'arco AB avente per estremi i punti:

$\ A=[a,\phi (a)];\qquad B=[b,\phi (b)].$

L'integrale considerato si calcola quindi come un integrale lineare.

Se la curva $\gamma$ è dta mediante equazioni parametriche cioè se: x=x(t), y=y(t), allora l'intervallo curvilineo diventa:

$\int _{\gamma }^{}f(x,y)dx=\int _{t_{1}}^{t_{2}}f[x(t),y(t)]x'(t)dt.$

$\ b)\ significato\ geometrico:$

rappresenta l'area della regione di piano limitata dall'assex dalle rette x=a, x=b e dall'arco di curva y=g(x) compreso fra queste rette.

2° tipo

$a)\ definizioni:\qquad \left\{{\begin{matrix}C=arco\ della\ curva\ y=\phi (x),\\f=(x,y)\ con\ y=\phi (x),\end{matrix}}\right.$

$\ I_{c}=\lim _{\Delta s_{i}\to 0}\sum _{i}f[x_{i},\phi (x_{i})]\Delta s_{i}=\int _{\gamma }{}f(x,y)ds=$

$\ =\int _{a}^{b}f[x,\phi (x)]{\sqrt {1+{\phi }^{'2}(x)}}\ dx,$

essendo $\gamma =AB$ con $\ A=[a,\phi (a)$ e $B=[b,\phi (b).$

Se la curva fosse data in forma parametrica, si avrebbe:

$\int _{\gamma }{}f(x,y)ds=\int _{a}^{b}f[x(t),y(t)]{\sqrt {x^{'2}(t)+y^{'2}(t)}}\ dt.$

integrale doppio di campo

a) definizioni:

$\ C=$ regione semplice $\ \Omega$ del piano $\ xy,$

$\ f=f(x,y)$ con $\ x,y$ variabili indipendenti,

$\ I_{c}=\lim _{\Delta x{i}\to 0}\sum _{i}f(x_{i},y_{i})\Delta x_{i}\Delta y_{i}=\iint _{R}^{}g(x,y)dxdy$

avendo posto:

$\left\{{\begin{matrix}g(x,y)=f(x,y)\ in\ \Omega ,\\g(x,y)=0\ esternamente\ a\ \Omega \end{matrix}}\right.$

c) significato geometrico

Rappresenta il volume del solido limitato dal piano xy, dalla superficie z=f(x, y) e dalla superficie cilindrica che proiettta una parte della superficie z=f(x,y) nella regione Ω ; se la superficie data attraversa il piano xy, il volume risulta uguale alla differenza degli integrali doppi relativi alle due parti in cui la z=f(x,y) viene divisa dal piano xy.

d) teorema della media

$\iint _{\Omega }^{}f(x,y)dxdy=\lambda {\bar {\Omega }},$ essendo $\ {\bar {\Omega }}=$ area della regione $\ \Omega$ e $\ l<\lambda <\ L,$ dove $\ l$ e $\ L$ sono rispettivamente l'estremo inferiore e superiore di $\ f(x,y)$ in $\ \Omega .$

Se $\ f(x,y)$ è continua in $\ \Omega ,$ $\ \lambda =f({\bar {x}},{\bar {y}})$ esendo $\ ({\bar {x}},{\bar {y}})$ un punto di $\ \Omega .$

e) teorema di Gaus

$\iint _{\Omega }^{}{\partial f \over \partial x}dxdy=\oint _{\gamma }^{}f(x,y)dy$

$\iint _{\Omega }^{}{\partial f \over \partial y}dxdy=-\oint _{\gamma }^{}f(x,y)dx$

essendo $\ f(x,y)$ una funzione continua in $\ \Omega$ e $\ \gamma$ il contorno chiuso di $\ \Omega .$

f) formula di Green o di Stokes

$\iint _{\Omega }^{}({\partial B \over \partial x}-{\partial A \over \partial y})dxdy=\oint _{\lambda }^{}(Adx+Bdy),$

essendo $\ A(x,y)$ e $\ B(x,y)$ funzioni date con le loro derivate prime in un'area semplice $\ \Omega$, $\ \lambda$ il contorno chiuso della regione $\ \Omega .$

Le formule esposte servono a trasformare un intergrale doppio di campo in un integrale curvilineo e vicevarsa.

INTEGRALI DEFINITI DIPENDENTI DA UN PARAMETRO

1) con limiti fissi:

$a):\qquad \ F(x)=\int _{c}^{d}f(x,y)\ dy;\qquad b):\qquad \Phi (y)=\int _{a}^{b}f(x,y)\ dx$

Se $\ f(x,y)$ è continua ed ammette le derivate parziali prime finite e continue in un rettangolo $\ R$ definito dalle limitazioni: $a\leq x\leq b$, $c\leq y\leq d$, anche le funzioni $\ F(x)$ e $\ \Phi (y)$ sono continue e derivabili rispettivamente in $\ (c,d)$ e $\ (a,b)$ e si ha:

$\ {dF(x) \over dx}=\int _{c}^{d}{\partial f \over \partial x}dy;\qquad {d\Phi (y) \over dy}=\int _{a}^{b}{\partial f \over \partial y}dx;$

[regola di derivazione sotto il segno].

2) con limiti variabili:

$a)\qquad F(x)=\int _{\alpha (x)}^{\beta (x)}f(x,y)dy;\qquad b)\qquad \Phi (y)=\int _{\gamma (y)}^{\delta (y)}f(x,y)dx$

Se $\ f(x,y)$ è continua ed ammette le derivate parziali prime finite e continue in un'area semplice $\ \Omega$ tangente al rettangolo definito dalle limitazioni: $a\leq x\leq b,\ c\leq y\leq d,$ e se le funzioni $\ \alpha (x),\ \beta (x)$ sono continue e derivabili in $\ (a,b),$ mentre le funzioni $\ \gamma (y),\ \delta (y)$ sono continue in $\ (c,d),$ le funzioni: $\ F(x)$ e $\ \Phi (x)$ sono rispettivamente continue e derivabili in $\ (a,b)$ e $\ (c,d).$ Si ha inoltre:

${dF(x) \over dx}=\int _{\alpha (x)}^{\beta (x)}{\partial f \over \partial x}dy-{d\alpha \over dx}f[x,\alpha (x)]+{d\beta \over dx}f[x,\beta (x)],$

${d\Phi (y) \over dy}=\int _{\gamma (y)}^{\delta (y)}{\partial f \over \partial y}dx-{d\gamma \over dy}f[\gamma (y),y]+{d\delta \over dy}f[\delta (y),y].$

ESEMPI DI DERIVAZIONE DI INTEGRALI DIPENDENTI DA UN PARAMETRO

$1):\qquad \Phi (y)=\int _{0}^{1}x^{y}dx;$

${d\Phi \over dy}=\int _{0}^{1}\log \ x\ dx=-{1 \over (y+1)^{2}.}$

$2):\qquad \Phi (y)=\int _{0}^{\sqrt {1-y^{2}}}(4x^{3}y-2xy^{3})dx;$

${d\Phi \over dy}=\int _{0}^{\sqrt {1-y^{2}}}(4x^{3}-6xy^{2})dx-{y \over {\sqrt {1-y^{2}}}}[4{\sqrt {(1-y^{2})^{3}}}\ y-2y^{3}{\sqrt {1-y^{2}}}]=$

$=(x^{4}-3x^{2}y^{2})_{0}^{\sqrt {1-y^{2}}}-y^{2}(4-6y^{2})=1-9y^{2}+10y^{4}$

INTEGRALI ELLITTICI

$1)\qquad \int _{1}^{a}{1 \over x}dx=(\log \ x)_{1}^{a}=\log \ a$