Analisi matematica

• Concetti introduttivi
  1. Insiemi
     • Note storiche

• Algebra lineare
  1. Numeri complessi
  2. equazioni a coefficienti reali
  3. determinanti e matrici
  4. sistemi lineari
  5. funzioni algebriche razionali notevoli

• Limiti-Continuità-Serie
  1. limiti
  2. continuità
  3. serie di funzioni

• Analisi infinitesimale
  1. il calcolo differenziale
  2. esempi sulla derivata
  3. gli integrali
  4. Formule risolutive degli integrali
  5. Esempi di calcolo di integrali non immediati (esercizi svolti)
  6. Il concetto di integrale definito
  7. I diversi tipi di integrale definito
  8. Esempi di calcolo di integrali definiti
  9. Integrali generalizzati
  10. Esempi sugli integrali generalizzati
  11. Integrali definiti dipendenti da un parametro
  12. Esempi di derivazione di integrali definiti dipendenti da un parametro
  13. Integrali ellittici

Questo volume intende essere un quadro sinottico contenente elementi di richiamo di analisi algebrica e infintesimale necessari per lo svolgimento di esercizi. Per evidenziarne l'intento vi sono anche riportati alcuni esercizi quali inserti nel sinottico.

ANALISI INFINITESIMALE

I DIVERSI TIPI DI INTEGRALE DEFINITO

integrale lineare

--definizioni

$\ C=$ intervallo (a, b) dell'asse x,

$\ f=f(x),$

$\ I_{c}=\lim _{\Delta x_{i}\to \ 0}\sum _{i}f(x_{i})\Delta x_{i}=\int _{a}^{b}f(x)dx=\varphi (b)-\varphi (a),$

essendo $\varphi (b)-\varphi (a)$ la funzione primitiva di f(x) che si annulla per x=a.

significato geometrico

L'integrale considerato rappresenta:

"L'area della regione compresa fra l'asse x, la curva y=f(x) e le ordinate x=a, x=b".

Se la curva attraversa l'asse x, l'area risulta uguale alla differenza dei due integrali ralativi alle due parti in cui la y=f(x) viene divisa dall'asse x.

--teorema della media

$\int _{a}^{b}f(x)dx=\lambda (b-a),$

essendo $\ \lambda$ un numero compreso fra il limite inferiore e superiore di f(x) in (a,b).

Se la funzione è continua, $\ \lambda =f(c)$ essendo: a<c<b.

--formule di integrazione approssimata

$A)\qquad \int _{a}^{b}dx={h \over 2}[(y_{0}+y_{n})+2(y_{1}+y_{4}+...+y_{n-1})],$

essendo: $\ h={b-a \over n}$ e $\ y_{0},\ y_{1},...y_{n}$ le ordinate corrispondenti alle ascisse a,a+h,...a+nh=b. (metodo di Bezout).

$B)\qquad \int _{a}^{b}f(x)dx={h \over 3}[(y_{0}+y_{2n})+2(y_{2}+y_{4}+...+y_{2n-2})+4(y_{1}+y_{3}+...+y_{2n-1})]$

avendo $\ h,\ y_{0},...y_{2n}$ lo stesso significato di prima. (metodo di Simpson).

integfrale curvilineo

1° tipo

$a)\ definizioni:\qquad \left\{{\begin{matrix}C=intervallo\ (a,b)\ dell'asse\ x,\\f=f(x,y)\ con\ y\ \phi (x)\end{matrix}}\right.$

$\ I_{c}=\lim _{\Delta x_{i}\to 0}\sum _{i}f[x_{i},\phi (x_{i})]\Delta x_{i}=\int _{\gamma }f(x,y)dx=$

$\ =\int _{a}^{b}f[(x,\phi (x)]dx=\int _{a}^{b}g(x)dx,$

essendo $\gamma$ l'arco AB avente per estremi i punti:

$\ A=[a,\phi (a)];\qquad B=[b,\phi (b)].$

L'integrale considerato si calcola quindi come un integrale lineare.

Se la curva $\gamma$ è dta mediante equazioni parametriche cioè se: x=x(t), y=y(t), allora l'intervallo curvilineo diventa:

$\int _{\gamma }^{}f(x,y)dx=\int _{t_{1}}^{t_{2}}f[x(t),y(t)]x'(t)dt.$

$\ b)\ significato\ geometrico:$

rappresenta l'area della regione di piano limitata dall'assex dalle rette x=a, x=b e dall'arco di curva y=g(x) compreso fra queste rette.

2° tipo

$a)\ definizioni:\qquad \left\{{\begin{matrix}C=arco\ della\ curva\ y=\phi (x),\\f=(x,y)\ con\ y=\phi (x),\end{matrix}}\right.$

$\ I_{c}=\lim _{\Delta s_{i}\to 0}\sum _{i}f[x_{i},\phi (x_{i})]\Delta s_{i}=\int _{\gamma }{}f(x,y)ds=$

$\ =\int _{a}^{b}f[x,\phi (x)]{\sqrt {1+{\phi }^{'2}(x)}}\ dx,$

essendo $\gamma =AB$ con $\ A=[a,\phi (a)$ e $B=[b,\phi (b).$

Se la curva fosse data in forma parametrica, si avrebbe:

$\int _{\gamma }{}f(x,y)ds=\int _{a}^{b}f[x(t),y(t)]{\sqrt {x^{'2}(t)+y^{'2}(t)}}\ dt.$

integrale doppio di campo

a) definizioni:

$\ C=$ regione semplice $\ \Omega$ del piano $\ xy,$

$\ f=f(x,y)$ con $\ x,y$ variabili indipendenti,

$\ I_{c}=\lim _{\Delta x{i}\to 0}\sum _{i}f(x_{i},y_{i})\Delta x_{i}\Delta y_{i}=\iint _{R}^{}g(x,y)dxdy$

avendo posto:

$\left\{{\begin{matrix}g(x,y)=f(x,y)\ in\ \Omega ,\\g(x,y)=0\ esternamente\ a\ \Omega \end{matrix}}\right.$

c) significato geometrico

Rappresenta il volume del solido limitato dal piano xy, dalla superficie z=f(x, y) e dalla superficie cilindrica che proiettta una parte della superficie z=f(x,y) nella regione Ω ; se la superficie data attraversa il piano xy, il volume risulta uguale alla differenza degli integrali doppi relativi alle due parti in cui la z=f(x,y) viene divisa dal piano xy.

d) teorema della media

$\iint _{\Omega }^{}f(x,y)dxdy=\lambda {\bar {\Omega }},$ essendo $\ {\bar {\Omega }}=$ area della regione $\ \Omega$ e $\ l<\lambda <\ L,$ dove $\ l$ e $\ L$ sono rispettivamente l'estremo inferiore e superiore di $\ f(x,y)$ in $\ \Omega .$

Se $\ f(x,y)$ è continua in $\ \Omega ,$ $\ \lambda =f({\bar {x}},{\bar {y}})$ esendo $\ ({\bar {x}},{\bar {y}})$ un punto di $\ \Omega .$

e) teorema di Gaus

$\iint _{\Omega }^{}{\partial f \over \partial x}dxdy=\oint _{\gamma }^{}f(x,y)dy$

$\iint _{\Omega }^{}{\partial f \over \partial y}dxdy=-\oint _{\gamma }^{}f(x,y)dx$

essendo $\ f(x,y)$ una funzione continua in $\ \Omega$ e $\ \gamma$ il contorno chiuso di $\ \Omega .$

f) formula di Green o di Stokes

$\iint _{\Omega }^{}({\partial B \over \partial x}-{\partial A \over \partial y})dxdy=\oint _{\lambda }^{}(Adx+Bdy),$

essendo $\ A(x,y)$ e $\ B(x,y)$ funzioni date con le loro derivate prime in un'area semplice $\ \Omega$, $\ \lambda$ il contorno chiuso della regione $\ \Omega .$

Le formule esposte servono a trasformare un intergrale doppio di campo in un integrale curvilineo e vicevarsa.

INTEGRALI DEFINITI DIPENDENTI DA UN PARAMETRO

1) con limiti fissi:

$a):\qquad \ F(x)=\int _{c}^{d}f(x,y)\ dy;\qquad b):\qquad \Phi (y)=\int _{a}^{b}f(x,y)\ dx$

Se $\ f(x,y)$ è continua ed ammette le derivate parziali prime finite e continue in un rettangolo $\ R$ definito dalle limitazioni: $a\leq x\leq b$, $c\leq y\leq d$, anche le funzioni $\ F(x)$ e $\ \Phi (y)$ sono continue e derivabili rispettivamente in $\ (c,d)$ e $\ (a,b)$ e si ha:

$\ {dF(x) \over dx}=\int _{c}^{d}{\partial f \over \partial x}dy;\qquad {d\Phi (y) \over dy}=\int _{a}^{b}{\partial f \over \partial y}dx;$

[regola di derivazione sotto il segno].

2) con limiti variabili:

$a)\qquad F(x)=\int _{\alpha (x)}^{\beta (x)}f(x,y)dy;\qquad b)\qquad \Phi (y)=\int _{\gamma (y)}^{\delta (y)}f(x,y)dx$

Se $\ f(x,y)$ è continua ed ammette le derivate parziali prime finite e continue in un'area semplice $\ \Omega$ tangente al rettangolo definito dalle limitazioni: $a\leq x\leq b,\ c\leq y\leq d,$ e se le funzioni $\ \alpha (x),\ \beta (x)$ sono continue e derivabili in $\ (a,b),$ mentre le funzioni $\ \gamma (y),\ \delta (y)$ sono continue in $\ (c,d),$ le funzioni: $\ F(x)$ e $\ \Phi (x)$ sono rispettivamente continue e derivabili in $\ (a,b)$ e $\ (c,d).$ Si ha inoltre:

${dF(x) \over dx}=\int _{\alpha (x)}^{\beta (x)}{\partial f \over \partial x}dy-{d\alpha \over dx}f[x,\alpha (x)]+{d\beta \over dx}f[x,\beta (x)],$

${d\Phi (y) \over dy}=\int _{\gamma (y)}^{\delta (y)}{\partial f \over \partial y}dx-{d\gamma \over dy}f[\gamma (y),y]+{d\delta \over dy}f[\delta (y),y].$

ESEMPI DI DERIVAZIONE DI INTEGRALI DIPENDENTI DA UN PARAMETRO

$1):\qquad \Phi (y)=\int _{0}^{1}x^{y}dx;$

${d\Phi \over dy}=\int _{0}^{1}\log \ x\ dx=-{1 \over (y+1)^{2}.}$

$2):\qquad \Phi (y)=\int _{0}^{\sqrt {1-y^{2}}}(4x^{3}y-2xy^{3})dx;$

${d\Phi \over dy}=\int _{0}^{\sqrt {1-y^{2}}}(4x^{3}-6xy^{2})dx-{y \over {\sqrt {1-y^{2}}}}[4{\sqrt {(1-y^{2})^{3}}}\ y-2y^{3}{\sqrt {1-y^{2}}}]=$

$=(x^{4}-3x^{2}y^{2})_{0}^{\sqrt {1-y^{2}}}-y^{2}(4-6y^{2})=1-9y^{2}+10y^{4}$

INTEGRALI ELLITTICI

$1)\qquad \int _{1}^{a}{1 \over x}dx=(\log \ x)_{1}^{a}=\log \ a$