Analisi matematica

• Concetti introduttivi
  1. Insiemi
     • Note storiche

• Algebra lineare
  1. Numeri complessi
  2. equazioni a coefficienti reali
  3. determinanti e matrici
  4. sistemi lineari
  5. funzioni algebriche razionali notevoli

• Limiti-Continuità-Serie
  1. limiti
  2. continuità
  3. serie di funzioni

• Analisi infinitesimale
  1. il calcolo differenziale
  2. esempi sulla derivata
  3. gli integrali
  4. Formule risolutive degli integrali
  5. Esempi di calcolo di integrali non immediati (esercizi svolti)
  6. Il concetto di integrale definito
  7. I diversi tipi di integrale definito
  8. Esempi di calcolo di integrali definiti
  9. Integrali generalizzati
  10. Esempi sugli integrali generalizzati
  11. Integrali definiti dipendenti da un parametro
  12. Esempi di derivazione di integrali definiti dipendenti da un parametro
  13. Integrali ellittici

Questo volume intende essere un quadro sinottico contenente elementi di richiamo di analisi algebrica e infintesimale necessari per lo svolgimento di esercizi. Per evidenziarne l'intento vi sono anche riportati alcuni esercizi quali inserti nel sinottico.

ANALISI INFINITESIMALE

INTEGRALI DEFINITI DIPENDENTI DA UN PARAMETRO

1) con limiti fissi:

$a):\qquad \ F(x)=\int _{c}^{d}f(x,y)\ dy;\qquad b):\qquad \Phi (y)=\int _{a}^{b}f(x,y)\ dx$

Se $\ f(x,y)$ è continua ed ammette le derivate parziali prime finite e continue in un rettangolo $\ R$ definito dalle limitazioni: $a\leq x\leq b$, $c\leq y\leq d$, anche le funzioni $\ F(x)$ e $\ \Phi (y)$ sono continue e derivabili rispettivamente in $\ (c,d)$ e $\ (a,b)$ e si ha:

$\ {dF(x) \over dx}=\int _{c}^{d}{\partial f \over \partial x}dy;\qquad {d\Phi (y) \over dy}=\int _{a}^{b}{\partial f \over \partial y}dx;$

[regola di derivazione sotto il segno].

2) con limiti variabili:

$a)\qquad F(x)=\int _{\alpha (x)}^{\beta (x)}f(x,y)dy;\qquad b)\qquad \Phi (y)=\int _{\gamma (y)}^{\delta (y)}f(x,y)dx$

Se $\ f(x,y)$ è continua ed ammette le derivate parziali prime finite e continue in un'area semplice $\ \Omega$ tangente al rettangolo definito dalle limitazioni: $a\leq x\leq b,\ c\leq y\leq d,$ e se le funzioni $\ \alpha (x),\ \beta (x)$ sono continue e derivabili in $\ (a,b),$ mentre le funzioni $\ \gamma (y),\ \delta (y)$ sono continue in $\ (c,d),$ le funzioni: $\ F(x)$ e $\ \Phi (x)$ sono rispettivamente continue e derivabili in $\ (a,b)$ e $\ (c,d).$ Si ha inoltre:

${dF(x) \over dx}=\int _{\alpha (x)}^{\beta (x)}{\partial f \over \partial x}dy-{d\alpha \over dx}f[x,\alpha (x)]+{d\beta \over dx}f[x,\beta (x)],$

${d\Phi (y) \over dy}=\int _{\gamma (y)}^{\delta (y)}{\partial f \over \partial y}dx-{d\gamma \over dy}f[\gamma (y),y]+{d\delta \over dy}f[\delta (y),y].$

ESEMPI DI DERIVAZIONE DI INTEGRALI DIPENDENTI DA UN PARAMETRO

$1):\qquad \Phi (y)=\int _{0}^{1}x^{y}dx;$

${d\Phi \over dy}=\int _{0}^{1}\log \ x\ dx=-{1 \over (y+1)^{2}.}$

$2):\qquad \Phi (y)=\int _{0}^{\sqrt {1-y^{2}}}(4x^{3}y-2xy^{3})dx;$

${d\Phi \over dy}=\int _{0}^{\sqrt {1-y^{2}}}(4x^{3}-6xy^{2})dx-{y \over {\sqrt {1-y^{2}}}}[4{\sqrt {(1-y^{2})^{3}}}\ y-2y^{3}{\sqrt {1-y^{2}}}]=$

$=(x^{4}-3x^{2}y^{2})_{0}^{\sqrt {1-y^{2}}}-y^{2}(4-6y^{2})=1-9y^{2}+10y^{4}$

INTEGRALI ELLITTICI

$1)\qquad \int _{1}^{a}{1 \over x}dx=(\log \ x)_{1}^{a}=\log \ a$