Analisi matematica/Sistemi lineari

A) n equazioni in n incognite non omogenee:

$\ sistema\qquad {\begin{cases}a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+...+a_{1n}x_{n}=k_{1}\\a_{21}x_{2}+a_{22}x_{2}+...+a_{2n}x_{n}=k_{2}\\..........\\a_{n1}x_{1}+a_{n2}x_{2}+...+a_{nn}x_{n}=k_{n}\end{cases}}$

$\ soluzione\ (regola\ di\ Cramer)\qquad x_{1}={D_{1} \over D},x_{2}={D_{2} \over D},...,x_{n}={D_{n} \over D}$

dove D è il determinante dei coefficienti e $\ D_{r}$ è quello che si deduce da esso sostituendo la colonna dei coefficienti dell'incognita $\ x_{r}$ con la colonna dei termini noti.

Il sistema è determinato se $\ D\neq 0;$ il sistema è impossibile se D=0 e qualche $\ D_{r}\neq 0;$ se infine $\ D=D_{1}=...=D_{n}=0,$ il sistema dato è indeterminato o impossibile.

B) m equazioni in n incognite non omogenee:

$\ sistema\qquad {\begin{cases}a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+...+a_{1n}x(n)=k_{1}\\a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+...+a_{2n}x_{n}=k_{2}\\...........\\a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+...+a_{mn}x_{n}=k_{m}\end{cases}}$.

Condizione di esistenza delle soluzioni:

la matrice dei coefficienti e quella dei coefficienti e termini noti devono avcere la stessa caratteristica.(teorema di Rouchè-Capelli)

soluzione: Se la caratteristica è r, si considerano r equazioni in r incognite in modo che il loro determinante sia $\ \neq 0$, allora, assegnando alle residue n-r incognite valori arbitrari, si risolve il sistema con la regola di Cramer.

C) n equazioni lineari omogenee in n incognite:

sistema$:\qquad {\begin{cases}a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+...+a_{1n}x_{n}=0\\a_{21}x{1}+a_{22}x_{2}+...+a_{2n}x_{n}=0\\...............\\a_{n1}x{1}+a_{n2}x_{2}+...+a_{nn}x_{n}=0\end{cases}}$

Condizione di esistenza di soluxioni in cui non tutte le x_i siano 0: il determinante del sistema deve essere 0.

soluzione: Se r è la caratteristica, per la ricerca delle soluzioni si procede come nel caso B.

D m equazioni lineari omogenee in n incognite:

sistema$\qquad {\begin{cases}a_{11}x_{1}+....+a_{1n}x_{n}=0\\.............\\a_{m1}x_{1}+....a_{mn}x_{n}=0\end{cases}}$

Condizioni di esistenza di soluzioni proprie, in cui cioènon tutte le x_i siano 0: la caratteristica della matrice dei coefficienti deve essere minore del numero delle incognite.

Soluzione. Se la caratteristica è r, si considerano r equazioni in r incognite in modo che il determinante del sistema sia ≠0 e si risolve con la regola di Cramer portando n-r incognite nei secondi membri. Le rimanenti m-r equazioni sono conseguenza delle prime r.

Se in particolare la caratteristica è n-1, le incognite risultano proporzionali ai minori di ordine n-1: A₁, A₂, ...A_n, che figurano nella matrice formata dalle n-1 equazioni indipendenti; precisamente si ha: x_{i}=(-1)^{i-1}ρA_i, essendo A_i il minore ottenuto sopprimendo la colonna i^ma e ρ un fattore di proporzionalità.