Analisi matematica I/Limite/I limiti notevoli

Limite notevole con funzione esponenziale - 2

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Teorema: Limite notevole con funzione esponenziale

$\lim _{x\rightarrow x_{0}}{\frac {a^{x}-1}{x}}=\ln a$

Teorema: Limite notevole con funzione esponenziale

Ipotesi

Nessuna.

Tesi

$\lim _{x\rightarrow x_{0}}{\frac {a^{x}-1}{x}}=\ln a$

Dimostrazione

$\lim _{x\rightarrow x_{0}}{\frac {a^{x}-1}{x}}\Longrightarrow {\begin{matrix}a^{x}-1=t\ ;\ a^{x}=t+1\\x=\operatorname {lg} _{a}\left(t+1\right)\\x\rightarrow 0\Rightarrow t\rightarrow 0\end{matrix}}\Longrightarrow \lim _{t\rightarrow 0}{\frac {t}{\operatorname {lg} _{a}\left(t+1\right)}}=\lim _{t\rightarrow 0}{\frac {1}{\frac {\operatorname {lg} _{a}\left(t+1\right)}{t}}}=$

$=\lim _{t\rightarrow 0}{\frac {1}{{\frac {1}{t}}\cdot \operatorname {lg} _{a}\left(t+1\right)}}={\frac {1}{\operatorname {lg} _{a}\lim _{t\rightarrow 0}\left(t+1\right)^{\frac {1}{t}}}}=$

In base al limite notevole $\lim _{x\rightarrow x_{0}}\left(1+x\right)^{\frac {1}{x}}=e$

${\frac {1}{\operatorname {lg} _{a}\lim _{t\to 0}\left(t+1\right)^{\frac {1}{t}}}}={\frac {1}{\operatorname {lg} _{a}e}}=\ln a$