Meccanica quantistica/Momento angolare

Operatore momento angolare

Operatore del momento angolare di una particella:

${\widehat {\mathbf {L} }}=-i\hbar \mathbf {r} \times \nabla$

Autovalori del quadrato del momento angolare:

$\mathbf {L} ^{2}=\hbar ^{2}l(l+1)\qquad (l=0,1,...)$

Autovalori della componente z del momento angolare:

$L_{z}=\hbar m\qquad (m=-l,-l+1,...,l)$

Le autofunzioni comuni agli operatori ${\widehat {\mathbf {L} }}^{2}$ e ${\widehat {L}}_{z}$ sono le funzioni armoniche sferiche $Y_{lm}(\theta ,\varphi )$.

Spin

Il momento angolare totale $\mathbf {J}$ di una particella è composto dal momento orbitale $\mathbf {L}$ e dallo spin $\mathbf {S}$ . Il quadrato dello spin ha autovalori $\mathbf {S} ^{2}=\hbar ^{2}s(s+1)$, dove $s$ può essere un numero intero o semintero. La componente z dello spin ha autovalori $\hbar s_{z}$, dove $s_{z}=-s,-s+1,...,s$.

Nel caso di una particella con spin 1/2 (ad esempio un elettrone) ${\widehat {\mathbf {S} }}=\hbar {\widehat {\boldsymbol {\sigma }}}/2$, dove ${\widehat {\boldsymbol {\sigma }}}$ è l'insieme delle matrici di Pauli:

${\widehat {\sigma }}_{x}=\left({\begin{array}{cc}0&1\\1&0\end{array}}\right),\qquad {\widehat {\sigma }}_{y}=\left({\begin{array}{cc}0&-i\\i&0\end{array}}\right),\qquad {\widehat {\sigma }}_{z}=\left({\begin{array}{cc}1&0\\0&-1\end{array}}\right)$