Meccanica quantistica/Momento angolare: differenze tra le versioni
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== Composizione dei momenti angolari == |
== Composizione dei momenti angolari == |
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Funzione d'onda di un sistema di due particelle con momenti angolari <math>l_1</math> e <math>l_2</math>: |
Funzione d'onda di un sistema di due particelle con momenti angolari <math>l_1</math> e <math>l_2</math>: |
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:<math>\psi_{lm}= \sum C_{m_1m_2}^{lm}\psi^{(1)}_{l_1m_1}\psi^{(2)}_{l_2m_2} |
:<math>\psi_{lm}= \sum C_{m_1m_2}^{lm}\psi^{(1)}_{l_1m_1}\psi^{(2)}_{l_2m_2}</math> |
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Le quantità <math>C_{m_1m_2}^{lm}</math> sono i '''coefficienti di Clebsch-Gordan'''. |
Le quantità <math>C_{m_1m_2}^{lm}</math> sono i '''coefficienti di Clebsch-Gordan'''. |
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irriducibile di rango ''k''. In particolare, a un tensore sferico <math>f_{1m}</math> corrisponde un vettore '''f''': |
irriducibile di rango ''k''. In particolare, a un tensore sferico <math>f_{1m}</math> corrisponde un vettore '''f''': |
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:<math>f_{10}=if_z,\qquad f_{1,\pm 1}=\mp \frac{i}{\sqrt{2}}(f_x \pm if_y)</math> |
:<math>f_{10}=if_z,\qquad f_{1,\pm 1}=\mp \frac{i}{\sqrt{2}}(f_x \pm if_y)</math> |
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== Teorema di Wigner-Eckart == |
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Gli elementi di matrice di un tensore sferico |
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hanno la forma seguente: |
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:<math><n'l'm'|f_{kq} |nlm > =\sum C_{m'q}^{lm} |
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<n'l'||f_{k}||nl ></math> |
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dove <math><n'l'|f_{k}|nl ></math> sono gli '''elementi di matrice ridotti''', indipendenti da <math>m</math>, <math>m'</math> e <math>q</math>. |
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Per <math>k=1</math> si ottengono delle espressioni per gli [[Meccanica quantistica/Concetti fondamentali#Matrici|elementi di matrice]] di un vettore '''f'''. |
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Gli elementi di matrice non nulli di <math>f_z</math> corrispondono a delle transizioni <math>m \rightarrow m</math>, e gli elementi di matrice di <math>f_x</math> e <math>f_y</math> a delle transizioni <math>m \rightarrow m \pm 1</math>. |
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== Spin == |
== Spin == |
Versione delle 18:37, 9 set 2007
Operatore momento angolare
Operatore del momento angolare di una particella:
Autovalori del quadrato del momento angolare:
Autovalori della componente z del momento angolare:
Le autofunzioni comuni agli operatori e sono le funzioni armoniche sferiche .
Composizione dei momenti angolari
Funzione d'onda di un sistema di due particelle con momenti angolari e :
Le quantità sono i coefficienti di Clebsch-Gordan.
Il momento angolare l può assumere soltanto dei valori compresi tra e , e .
Tensori sferici
Un tensore sferico è un insieme di quantità che nelle rotazioni si trasformano come le funzioni armoniche sferiche .
A un tensore sferico corrisponde un tensore simmetrico irriducibile di rango k. In particolare, a un tensore sferico corrisponde un vettore f:
Teorema di Wigner-Eckart
Gli elementi di matrice di un tensore sferico hanno la forma seguente:
dove sono gli elementi di matrice ridotti, indipendenti da , e .
Per si ottengono delle espressioni per gli elementi di matrice di un vettore f. Gli elementi di matrice non nulli di corrispondono a delle transizioni , e gli elementi di matrice di e a delle transizioni .
Spin
Il momento angolare totale di una particella è composto dal momento orbitale e dallo spin . Il quadrato dello spin ha autovalori , dove può essere un numero intero o semintero. La componente z dello spin ha autovalori , dove .
Nel caso di una particella con spin 1/2 (ad esempio un elettrone) , dove è l'insieme delle matrici di Pauli: