Calcolo differenziale/Componenti: differenze tra le versioni

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==Differenziali e derivate del prim'ordine==
 
===Gradiente e derivata direzionale delle funzioni scalari - Operatori differenziali===
 
Tutti gli operatori differenziali vettoriali sono stati ricondotti a delle combinazioni algebriche dell'operatore differenziale vettoriale contrassegnato con il simbolo nabla, <math>\nabla</math>, per cui la determinazione delle componenti degli operatori differenziali richiede la determinazione delle componenti di questo operatore. D'altra parte tale operatore nel caso delle funzioni scalari coincide con la derivata, per cui la determinazione delle sue componenti può essere fatta a partire dalla determinazione delle componenti della derivata di una funzione scalare.
:<math>\left ( \frac{d \mathbf f}{d \mathbf x} \right )_{ij} = \frac{\partial f_i}{\partial x^j}</math>
</div>
 
===Differenziale===
 
Ricordando che la derivata è il "coefficiente" da dare all'incremento della variabile per ottenere l'incremento della funzione, cioè:
 
;funzioni scalari
:<math>df(\mathbf x_0)(\Delta \mathbf x) = <Df(\mathbf x_0),\Delta \mathbf x></math>
;funzioni vettoriali
:<math>d\mathbf f (\mathbf x_0)(\Delta \mathbf x) = D\mathbf f(\mathbf x_0) \Delta \mathbf x</math>
 
si ha:
 
;funzioni scalari
:<math>df(\mathbf x_0)(\Delta \mathbf x) = \sum_{i=1}^n {\nabla_i f \Delta x^i}</math>
;funzioni vettoriali
:<math>df_k (\mathbf x_0)(\Delta \mathbf x) = \sum_{i=1}^n {\nabla_i f_k \Delta x^i}</math>
 
==Differenziali e derivate di ordine superiore==

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