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Riga 105: |
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:<math>d = \sum_{i=1}^n {\nabla_i \, dx^i}</math> |
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:<math>d = \sum_{i=1}^n {\nabla_i \, dx^i}</math> |
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ovvero, nella notazione di Leibnitz: |
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ovvero, nella notazione di Leibniz: |
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:<math>d = \sum_{i=1}^n {\frac{\partial}{\partial x^i} dx^i}</math> |
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:<math>d = \sum_{i=1}^n {\frac{\partial}{\partial x^i} dx^i}</math> |
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Essendo tutti questi operatori degli operatori scalari, essi si applicano indifferentemente ad una funzione scalare o alle singole componenti di una funzione vettoriale, come si vede nelle equazioni ricavate poco sopra. |
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==Differenziali e derivate di ordine superiore== |
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==Differenziali e derivate di ordine superiore== |
Differenziali e derivate del prim'ordine
Gradiente e derivata direzionale delle funzioni scalari - Operatori differenziali
Tutti gli operatori differenziali vettoriali sono stati ricondotti a delle combinazioni algebriche dell'operatore differenziale vettoriale contrassegnato con il simbolo nabla, , per cui la determinazione delle componenti degli operatori differenziali richiede la determinazione delle componenti di questo operatore. D'altra parte tale operatore nel caso delle funzioni scalari coincide con la derivata, per cui la determinazione delle sue componenti può essere fatta a partire dalla determinazione delle componenti della derivata di una funzione scalare.
Se è una base dello spazio V su cui sono definite le funzioni da differenziare, la i-ma componente covariante di rispetto a tale base è un operatore differenziale scalare tale che per ogni funzione scalare f si abbia:
Per determinare tale operatore differenziale è sufficiente considerare che dato un generico vettore allora, posto:
la derivata direzionale di f in direzione è:
Nel caso in cui sia , la variazione è la variazione della i-ma componente dell'argomento rispetto alla base:
per cui si ottiene:
la quale corrisponde alla seguente relazione operatoriale:
Tornando alla derivata direzionale, si ha in genere:
che in forma operatoriale diventa:
oppure, in notazione di Leibniz:
Jacobiano delle funzioni vettoriali
Poiché lo jacobiano di è un operatore lineare da V a W, ed è associato ad un tensore di rango (1,1), le sue componenti hanno due indici: uno per la i-ma componente del trasformato e uno per la j-ma componente dell'argomento:
da cui:
ovvero, in notazione di Leibniz:
Differenziale
Ricordando che la derivata è il "coefficiente" da dare all'incremento della variabile per ottenere l'incremento della funzione, cioè:
- funzioni scalari
- funzioni vettoriali
si ha:
- funzioni scalari
- funzioni vettoriali
Ricordando che il differenziale dell'indentità calcolato in qualunque punto, che si è indicato con , coincide con l'identità stessa, la sua i-ma componente controvariante è una applicazione che ad ogni vettore associa la sua i-ma componente controvariante:
da cui si vede che la i-ma componente controvariante di è l'i-mo termine della base duale:
Questa relazione, al solito, può essere utilizzata per scrivere la relazione fra il differenziale e la derivata come relazione fra funzioni:
- funzioni scalari
- funzioni vettoriali
o come relazione fra funzionali:
- funzioni scalari
- funzioni vettoriali
o come relazione fra operatori differenziali:
ovvero, nella notazione di Leibniz:
Essendo tutti questi operatori degli operatori scalari, essi si applicano indifferentemente ad una funzione scalare o alle singole componenti di una funzione vettoriale, come si vede nelle equazioni ricavate poco sopra.
Differenziali e derivate di ordine superiore
Funzioni scalari e operatori
Per le funzioni scalari si ha:
dove è un tensore di tipo (0,k) avente componenti:
Si ha quindi:
che espressa in forma operatoriale equivale a:
Funzioni vettoriali
Per le funzioni vettoriali si ha:
dove è un operatore tensoriale di tipo (1,k) avente componenti:
Dunque:
Derivata direzionale
Per calcolare la derivata direzionale delle funzioni scalari e vettoriali bisogna cacolare la k-ma potenza dell'operatore scalare , la quale richiede l'impiego dello sviluppo multinomiale:
ovvero:
Sviluppo in serie
Nello sviluppo in serie delle funzioni scalari e vettoriali il k-mo termine si ottiene applicando alla funzione l'operatore scalare il quale, per la relazione appena trovata, diventa: