Calcolo differenziale/Componenti: differenze tra le versioni

Jump to navigation Jump to search
===Differenziale===
 
Il differenziale è un operatore scalare:
Ricordando che la derivata è il "coefficiente" da dare all'incremento della variabile per ottenere l'incremento della funzione, cioè:
:<math>d = <\nabla, d\mathbf x></math>
 
RicordandoQui che<math>d\mathbf x</math> è il differenziale dell'indentità calcolato in qualunquepunto puntogenerico, che si è indicato con <math>d\mathbf x</math>, coincide con l'identità stessa, per cui la sua ''i''-ma componente controvariante è una applicazione che ad ogni vettore associa la sua ''i''-ma componente controvariante:
;funzioni scalari
:<math>df(\mathbf x_0)(\Delta \mathbf x) = <Df(\mathbf x_0),\Delta \mathbf x></math>
;funzioni vettoriali
:<math>d\mathbf f (\mathbf x_0)(\Delta \mathbf x) = D\mathbf f(\mathbf x_0) \Delta \mathbf x</math>
 
si ha:
 
;funzioni scalari
:<math>df(\mathbf x_0)(\Delta \mathbf x) = \sum_{i=1}^n {\nabla_i f(\mathbf x_0) \, \Delta x^i}</math>
;funzioni vettoriali
:<math>df_k (\mathbf x_0)(\Delta \mathbf x) = \sum_{i=1}^n {\nabla_i f_k(\mathbf x_0) \, \Delta x^i}</math>
 
Ricordando che il differenziale dell'indentità calcolato in qualunque punto, che si è indicato con <math>d\mathbf x</math>, coincide con l'identità stessa, la sua ''i''-ma componente controvariante è una applicazione che ad ogni vettore associa la sua ''i''-ma componente controvariante:
:<math>dx^i(\Delta \mathbf x) = <e^i,d\mathbf x(\Delta \mathbf x)> = <e^i, \Delta \mathbf x> = \Delta x^i</math>
 
:<math>dx^i = <e^i,d\mathbf x> = e^i</math>
 
Avendo definito <math>dx^i</math> si può sviluppare il prodotto scalare nelle componenti dei fattori:
Questa relazione, al solito, può essere utilizzata per scrivere la relazione fra il differenziale e la derivata come relazione fra funzioni:
;funzioni scalari
:<math>df(\mathbf x_0) = \sum_{i=1}^n {\nabla_i f(\mathbf x_0) \, dx^i}</math>
;funzioni vettoriali
:<math>df_k (\mathbf x_0) = \sum_{i=1}^n {\nabla_i f_k(\mathbf x_0) \, dx^i}</math>
 
o come relazione fra funzionali:
;funzioni scalari
:<math>df = \sum_{i=1}^n {\nabla_i f \, dx^i}</math>
;funzioni vettoriali
:<math>df_k = \sum_{i=1}^n {\nabla_i f_k \, dx^i}</math>
 
o come relazione fra operatori differenziali:
:<math>d = \sum_{i=1}^n {\nabla_i \, dx^i}</math>
 
ovvero, nella notazione di Leibniz:
:<math>d = \sum_{i=1}^n {\frac{\partial}{\partial x^i} dx^i}</math>
 
Essendo tutti questi operatori degli operatori scalari, essi si applicano indifferentemente ad una funzione scalare o alle singole componenti di una funzione vettoriale, come si vede nelle equazioni ricavate poco sopra.
 
==Differenziali e derivate di ordine superiore==

Menu di navigazione