Calcolo differenziale/Funzioni su spazi vettoriali - ordini successivi: differenze tra le versioni

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:<math>d^k = <\mathbf x, \nabla>^k</math>
:<math>d^k = <d\mathbf x, \nabla>^k</math>
:<math>D_{\hat \mathbf v}^k = <\hat \mathbf v,\nabla>^k</math>
:<math>D_{\hat \mathbf v}^k = <\hat \mathbf v,\nabla>^k</math>
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Versione delle 18:13, 4 ott 2007

Differenziale k-mo

La definizione di differenziale k-mo data per le funzioni di una variabile reale si lascia facilmente generalizzare a quelle definite su spazi vettoriali: il differenziale di ordine k calcolato nel punto è una funzione k-lineare nei suoi argomenti e tale che come funzione lineare del suo k-mo argomento esso risulti pari alla parte lineare della variazione del differenziale (k-1)-mo rispetto ad una variazione del suo punto di applicazione:

funzioni scalari
funzioni vettoriali

Derivata k-ma

Il differenziale k-mo ha come dominio e come codominio K o V a seconda che la funzione sia scalare o vettoriale.

D'altra parte può essere mappato in per mezzo del prodotto tensoriale ed esiste una corrispondenza "naturale" fra le applicazioni lineari su e quelle su .

Funzioni scalari

Nel caso delle funzioni scalari tali applicazioni sono a valori in K, per cui esse appartengono al duale di e sono associate ad altrettanti tensori di tipo (0, k) tali che l'applicazione delle funzioni lineari al tensore di tipo (k, 0) costituito da si riduce ad un prodotto scalare in . Il tensore di tipo (0, k) che fa da "coefficiente" di è, per definizione, la derivata k-ma della funzione:

Funzioni vettoriali

Per le funzioni vettoriali vale un discorso analogo, ma questa volta le funzioni sono a valori in V, cioè restituiscono un vettore, per cui esse sono associate ad altrettanti tensori di tipo (1, k) che danno uno scalare quando vengano moltiplicati per un tensore di tipo (k, 1). I primi tensori, quelli di tipo (1, k), sono - per definizione - le derivate della funzione.

Ci sono diversi modi di rendere questa relazione:

  • si scrive il prodotto scalare di con un generico covettore ω:
  • oppure si scrive come prodotto scalare parziale che "aspetta" un covettore per dare uno scalare:
  • oppure si definisce una "contrazione" fra il tensore (1,k) e il tensore (k,0) tale che per ogni ω si abbia:
dopodiché si può porre:

Derivata direzionale k-ma

La derivata direzionale k-ma, essendo riconducibile alla derivata di una funzione di una variabile scalare, è definita in modo ordinario:

funzioni scalari
funzioni vettoriali

Relazioni funzionali e notazione di Leibniz

Utilizzando la funzione identità scritta come , si può definire la funzione k-lineare tale che:

per cui si ha:

funzioni scalari
funzioni vettoriali

Si può allora recuperare, almeno formalmente, la notazione di Leibniz, scrivendo la derivata come "rapporto" fra differenziali:

funzioni scalari
funzioni vettoriali

dove l'espressione:

va intesa semplicemente come espressione formale per dire che è possibile definire un qualche "prodotto" in modo tale che B sia esprimibile come "prodotto" di A per C

Operatori differenziali

Il fatto che il differenziale e la derivata direzionale siano due operatori "scalari" si rivela particolarmente utile non solo perché essi - come si è visto - si applicano nello stesso modo sia alle funzioni scalari sia a quelle vettoriali (agendo indipedentemente su ogni componente), ma anche perché le loro "potenze" si scrivono come potenze ordinarie di uno scalre. Più precisamente si ha:

Errore del parser (SVG (MathML può essere abilitato tramite plug-in del browser): risposta non valida ("Math extension cannot connect to Restbase.") dal server "http://localhost:6011/it.wikibooks.org/v1/":): {\displaystyle d^k = <d\mathbf x, \nabla>^k}

Sviluppo in serie

Termini multilineari

La generalizzazione dello sviluppo in serie di potenze a funzioni definite su spazi vettoriali è uno sviluppo in una serie di funzioni k-lineari simmetriche avente come argomento la k-pla :

funzioni scalari
funzioni vettoriali

dove le funzioni k-lineari hanno come dominio e come codominio K o V a seconda che la funzione sia scalare o vettoriale.

Analogamente a quanto si è fatto con i differenziali, il termine k-mo si può scrivere come:

funzioni scalari
funzioni vettoriali

Lo sviluppo in serie della funzione può dunque essere riscritto nel modo seguente:

funzioni scalari
funzioni vettoriali

Relazione fra i termini dello sviluppo e il differenziale e la derivata

Analogamente a quanto si è fatto con i termini del prim'ordine, si dimostra che il differenziale k-mo, quando calcolato sulla "diagonale" , è pari a meno di un fattore k! al k-mo termine dello sviluppo della funzione:

funzioni scalari
funzioni vettoriali

Da queste relazioni seguono immediatamente le relazioni analoghe fra la derivata k-ma e il k-mo termine dello sviluppo della funzione:

funzioni scalari
funzioni vettoriali

Derivata direzionale

Lo sviluppo in serie della funzione , essendo questa definita su K, si fa in termini di derivate ordinarie nell'argomento scalare :

funzioni scalari
funzioni vettoriali

Questo sviluppo va confrontato con quello che si ottiene considerando argomento di f:

funzioni scalari
funzioni vettoriali

Dal confronto si vede che:

funzioni scalari
funzioni vettoriali

Relazioni funzionali e operatori differenziali

Essendo le relazioni fra la derivata direzionale e quella totale possono essere riscritte come relazioni fra operatori funzionali:

funzioni scalari
funzioni vettoriali

D'altra parte si ha:

da cui segue:

funzioni scalari
funzioni vettoriali

Si ha dunque:

funzioni scalari
funzioni vettoriali

Usando queste relazioni il differenziale può essere espresso in questo modo:

funzioni scalari
funzioni vettoriali

Si può allora introdurre il seguente operatore scalare:

Usando questo operatore risulta particolarmente agevole esprimere il k-mo termine dello sviluppo della funzione:

funzioni scalari
funzioni vettoriali