Analisi matematica/Esempi di integrali generalizzati

esempi di integrali generalizzati

1. $\qquad \int _{0}^{1}{1+x \over {\sqrt[{2}]{x}}}dx,$

   la funzione $\ y={1+x \over {\sqrt[{2}]{x}}}$ ha un punto di infinito per $\ x=0$ di ordine ${1 \over 2}$, onde si ha:

   $\lim _{\delta \to 0}I(\delta )=\lim _{\delta \to 0}\int _{\delta }^{1}{1+x \over {\sqrt[{2}]{x}}}dx=\lim _{\delta \to 0}(2{\sqrt[{2}]{x}}+{2 \over 3}{\sqrt[{2}]{x^{3}}})_{\delta }^{1}={8 \over 3}$

2. $\int \int _{c}{dxdy \over {\sqrt[{2}]{x+y}}},$

   essendo $\ \Omega$ un quadrato di lato $\ 1$ con un vertice nell'origine e due lati sugli assi. La funzione $\ {1 \over x+y}$ ha un punto di infinito nell'origine. Si ha quindi:

   $\lim _{c\to 0}\int \int _{\Omega -\omega }^{}{dxdy \over {\sqrt[{2}]{x+y}}}=\lim _{c\to 0}[\int \int _{\Omega _{1}}{}{dxdy \over {\sqrt[{2}]{x+y}}}+2\int \int _{\Omega _{2}}^{}{dxdy \over {\sqrt[{2}]{x+y}}}],$

   dove $\ \omega$ è un quadratino di lato $\ c$ con un vertice nell'origine , $\ \Omega _{1},\Omega _{2},\Omega _{3}$ le parti in cui è diviso $\ Omega$ dalle parallele agli assi per i punti $\ (c,0),(0,c).$

   Eseguendo i calcoli si trova:

   $\lim _{c\to 0}\int _{c}^{1}dy\int _{c}^{1}{dx \over {\sqrt[{2}]{x+y}}}+2\int _{0}^{c}dy\int _{c}^{1}{dx \over {\sqrt[{2}]{x+y=}}}={8 \over 3}({\sqrt[{2}]{2}}-1)$

3. $\int _{a}^{\infty }{dx \over x^{2}}$
4. $\int _{\Omega }^{}{dxdy \over (1+x^{2})(1+y^{2}),}$

   essendo $\ \Omega$ il primo quadrato cartesiano. Allora si ha: