Logica matematica/Calcolo delle proposizioni/La deduzione naturale: differenze tra le versioni

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{\Phi \over {\Phi \rightarrow \Phi}}
{\Phi \over {\Phi \rightarrow \Phi}}
</math>
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Svolgiamo ora anche il secondo esempio che avevamo proposto con il sistema di Hilbert.

<math>(\Phi \rightarrow \Psi \wedge \Psi \rightarrow \chi) \rightarrow (\Phi \rightarrow \chi)</math>

Versione delle 19:31, 18 nov 2007

La deduzione naturale

Gerhard Gentzen ha notato che il sistema assiomatico di Hilbert è molto lontano da modo di ragionare che applicano i matematici nella loro attività quotidiana.

Riasalire agli assiomi o partire dagli assiomi non è semplice e spesso è molto poco intuitivo, in fondo l' unico esempio significativo di nteoria assiomatica che ci è giunta da tempi lontani è la geometria di Euclide.

Gentzen ha cercato un sistema di dimostrazione che fosse semplice ed intuitivo, arrivando alla "deduzione naturale", un sistema di dimostrazione senza assiomi e con una serie di regole il cui numero dipende dai connettivi che definiamo come primitivi.

Le regole

Per ogni connettivo sono specificate delle regole di inferenza che permettono di introdurre o eliminare una operazione logica nel corso della dimostrazione.

Vediamo quindi le regole:


Introduzione di

Eliminazione di

Introduzione di

Eliminazione di

Introduzione di

Eliminazione di

Introduzione di

Eliminazione di

Vediamo come si utilizza questo schema prendendo come esempio la prima regola. Questa ci dice che se abbiamo una dimostrazione di e una dimostrazione di (la riga sopra la barra orizzontale) possiamo derivare la frase che è da considerarsi dimostrata. La regola si può anche utilizzare in senso inverso, se devo dimostrare la congiunzione (frase sotto la riga orizzontale) devo procurarmi una dimostrazione delle due sentenze che la compongono (frasi sopra la riga).

Nelle regole le sentenze che assumiamo come ipotesi sono indicate tra parentesi. Nella regola di introduzione dell' per esempio vediamo il teorema di deduzione: se dall' assunzione di ottengo la dimostrazione di allora posso derivare che implica .

Altre regole per la logica classica

Esempi

Proviamo a dimostrare:

con la deduzione naturale è estremamente semplice, basta ipotizzare e quindi utilizzare la regola di introduzione di .

Svolgiamo ora anche il secondo esempio che avevamo proposto con il sistema di Hilbert.