Trigonometria/Coordinate polari e espressione goniometrica dei numeri complessi

Polo, asse polare, raggio vettore e anomalia

È possibile individuare i punti del piano anche in sistemi di coordinate diverse da quelle cartesiane; tra i diversi sistemi, particolarmente importante è quello delle coordinate polari.

Coordinate polari

Fissiamo nel piano un punto O (polo) e una semiretta OR, detta semiasse polare; ogni punto P del piano è individuato quando sia noto il raggio vettore ρ=OP e l'anomalia, ossia l'angolo ϑ di cui OR deve ruotare in senso antiorario per sovrapporsi a OP'.
Il raggio vettore e l'anomalia possono variare da zero all'infinito (positivo), e a ogni coppia di valori del raggio vettore e dell'anomalia corrisponde uno e un solo punto del piano.
Non è necessariamente vero però l'inverso, visto che l'anomalia può assumere tutti i valori del tipo ϑ+2kπ, dove k è un qualsiasi numero intero non minore di zero; quindi, a ogni punto del piano corrispondono un raggio vettore e infinite anomalie.

Passaggio dalle coordinate cartesiane alle coordinate polari (e viceversa)

Passaggio da coordinate polari a cartesiane

La figura evidenzia, in base alle relazioni trigonometriche viste, la relazione esistente tra le coordinate cartesiane x, y di un punto P e le sue coordinate polari:

${\begin{alignedat}{2}x=\rho \cos \theta \\y=\rho \sin \theta \end{alignedat}}$

Inversamente, per il teorema di Pitagora si ha:

$\rho ={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}$
$\tan \theta ={\frac {y}{x}}$

O, per quanto riguarda la seconda espressione,

$\theta =\arctan {\frac {y}{x}}$

Inoltre, è:

$\cos \theta ={\frac {x}{\rho }}={\frac {x}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}$

$\sin \theta ={\frac {y}{\rho }}={\frac {y}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}$

Spirali

Le coordinate polari permettono di esprimere attraverso funzioni algebriche relativamente semplici curve relativamente complicate: due esempi classici sono la spirale di Archimede e la spirale logaritmica.

Spirale di Archimede

Spirale di Archimede

Un punto P si muove a velocità costante v su una semiretta r mentre la semiretta ruota in verso antiorario attorno a O con velocità angolare costante ω. L'angolo di rotazione all'istante t è allora dato da:

$\theta =\omega t$

Lo spazio ρ percorso da P lungo la semiretta r sarà invece:

$\rho =vt$

Quindi ad un istante t il punto P si troverà in:

${\begin{cases}\rho &=vt\\\theta &=\omega t\end{cases}}$

dalla prima equazione, si ricava:

$t={\frac {\rho }{v}}$

sostituendo nella seconda:

$\theta =\omega {\frac {\rho }{v}}$

e, ponendo ρ/v=a:

$\rho =a\theta$

Questa è l'equazione in coordinate polari della spirale di Archimede: al tendere di t all'infinito, anche ρ e θ tenderanno all'infinito; quindi la curva si allontanerà progressivamente dall'origine, senza mai ritornarci, e il raggio vettore incrocerà in infiniti punti P₁, P₂,... la curva.
Possiamo descrivere la posizione dei due punti sul raggio vettore come:

$P_{1}:\rho =a\theta$

$P_{2}:\rho '=a\left(\theta +2\pi \right)$

E quindi:

$\rho '-\rho =a\left(\theta +2\pi -\theta \right)=2\pi a$

Spirale logaritmica

Spirale logaritmica

Se anziché una progressione aritmetica imponiamo che il nostro raggio vettore cresca secondo una progressione geometrica, l'equazione diventa:

$\rho =ae^{m\theta }$

L'esponenziale è giustificato dalla sua espressione secondo la formula di Taylor:

$e^{x}=\sum _{i=0}^{\infty }{\frac {x^{i}}{i!}}$

dove ogni termine della sommatoria è pari al precedente moltiplicato per ${\frac {x}{i}}$

Quindi il raggio vettore incontra la spirale in una successione di punti P₁, P₂,... di coordinate:

$P_{1}:\rho =ae^{m\theta }$

$P_{2}:\rho '=ae^{m\left(\theta +2\pi \right)}$

Essendo, in questo caso, la progressione geometrica, per ottenere la ragione dobbiamo calcolare il rapporto tra i due raggi vettori:

${\frac {\rho '}{\rho }}={\frac {ae^{m\left(\theta +2\pi \right)}}{ae^{m\theta }}}={\frac {e^{m\left(\theta +2\pi \right)}}{e^{m\theta }}}=e^{m\left(\theta +2\pi -\theta \right)}=e^{2\pi m}$

Anche questa spirale si allontana verso l'infinito al crescere di θ (molto più velocemente della spirale archimedea), ma al diminuire dell'anomalia si percorrono infinite spire che non raggiungono mai l'origine; per questo, si dice che l'origine è un punto asintotico della spirale logaritmica.

Curve notevoli in coordinate polari

Altre curve notevoli presentano espressioni interessanti in coordinate polari:

Retta

Data l'equazione cartesiana della retta:

$ax+by+c=0$

attraverso le regole di passaggio dalle coordinate cartesiane alle coordinate polari, si ha:

$a\rho \cos \theta +b\rho \sin \theta +c=0$

ossia:

$\rho \left(a\cos \theta +b\sin \theta \right)+c=0$

che diventa:

$\rho ={\frac {-c}{a\cos \theta +b\sin \theta }}$

(si ponga attenzione al segno negativo della frazione).

Circonferenza

Una circonferenza è definita come il luogo dei punti a distanza r da un punto fisso, quindi la sua equazione in coordinate polari è semplicemente:

$\rho =r$

Sezioni coniche

Sezione conica

La definizione generale di una sezione conica permette di definire facilmente l'equazione polare:

Dati nel piano un punto fisso (detto fuoco) e una retta non passante per il punto (detta direttrice), il luogo dei punti per cui il rapporto tra la distanza dalla direttrice e la distanza dal fuoco è costante è detto sezione conica.

Ossia, con riferimento alla figura:

$PO=ePH$

dove e è costante ed è detta eccentricità.
Essendo, sempre da figura:

$PO=\rho$

$PH=d-\rho \cos \theta$

si ha:

$\rho =e\left(d-\rho cos\theta \right)$

ossia, risolvendo in ρ:

$\rho ={\frac {ed}{1+e\cos \theta }}$

che è l'equazione generale delle coniche in coordinate polari.
L'eccentricità permette di definire, in funzione del suo valore, le diverse coniche: infatti, si ha:

e<1: la conica è una ellisse.

e=1: la conica è una parabola.

e>1: la conica è una iperbole.

e=0: la conica è una circonferenza.

Se la concavità o la convessità della conica guardano verso il basso, la funzione seno viene sostituita dalla funzione coseno.

Espressione goniometrica dei numeri complessi

Il piano di Gauss

Su un piano cartesiano, ponendo i numeri reali sull'asse delle ascisse e i numeri immaginari sull'asse delle ordinate, si vede che esiste una corrispondenza biunivoca tra i punti del piano e i numeri complessi; quindi, esattamente come è possibile esprimere un numero complesso x+iy come coppia ordinata di coordinate cartesiane (x,y), deve essere possibile esprimerlo come coordinate polari.

L'espressione goniometrica dei numeri complessi

Considerando il numero complesso a+ib avente per immagine sul piano di Gauss il punto P, vediamo che è esprimibile anche attraverso le coordinate polari ρ e θ che, in questo specifico caso, vengono dette rispettivamente modulo e argomento di P.

Numero complesso in coordinate polari

Sappiamo che è:

${\begin{cases}a=\rho \cos \theta \\b=\rho \sin \theta \\\rho ={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}\end{cases}}$

e:

${\begin{cases}\cos \theta ={\frac {a}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}={\frac {a}{\rho }}\\\sin \theta ={\frac {b}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}={\frac {b}{\rho }}\\\tan \theta ={\frac {b}{a}}\end{cases}}$

quindi possiamo esprimere i numeri complessi in forma goniometrica:

$a+ib=\rho \left(\cos \theta +i\sin \theta \right)$

Questa espressione permette di esprimere in forma molto più semplice alcune operazioni tra numeri complessi.

Prodotto e quoziente di numeri complessi

$\alpha =\rho _{1}\left(cos\theta _{1}+i\sin \theta _{1}\right)$

$\beta =\rho _{2}\left(cos\theta _{2}+i\sin \theta _{2}\right)$

Il loro prodotto vale:

${\begin{aligned}\alpha \beta &=\rho _{1}\left(\cos \theta _{1}+i\sin \theta _{2}\right)\rho _{2}\left(\cos \theta 2+i\sin \theta _{2}\right)\\&=\rho _{1}\rho _{2}\left[\cos \theta _{1}\cos \theta _{2}-\sin \theta _{1}\sin \theta _{2}+i\left(\sin \theta _{1}\cos \theta _{2}+\cos \theta _{1}\sin \theta _{2}\right)\right]\end{aligned}}$

e quindi, per le formule di addizione (applicate all'inverso):

$\alpha \beta =\rho _{1}\rho _{2}\left[\cos \left(\theta _{1}+\theta _{2}\right)+i\sin \left(\theta _{1}+\theta _{2}\right)\right]$

nello stesso modo, applicando però le formule di sottrazione (sempre all'inverso):

${\frac {\alpha }{\beta }}={\frac {\rho _{1}}{\rho _{2}}}\left[\cos \left(\theta _{1}-\theta _{2}\right)+i\sin \left(\theta _{1}-\theta _{2}\right)\right]$

Potenza di un numero complesso (formula di De Moivre)

Dato il numero complesso α=ρ(cos θ + i sin θ), applicando la prima delle due formule appena ottenute si ha:

$\alpha ^{n}=\left[\rho \left(\cos \theta +i\sin \theta \right)\right]^{n}=\rho ^{n}\left(\cos n\theta +i\sin n\theta \right)$

ponendo ρ=1, si ottiene la 'formula di DeMoivre, che si dimostra valida per qualsiasi esponente reale n:

$\left(\cos \theta +i\sin \theta \right)^{n}=\cos n\theta +i\sin n\theta$

Radici n–esime di un numero complesso

Dato il numero complesso α=ρ(cos θ + i sin θ), si vogliano trovare i numeri complessi β=σ(cos γ + i sin γ) per i quali sia βⁿ=α.
Per la formula di DeMoivre:

$\beta ^{n}=\sigma ^{n}\left(\cos n\gamma +i\sin n\gamma \right)$

e quindi deve essere:

${\begin{cases}\sigma ^{n}=\rho \\n\gamma =\theta +2k\pi \end{cases}}$

ossia:

${\begin{cases}\sigma ={\sqrt[{n}]{\rho }}\\n\gamma ={\frac {\theta }{n}}+k{\frac {2\pi }{n}}\end{cases}}$

Dove la radice della prima espressione è da intendersi in senso aritmetico.
Quindi, nel campo dei numeri complessi ogni numero ha sempre n radici n–esime.
In generale, le n radici n–esime di un numero complesso α=ρ(cos θ + i sin θ) sono date da:

$\beta ={\sqrt[{n}]{\rho }}\left(cos{\frac {\theta +2k\pi }{n}}+i\sin \left({\frac {\theta +2k\pi }{n}}\right)\right)$ con k = 0, 1, ..., n–1.