Trigonometria/Teoria delle funzioni circolari

Formule di addizione

Somma di archi

Consideriamo i tre casi possibili: che la somma dei due archi cada nel primo quadrante, che cada nel secondo o che cada nel terzo o quarto quadrante. Se la somma degli archi appartiene al primo quadrante, ossia se α+β<90°, portiamo i due archi uno di seguito all'altro, come mostrato in figura. Avremo:

${\begin{matrix}\sin \alpha =BH&\cos \alpha =OH\\\sin \beta =CK&\cos \beta =OK\\\sin \left(\alpha +\beta \right)=CM&\cos \left(\ alpha+\beta \right)=OM\end{matrix}}$

Essendo CM perpendicolare a OA e CK perpendicolare a OB, avremo che i triangoli OBH e CKN sono simili, e quindi l'angolo NCK sarà pari a α, da cui:

$\sin \left(\alpha +\beta \right)=CM=KR+CN$

Notiamo che KR è il cateto del triangolo rettangolo OKR, e quindi è pari all'ipotenusa per il seno dell'angolo opposto: ma l'ipotenusa è:

$OK=\cos \beta$

e l'angolo è α, quindi:

$KR=\cos \beta \sin \alpha$

Similmente, nel triangolo CNK si ha:

$CN=CK\cos \alpha =\sin \beta \cos \alpha$

e, in conclusione:

$\sin \left(\alpha +\beta \right)=CM=KR+CN=\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \cos \beta$

Nello stesso modo si dimostra che:

$\cos \left(\alpha +\beta \right)=OM=OR-KN=\cos \alpha \cos \beta -\sin \alpha \sin \beta$

Se la somma degli archi appartiene al secondo quadrante, consideriamo gli angoli complementari α'=90°–α e β'=90°–β: se α+β>90°, sarà α'+β'<90°, e quindi per questi ultimi due angoli varranno le due relazioni appena viste:

$\sin \left(\alpha '+\beta '\right)=\sin \alpha '\cos \beta '+\cos \alpha '\sin \beta '$
 :$\cos \left(\alpha '+\beta '\right)=\cos \alpha '\cos \beta '-\sin \alpha '\sin \beta '$

Passando ora agli angoli originali, attraverso le due espressioni viste sopra:

$\sin \left(90^{\circ }-\alpha +90^{\circ }-\beta \right)=\sin \left[180^{\circ }-\left(\alpha +\beta \right)\right]=$

$\sin \left(90^{\circ }-\alpha \right)\cos \left(90^{\circ }-\alpha \right)\cos \left(90^{\circ }-\beta \right)+\cos \left(90^{\circ }-\alpha \right)\sin \left(90^{\circ }-\beta \right)$

Ricordando che se due archi sono supplementari, i loro seni sono uguali e che se due archi sono complementari, le funzioni dell'uno sono pari alle cofunzioni dell'altro, si ha:

$\sin \left(\alpha +\beta \right)=\cos \alpha \sin \beta +\sin \alpha \cos \beta =\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta$

che è la stessa formula ricavata prima.
Per la formula equivalente relativa al coseno, la dimostrazione è identica: ricordando però che è:

$\cos \left[180^{\circ }-\left(\alpha +\beta \right)\right]=-\cos \left(\alpha +\beta \right)$

sarà necessario, come ultimo passaggio, cambiare segno ad entrambi i membri.
Se la somma degli archi appartiene al terzo o quarto quadrante, possiamo dimostrare che le stesse formule viste sopra valgono anche quando, se vere per due archi α e β, sono vere anche per gli archi ottenuti aggiungendo a α o a β (o a entrambi) 90° o comunque un multiplo dell'angolo retto.
Per prima cosa, mostriamo che se le formule sono vere per α e β lo sono anche per α' e β, con α'=90°+α: infatti, sostituendo a α il valore α'=90°–α nell'espressione del seno della somma di archi,

$\sin \left(\alpha '+\beta -90^{\circ }\right)=\sin \left(\alpha '-90^{\circ }\right)\cos \beta +\cos \left(\alpha -90^{\circ }\right)\sin \beta$

Ricordando che se cambiamo di segno ad un arco cambia il segno del seno ma non del coseno, cambiamo di segno a tutti gli archi:

$-\sin \left[90^{\circ }-\left(\alpha '+\beta \right)\right]=-\sin \left(90^{\circ }-\alpha '\right)\cos \beta +-\cos \left(90^{\circ }-\alpha '\right)\sin \beta$

E, visto che se due archi sono complementari le funzioni dell'uno sono uguali alle cofunzioni dell'altro,

$-\cos \left(\alpha '+\beta \right)=-\cos \alpha '\cos \beta +\sin \alpha '\sin \beta$

$\Rightarrow \cos \left(\alpha '+\beta \right)=\cos \alpha '\cos \beta -\sin \alpha '\sin \beta$

Nello stesso modo, dalla formula relativa al coseno della somma di archi si ricava la formula:

$\sin \left(\alpha '+\beta \right)=\sin \alpha '\cos \beta +cos\alpha '\sin \beta$

Le formule restano valide anche se si pone α"=α'+90°; procedendo in questo modo si può mostrare la validità della formula per qualsiasi arco; nel caso di archi negativi, sarà sufficiente aggiungere il corretto numero di angoli di 360°. Identico ragionamento si può eseguire per β'=90°+β, mostrando la validità generale delle formule: quindi le formule viste mantengono la loro validità per due archi qualsiasi.

Formule di addizione per tangenti e cotangenti

Si ha:

$\tan \left(\alpha +\beta \right)={\frac {\sin \left(\alpha +\beta \right)}{\cos \left(\alpha +\beta \right)}}={\frac {\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta }{\cos \alpha \cos \beta -\sin \alpha \sin \beta }}$

Dividendo numeratore e denominatore della frazione per cos α cos β, si ha:

$\tan \left(\alpha +\beta \right)={\frac {{\frac {\sin \alpha }{\cos \alpha }}+{\frac {\sin \beta }{\cos \beta }}}{1-{\frac {\sin \alpha \sin \beta }{\cos \alpha \cos \beta }}}}={\frac {\tan \alpha +\tan \beta }{1-\tan \alpha \tan \beta }}$

E, esprimendo tutto in tangenti:

$\tan \left(\alpha +\beta \right)={\frac {\tan \alpha +\tan \beta }{1-\tan \alpha \tan \beta }}$

Sostituendo poi β con –β , si ha:

$\tan \left(\alpha -\beta \right)={\frac {\tan \alpha -\tan \beta }{1+\tan \alpha \tan \beta }}$

Analogamente si ricavano le formule relative alla cotangente:

$\cot \left(\alpha +\beta \right)={\frac {\cot \alpha \cot \beta -1}{\cot \alpha +\cot \beta }}$

$\cot \left(\alpha -\beta \right)={\frac {\cot \alpha \cot \beta +1}{\cot \alpha -\cot \beta }}$

Formule di duplicazione

Seno e coseno dell'arco doppio di un dato arco

Ricordando che è:

$\sin \left(\alpha +\beta \right)=\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta$

ponendo β=α si ha:

$\sin \left(\alpha +\alpha \right)=\sin \alpha \cos \alpha +\cos \alpha \sin \alpha$

ossia

$\sin 2\alpha =2\sin \alpha \cos \alpha$

e nello stesso modo, ricordando che

$\cos \left(\alpha +\beta \right)=\cos \alpha \cos \beta -\sin \alpha \sin \beta$

si ha:

$\cos 2\alpha =\cos ^{2}\alpha -\sin ^{2}\alpha$

Tangente e cotangente dell'arco doppio di un dato arco

Dalla formula:

$\tan \left(\alpha +\beta \right)={\frac {\tan \alpha +\tan \beta }{1-\tan \alpha \tan \beta }}$

ponendo β=α si ha:

$\tan \left(\alpha +\alpha \right)={\frac {\tan \alpha +\tan \alpha }{1-\tan \alpha \tan \alpha }}$

ossia:

$\tan 2\alpha ={\frac {2\tan \alpha }{1-\tan ^{2}\alpha }}$

e nello stesso modo, ricordando che:

$\cot \left(\alpha +\beta \right)={\frac {\cot \alpha \cot \beta -1}{\cot \alpha +\cot \beta }}$

si ha:

$\cot 2\alpha ={\frac {\cot ^{2}\alpha -1}{\cot ^{2}\alpha }}$

Identità notevoli di duplicazione

Si ha, ad esempio:

$\cos 2\alpha =\cos ^{2}\alpha -\sin ^{2}\alpha =1-2\sin ^{2}\alpha =2\cos ^{2}\alpha -1$

e, in generale:

$\sin 2n\alpha =2\sin n\alpha \cos n\alpha$

$\cos 2n\alpha =2\cos ^{2}n\alpha -\sin ^{2}n\alpha$

$\tan 2n\alpha ={\frac {2\tan n\alpha }{1-\tan ^{2}n\alpha }}$

Formule di triplicazione

Consideriamo le espressioni:

$\sin \left(\alpha +\beta +\gamma \right)$

$\cos \left(\alpha +\beta +\gamma \right)$

$\tan \left(\alpha +\beta +\gamma \right)$

considerando gli argomenti delle funzioni come somma di due angoli α e (β+γ), si ha:

${\begin{aligned}\sin \left[\alpha +\left(\beta +\gamma \right)\right]&=\sin \alpha \cos \left(\beta +\gamma \right)+\cos \alpha \sin \left(\beta +\gamma \right)\\\ &=\sin \alpha \left(\cos \beta \cos \gamma -\sin \beta \sin \gamma \right)+\cos \alpha \left(\sin \beta \cos \gamma +\cos \beta \sin \gamma \right)\\\ &=\sin \alpha \cos \beta \cos \gamma -\sin \alpha \sin \beta \sin \gamma +\cos \alpha \sin \beta \cos \gamma +\cos \alpha \cos \beta \sin \gamma \end{aligned}}$

${\begin{aligned}\cos \left[\alpha +\left(\beta +\gamma \right)\right]&=\cos \alpha \cos \left(\beta +\gamma \right)-\sin \alpha \sin \left(\beta +\gamma \right)\\\ &=\cos \alpha \left(\cos \beta \cos \gamma -\sin \beta \sin \gamma \right)-\sin \alpha \left(\sin \beta \cos \gamma +\cos \beta \sin \gamma \right)\\\ &=\cos \alpha \cos \beta \cos \gamma -\cos \alpha \sin \beta \sin \gamma -\sin \alpha \sin \beta \cos \gamma -\sin \alpha \cos \beta \sin \gamma \end{aligned}}$

${\begin{aligned}\tan \left[\alpha +\left(\beta +\gamma \right)\right]&={\frac {\tan \alpha +\tan \left(\beta +\gamma \right)}{1-\tan \alpha \tan \left(\beta +\gamma \right)}}={\frac {\tan \alpha +{\frac {\tan \beta +\tan \gamma }{1-\tan \beta \tan \gamma }}}{1-\tan \alpha {\frac {\tan \beta \tan \gamma }{1-\tan \beta \tan \gamma }}}}\\\ &={\frac {\frac {\left(1-\tan \beta \tan \gamma \right)\tan \alpha +\tan \beta +\tan \gamma }{1-\tan \beta \tan \gamma }}{\frac {\left(1-\tan \beta \tan \gamma \right)-\tan \alpha \left(\tan \beta \tan \gamma \right)}{1-\tan \beta \tan \gamma }}}\\\ &={\frac {\tan \alpha \left(1-\tan \beta \tan \gamma \right)+\tan \beta +\tan \gamma }{\left(1-\tan \beta \tan \gamma \right)-\tan \alpha \left(\tan \beta +\tan \gamma \right)}}\end{aligned}}$

${\begin{aligned}\cot \left[\alpha +\left(\beta +\gamma \right)\right]&={\frac {\cot \alpha \cot \left(\beta +\gamma \right)-1}{\cot \alpha +\cot \left(\alpha +\beta \right)}}={\frac {\cot \alpha {\frac {\cot \beta \cot \gamma -1}{\cot \beta +\cot \gamma }}-1}{\cot \alpha +{\frac {\cot \beta \cot \gamma -1}{\cot \beta +\cot \gamma }}}}\\\ &={\frac {\frac {\cot \alpha \cot \beta \cot \gamma -\cot \alpha -\cot \beta -\cot \gamma }{\cot \beta +\cot \gamma }}{\frac {\cot \alpha \left(\cot \beta \cot \gamma \right)+\cot \alpha \cot \beta -1}{\cot \alpha +\cot \beta }}}\\\ &={\frac {\cot \alpha \cot \beta \cot \gamma -\cot \alpha -\cot \beta -\cot \gamma }{\cot \alpha \left(\cot \beta +\cot \gamma \right)+\cot \alpha \cot \gamma -1}}\end{aligned}}$

imponendo in queste α=β=γ, si hanno le formule di triplicazione:

${\begin{aligned}\sin 3\alpha &=3\sin \alpha -4\sin ^{2}\alpha \\\cos 3\alpha &=4\cos ^{3}\alpha -3\cos \alpha \\\tan 3\alpha &={\frac {3\tan \alpha -\tan ^{3}\alpha }{1-3\tan ^{2}\alpha }}\\\cot 3\alpha &={\frac {\cot ^{3}\alpha -3\cot \alpha }{3\cot ^{2}\alpha -1}}\end{aligned}}$

Formule di bisezione

Nelle formule di duplicazione, se sostituiamo ad α il valore α/2 e a 2α il valore α, otteniamo ad esempio:

$\cos \alpha =\cos ^{2}{\frac {\alpha }{2}}-\sin ^{2}{\frac {\alpha }{2}}$

Associando a questa identità la relazione pitagorica, otteniamo:

${\begin{cases}\cos ^{2}{\frac {\alpha }{2}}-\sin ^{2}{\frac {\alpha }{2}}&=\cos \alpha \\\cos ^{2}{\frac {\alpha }{2}}+\sin ^{2}{\frac {\alpha }{2}}&=1\end{cases}}$

Per addizione delle due espressioni si ricava:

$2\cos ^{2}{\frac {\alpha }{2}}=1+\cos \alpha$

E, per sottrazione:

$2\sin ^{2}{\frac {\alpha }{2}}=1-\sin \alpha$

da cui:

${\begin{aligned}\cos {\frac {\alpha }{2}}&=\mp {\sqrt {\frac {1+\cos \alpha }{2}}}\\\sin {\frac {\alpha }{2}}&=\mp {\sqrt {\frac {1-\cos \alpha }{2}}}\end{aligned}}$

e quindi:

$\tan ^{2}{\frac {\alpha }{2}}={\frac {1-\cos \alpha }{1+\cos \alpha }}$

e perciò:

$\tan {\frac {\alpha }{2}}=\mp {\sqrt {\frac {1-\cos \alpha }{1+\cos \alpha }}}$

La determinazione del segno nasce dalla considerazione di quale sia il quadrante di appartenenza dell'angolo α/2 rispetto a quello di α.

Formule di prostaferesi

Partendo dalle formule di addizione:

$\sin \left(\alpha +\beta \right)=\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta$
$\sin \left(\alpha -\beta \right)=\sin \alpha \cos \beta -\cos \alpha \sin \beta$
$\cos \left(\alpha +\beta \right)=\cos \alpha \cos \beta -\sin \alpha \sin \beta$
$\cos \left(\alpha -\beta \right)=\cos \alpha \cos \beta +\sin \alpha \sin \beta$

se si pone:

$\alpha +\beta =p$
$\alpha -\beta =q$

e si sottraggono membro a membro queste due equazioni, si ottiene:

$2\alpha =p+q\quad \Rightarrow \quad \alpha ={\frac {p+q}{2}}$
$2\beta =p-q\quad \Rightarrow \quad \beta ={\frac {p-q}{2}}$

Sostituendo questi valori nelle prime due formule di addizione e sommando membro a membro, si ottiene la prima formula di prostaferesi:

$\sin p+\sin q=2\sin {\frac {1}{2}}\left(p+q\right)\cos {\frac {1}{2}}\left(p-q\right)$

Se, anziché sommare, sottraiamo membro a membro sempre le prime due formule, si ottiene la seconda formula di prostaferesi:

$\sin p-\sin q=2\sin {\frac {1}{2}}\left(p-q\right)\cos {\frac {1}{2}}\left(p+q\right)$

Con metodo perfettamente analogo, per i coseni:

$\cos p+\cos q=2\cos {\frac {1}{2}}\left(p+q\right)\cos {\frac {1}{2}}\left(p-q\right)$
$\cos p-\cos q=-2\sin {\frac {1}{2}}\left(p-q\right)\sin {\frac {1}{2}}\left(p+q\right)$

Per quanto riguarda le tangenti, dato che:

$\tan p\pm \tan q={\frac {\sin p}{\cos p}}\pm {\frac {\sin p}{\cos p}}={\frac {\sin p\cos q\pm \cos p\sin q}{\cos p\cos q}}$

si ha:

$\tan p\pm \tan q={\frac {\sin \left(p\pm q\right)}{\cos p\cos q}}$

e con metodo analogo, per le cotangenti:

$\cot p\pm \cot q={\frac {\sin \left(q\pm p\right)}{\sin p\sin q}}$

Dividendo membro a membro la prima e la seconda formula di prostaferesi, si ha:

${\frac {\sin p+\sin q}{\sin p-\sin q}}={\frac {\tan {\frac {1}{2}}\left(p+q\right)}{\tan {\frac {1}{2}}\left(p-q\right)}}$

mentre, dividendola per la prima formula relativa ai coseni si ha:

${\frac {\sin p+\sin q}{\cos p-\cos q}}=\tan {\frac {1}{2}}\left(p+q\right)$

Formule di Werner

Sommando e sottraendo membro a membro le formule di addizioni degli archi si ottengono le formule:

$\sin \alpha \sin \beta ={\frac {1}{2}}\left[\cos \left(\alpha -\beta \right)-\cos \left(\alpha +\beta \right)\right]$

$\cos \alpha \cos \beta ={\frac {1}{2}}\left[\cos \left(\alpha -\beta \right)+\cos \left(\alpha +\beta \right)\right]$

$\sin \alpha \cos \beta ={\frac {1}{2}}\left[\sin \left(\alpha -\beta \right)+\sin \left(\alpha +\beta \right)\right]$

Formule di Simpson

Ponendo, nelle formule di prostaferesi, p=mα, q=(m–2)α, si ottengono le formule:

$\sin m\alpha =2\sin \left(m-1\right)\alpha \cos \alpha -\sin \left(m-2\right)\alpha$

$\cos m\alpha =2\cos \left(m-1\right)\alpha \cos \alpha -\cos \left(m-2\right)\alpha$