Trigonometria/Teoria delle funzioni circolari

Formule di addizione

Somma di archi

Consideriamo i tre casi possibili: che la somma dei due archi cada nel primo quadrante, che cada nel secondo o che cada nel terzo o quarto quadrante. Se la somma degli archi appartiene al primo quadrante, ossia se α+β<90°, portiamo i due archi uno di seguito all'altro, come mostrato in figura. Avremo:

$\begin{array}{cc}\sin \alpha =BH& \cos \alpha =OH\\ \sin \beta =CK& \cos \beta =OK\\ \sin (\alpha +\beta )=CM& \cos (alpha+\beta )=OM\end{array}$

Essendo CM perpendicolare a OA e CK perpendicolare a OB, avremo che i triangoli OBH e CKN sono simili, e quindi l'angolo NCK sarà pari a α, da cui:

$\sin (\alpha +\beta )=CM=KR+CN$

Notiamo che KR è il cateto del triangolo rettangolo OKR, e quindi è pari all'ipotenusa per il seno dell'angolo opposto: ma l'ipotenusa è:

$OK=\cos \beta$

e l'angolo è α, quindi:

$KR=\cos \beta \sin \alpha$

Similmente, nel triangolo CNK si ha:

$CN=CK\cos \alpha =\sin \beta \cos \alpha$

e, in conclusione:

$\sin (\alpha +\beta )=CM=KR+CN=\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \cos \beta$

Nello stesso modo si dimostra che:

$\cos (\alpha +\beta )=OM=OR-KN=\cos \alpha \cos \beta -\sin \alpha \sin \beta$

Se la somma degli archi appartiene al secondo quadrante, consideriamo gli angoli complementari α'=90°–α e β'=90°–β: se α+β>90°, sarà α'+β'<90°, e quindi per questi ultimi due angoli varranno le due relazioni appena viste:

$\sin ({\alpha }^{\prime }+{\beta }^{\prime })=\sin {\alpha }^{\prime }\cos {\beta }^{\prime }+\cos {\alpha }^{\prime }\sin {\beta }^{\prime }$
 :$\cos ({\alpha }^{\prime }+{\beta }^{\prime })=\cos {\alpha }^{\prime }\cos {\beta }^{\prime }-\sin {\alpha }^{\prime }\sin {\beta }^{\prime }$

Passando ora agli angoli originali, attraverso le due espressioni viste sopra:

$\sin (90^{\circ }-\alpha +90^{\circ }-\beta )=\sin [180^{\circ }-(\alpha +\beta )]=$

$\sin (90^{\circ }-\alpha )\cos (90^{\circ }-\alpha )\cos (90^{\circ }-\beta )+\cos (90^{\circ }-\alpha )\sin (90^{\circ }-\beta )$

Ricordando che se due archi sono supplementari, i loro seni sono uguali e che se due archi sono complementari, le funzioni dell'uno sono pari alle cofunzioni dell'altro, si ha:

$\sin (\alpha +\beta )=\cos \alpha \sin \beta +\sin \alpha \cos \beta =\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta$

che è la stessa formula ricavata prima.
Per la formula equivalente relativa al coseno, la dimostrazione è identica: ricordando però che è:

$\cos [180^{\circ }-(\alpha +\beta )]=-\cos (\alpha +\beta )$

sarà necessario, come ultimo passaggio, cambiare segno ad entrambi i membri.
Se la somma degli archi appartiene al terzo o quarto quadrante, possiamo dimostrare che le stesse formule viste sopra valgono anche quando, se vere per due archi α e β, sono vere anche per gli archi ottenuti aggiungendo a α o a β (o a entrambi) 90° o comunque un multiplo dell'angolo retto.
Per prima cosa, mostriamo che se le formule sono vere per α e β lo sono anche per α' e β, con α'=90°+α: infatti, sostituendo a α il valore α'=90°–α nell'espressione del seno della somma di archi,

$\sin ({\alpha }^{\prime }+\beta -90^{\circ })=\sin ({\alpha }^{\prime }-90^{\circ })\cos \beta +\cos (\alpha -90^{\circ })\sin \beta$

Ricordando che se cambiamo di segno ad un arco cambia il segno del seno ma non del coseno, cambiamo di segno a tutti gli archi:

$-\sin [90^{\circ }-({\alpha }^{\prime }+\beta )]=-\sin (90^{\circ }-{\alpha }^{\prime })\cos \beta +-\cos (90^{\circ }-{\alpha }^{\prime })\sin \beta$

E, visto che se due archi sono complementari le funzioni dell'uno sono uguali alle cofunzioni dell'altro,

$-\cos ({\alpha }^{\prime }+\beta )=-\cos {\alpha }^{\prime }\cos \beta +\sin {\alpha }^{\prime }\sin \beta$

$\Rightarrow \cos ({\alpha }^{\prime }+\beta )=\cos {\alpha }^{\prime }\cos \beta -\sin {\alpha }^{\prime }\sin \beta$

Nello stesso modo, dalla formula relativa al coseno della somma di archi si ricava la formula:

$\sin ({\alpha }^{\prime }+\beta )=\sin {\alpha }^{\prime }\cos \beta +cos{\alpha }^{\prime }\sin \beta$

Le formule restano valide anche se si pone α"=α'+90°; procedendo in questo modo si può mostrare la validità della formula per qualsiasi arco; nel caso di archi negativi, sarà sufficiente aggiungere il corretto numero di angoli di 360°. Identico ragionamento si può eseguire per β'=90°+β, mostrando la validità generale delle formule: quindi le formule viste mantengono la loro validità per due archi qualsiasi.

Formule di addizione per tangenti e cotangenti

Si ha:

$\tan (\alpha +\beta )=\frac{\sin (\alpha +\beta )}{\cos (\alpha +\beta )}=\frac{\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta }{\cos \alpha \cos \beta -\sin \alpha \sin \beta }$

Dividendo numeratore e denominatore della frazione per cos α cos β, si ha:

$\tan (\alpha +\beta )=\frac{\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }+\frac{\sin \beta }{\cos \beta }}{1-\frac{\sin \alpha \sin \beta }{\cos \alpha \cos \beta }}=\frac{\tan \alpha +\tan \beta }{1-\tan \alpha \tan \beta }$

E, esprimendo tutto in tangenti:

$\tan (\alpha +\beta )=\frac{\tan \alpha +\tan \beta }{1-\tan \alpha \tan \beta }$

Sostituendo poi β con –β , si ha:

$\tan (\alpha -\beta )=\frac{\tan \alpha -\tan \beta }{1+\tan \alpha \tan \beta }$

Analogamente si ricavano le formule relative alla cotangente:

$\cot (\alpha +\beta )=\frac{\cot \alpha \cot \beta -1}{\cot \alpha +\cot \beta }$

$\cot (\alpha -\beta )=\frac{\cot \alpha \cot \beta +1}{\cot \alpha -\cot \beta }$

Formule di duplicazione

Seno e coseno dell'arco doppio di un dato arco

Ricordando che è:

$\sin (\alpha +\beta )=\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta$

ponendo β=α si ha:

$\sin (\alpha +\alpha )=\sin \alpha \cos \alpha +\cos \alpha \sin \alpha$

ossia

$\sin 2\alpha =2\sin \alpha \cos \alpha$

e nello stesso modo, ricordando che

$\cos (\alpha +\beta )=\cos \alpha \cos \beta -\sin \alpha \sin \beta$

si ha:

$\cos 2\alpha ={\cos }^2\alpha -{\sin }^2\alpha$

Tangente e cotangente dell'arco doppio di un dato arco

Dalla formula:

$\tan (\alpha +\beta )=\frac{\tan \alpha +\tan \beta }{1-\tan \alpha \tan \beta }$

ponendo β=α si ha:

$\tan (\alpha +\alpha )=\frac{\tan \alpha +\tan \alpha }{1-\tan \alpha \tan \alpha }$

ossia:

$\tan 2\alpha =\frac{2\tan \alpha }{1-{\tan }^2\alpha }$

e nello stesso modo, ricordando che:

$\cot (\alpha +\beta )=\frac{\cot \alpha \cot \beta -1}{\cot \alpha +\cot \beta }$

si ha:

$\cot 2\alpha =\frac{{\cot }^2\alpha -1}{{\cot }^2\alpha }$

Identità notevoli di duplicazione

Si ha, ad esempio:

$\cos 2\alpha ={\cos }^2\alpha -{\sin }^2\alpha =1-2{\sin }^2\alpha =2{\cos }^2\alpha -1$

e, in generale:

$\sin 2n\alpha =2\sin n\alpha \cos n\alpha$

$\cos 2n\alpha =2{\cos }^{2}n\alpha -{\sin }^{2}n\alpha$

$\tan 2n\alpha =\frac{2\tan n\alpha }{1-{\tan }^{2}n\alpha }$

Formule di triplicazione

Consideriamo le espressioni:

$\sin (\alpha +\beta +\gamma )$

$\cos (\alpha +\beta +\gamma )$

$\tan (\alpha +\beta +\gamma )$

considerando gli argomenti delle funzioni come somma di due angoli α e (β+γ), si ha:

$\begin{array}{cc}\sin [\alpha +(\beta +\gamma )]& =\sin \alpha \cos (\beta +\gamma )+\cos \alpha \sin (\beta +\gamma )\\ & =\sin \alpha (\cos \beta \cos \gamma -\sin \beta \sin \gamma )+\cos \alpha (\sin \beta \cos \gamma +\cos \beta \sin \gamma )\\ & =\sin \alpha \cos \beta \cos \gamma -\sin \alpha \sin \beta \sin \gamma +\cos \alpha \sin \beta \cos \gamma +\cos \alpha \cos \beta \sin \gamma \end{array}$

$\begin{array}{cc}\cos [\alpha +(\beta +\gamma )]& =\cos \alpha \cos (\beta +\gamma )-\sin \alpha \sin (\beta +\gamma )\\ & =\cos \alpha (\cos \beta \cos \gamma -\sin \beta \sin \gamma )-\sin \alpha (\sin \beta \cos \gamma +\cos \beta \sin \gamma )\\ & =\cos \alpha \cos \beta \cos \gamma -\cos \alpha \sin \beta \sin \gamma -\sin \alpha \sin \beta \cos \gamma -\sin \alpha \cos \beta \sin \gamma \end{array}$

$\begin{array}{cc}\tan [\alpha +(\beta +\gamma )]& =\frac{\tan \alpha +\tan (\beta +\gamma )}{1-\tan \alpha \tan (\beta +\gamma )}=\frac{\tan \alpha +\frac{\tan \beta +\tan \gamma }{1-\tan \beta \tan \gamma }}{1-\tan \alpha \frac{\tan \beta \tan \gamma }{1-\tan \beta \tan \gamma }}\\ & =\frac{\frac{(1-\tan \beta \tan \gamma )\tan \alpha +\tan \beta +\tan \gamma }{1-\tan \beta \tan \gamma }}{\frac{(1-\tan \beta \tan \gamma )-\tan \alpha (\tan \beta \tan \gamma )}{1-\tan \beta \tan \gamma }}\\ & =\frac{\tan \alpha (1-\tan \beta \tan \gamma )+\tan \beta +\tan \gamma }{(1-\tan \beta \tan \gamma )-\tan \alpha (\tan \beta +\tan \gamma )}\end{array}$

$\begin{array}{cc}\cot [\alpha +(\beta +\gamma )]& =\frac{\cot \alpha \cot (\beta +\gamma )-1}{\cot \alpha +\cot (\alpha +\beta )}=\frac{\cot \alpha \frac{\cot \beta \cot \gamma -1}{\cot \beta +\cot \gamma }-1}{\cot \alpha +\frac{\cot \beta \cot \gamma -1}{\cot \beta +\cot \gamma }}\\ & =\frac{\frac{\cot \alpha \cot \beta \cot \gamma -\cot \alpha -\cot \beta -\cot \gamma }{\cot \beta +\cot \gamma }}{\frac{\cot \alpha (\cot \beta \cot \gamma )+\cot \alpha \cot \beta -1}{\cot \alpha +\cot \beta }}\\ & =\frac{\cot \alpha \cot \beta \cot \gamma -\cot \alpha -\cot \beta -\cot \gamma }{\cot \alpha (\cot \beta +\cot \gamma )+\cot \alpha \cot \gamma -1}\end{array}$

imponendo in queste α=β=γ, si hanno le formule di triplicazione:

$\begin{array}{cc}\sin 3\alpha & =3\sin \alpha -4{\sin }^2\alpha \\ \cos 3\alpha & =4{\cos }^3\alpha -3\cos \alpha \\ \tan 3\alpha & =\frac{3\tan \alpha -{\tan }^3\alpha }{1-3{\tan }^2\alpha }\\ \cot 3\alpha & =\frac{{\cot }^3\alpha -3\cot \alpha }{3{\cot }^2\alpha -1}\end{array}$

Formule di bisezione

Nelle formule di duplicazione, se sostituiamo ad α il valore α/2 e a 2α il valore α, otteniamo ad esempio:

$\cos \alpha ={\cos }^2\frac{\alpha }{2}-{\sin }^2\frac{\alpha }{2}$

Associando a questa identità la relazione pitagorica, otteniamo:

$\{\begin{array}{cc}{\cos }^2\frac{\alpha }{2}-{\sin }^2\frac{\alpha }{2}& =\cos \alpha \\ {\cos }^2\frac{\alpha }{2}+{\sin }^2\frac{\alpha }{2}& =1\end{array}$

Per addizione delle due espressioni si ricava:

$2{\cos }^2\frac{\alpha }{2}=1+\cos \alpha$

E, per sottrazione:

$2{\sin }^2\frac{\alpha }{2}=1-\sin \alpha$

da cui:

$\begin{array}{cc}\cos \frac{\alpha }{2}& =\mp \sqrt{\frac{1+\cos \alpha }{2}}\\ \sin \frac{\alpha }{2}& =\mp \sqrt{\frac{1-\cos \alpha }{2}}\end{array}$

e quindi:

${\tan }^2\frac{\alpha }{2}=\frac{1-\cos \alpha }{1+\cos \alpha }$

e perciò:

$\tan \frac{\alpha }{2}=\mp \sqrt{\frac{1-\cos \alpha }{1+\cos \alpha }}$

La determinazione del segno nasce dalla considerazione di quale sia il quadrante di appartenenza dell'angolo α/2 rispetto a quello di α.

Formule di prostaferesi

Partendo dalle formule di addizione:

$\sin (\alpha +\beta )=\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta$
$\sin (\alpha -\beta )=\sin \alpha \cos \beta -\cos \alpha \sin \beta$
$\cos (\alpha +\beta )=\cos \alpha \cos \beta -\sin \alpha \sin \beta$
$\cos (\alpha -\beta )=\cos \alpha \cos \beta +\sin \alpha \sin \beta$

se si pone:

$\alpha +\beta =p$
$\alpha -\beta =q$

e si sottraggono membro a membro queste due equazioni, si ottiene:

$2\alpha =p+q\Rightarrow \alpha =\frac{p+q}{2}$
$2\beta =p-q\Rightarrow \beta =\frac{p-q}{2}$

Sostituendo questi valori nelle prime due formule di addizione e sommando membro a membro, si ottiene la prima formula di prostaferesi:

$\sin p+\sin q=2\sin \frac{1}{2}(p+q)\cos \frac{1}{2}(p-q)$

Se, anziché sommare, sottraiamo membro a membro sempre le prime due formule, si ottiene la seconda formula di prostaferesi:

$\sin p-\sin q=2\sin \frac{1}{2}(p-q)\cos \frac{1}{2}(p+q)$

Con metodo perfettamente analogo, per i coseni:

$\cos p+\cos q=2\cos \frac{1}{2}(p+q)\cos \frac{1}{2}(p-q)$
$\cos p-\cos q=-2\sin \frac{1}{2}(p-q)\sin \frac{1}{2}(p+q)$

Per quanto riguarda le tangenti, dato che:

$\tan p\pm \tan q=\frac{\sin p}{\cos p}\pm \frac{\sin p}{\cos p}=\frac{\sin p\cos q\pm \cos p\sin q}{\cos p\cos q}$

si ha:

$\tan p\pm \tan q=\frac{\sin (p\pm q)}{\cos p\cos q}$

e con metodo analogo, per le cotangenti:

$\cot p\pm \cot q=\frac{\sin (q\pm p)}{\sin p\sin q}$

Dividendo membro a membro la prima e la seconda formula di prostaferesi, si ha:

$\frac{\sin p+\sin q}{\sin p-\sin q}=\frac{\tan \frac{1}{2}(p+q)}{\tan \frac{1}{2}(p-q)}$

mentre, dividendola per la prima formula relativa ai coseni si ha:

$\frac{\sin p+\sin q}{\cos p-\cos q}=\tan \frac{1}{2}(p+q)$

Formule di Werner

Sommando e sottraendo membro a membro le formule di addizioni degli archi si ottengono le formule:

$\sin \alpha \sin \beta =\frac{1}{2}[\cos (\alpha -\beta )-\cos (\alpha +\beta )]$

$\cos \alpha \cos \beta =\frac{1}{2}[\cos (\alpha -\beta )+\cos (\alpha +\beta )]$

$\sin \alpha \cos \beta =\frac{1}{2}[\sin (\alpha -\beta )+\sin (\alpha +\beta )]$

Formule di Simpson

Ponendo, nelle formule di prostaferesi, p=mα, q=(m–2)α, si ottengono le formule:

$\sin m\alpha =2\sin (m-1)\alpha \cos \alpha -\sin (m-2)\alpha$

$\cos m\alpha =2\cos (m-1)\alpha \cos \alpha -\cos (m-2)\alpha$