Algebra vettoriale/Derivazione dei vettori

Funzioni coinvolgenti vettori e scalari

Se volessimo descrivere il moto di un punto massa lo faremo specificando in istanti diversi di tempo la sua posizione rispetto ad un qualche punto fisso di una struttura di riferimento prescelta. Cioè, descriviamo il vettore posizione r come una funzione del tempo, una variabile scalare. Questa relazione funzionale viene espressa simbolicamente da

$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ {\vec {\mathcal {r}}}={\vec {\mathcal {r}}}(t)$

Questo è un esempio di un vettore come funzione di uno scalare. Ugualmente, Se per ciascun valore di una variabile scalare t vi corrisponde un dato valore di un vettore ${\vec {\mathcal {A}}}$, diciamo che il vettore ${\vec {\mathcal {A}}}$ è una funzione dello scalare t e si scrive

$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ {\vec {\mathcal {A}}}={\vec {\mathcal {A}}}(t)$

Supponiamo che si voglia descrivere la temperatura di un corpo riscaldato su ogni suo punto. Per fare ciò si specifichi ciascun punto del corpo tramite un vettore posizione tracciato da un punto di riferimento scelto arbitrariamente e si enunci che la temperatura T sia una funzione del vettore ${\vec {\mathcal {A}}}$ di posizione. Simbolicamente si scriva

$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ T=T({\vec {\mathcal {r}}})$

Qui si ha un esempio di uno scalare come una funzione di un vettore. Similmente, se per ciascun valore di un vettore ${\vec {\mathcal {r}}}$ vi corrisponde un certo valore di un scalare $\phi$, si dice che il valore $\phi$ è una funzione del vettore ${\vec {\mathcal {r}}}$ e scriviamo

$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \phi =\phi ({\vec {\mathcal {r}}})$

Quando ${\vec {\mathcal {r}}}$ indica il vettore posizione enunciamo che φ è una funzione scalare di posizione. Le distribuzioni di pressione, densità e temperatura nell'atmosfera sono esempi di funzioni scalari di posizione.
considereiamo ora un corpo rigido che ruoti ad una velocità angolare costante ω. La velocità di un punto del corpo è fornita da:
$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ {\vec {\mathcal {V}}}={\vec {\mathcal {\omega }}}\times {\vec {\mathcal {r}}}$
dove ${\vec {\mathcal {r}}}$ è il vettore posizione da un punto di riferimento preso sull'asse di rotazione. Differenti valori di ${\vec {\mathcal {r}}}$ forniscono le velocità dei differenti punti del corpo. Diciamo che la velocità è una funzione del vettore posizione e scriviamo simbolicamente
$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ {\vec {\mathcal {V}}}={\vec {\mathcal {V}}}({\vec {\mathcal {r}}})$.
Questo è un esempio di un vettore funzione di un altro vettore. Se per ciascun valore di ${\vec {\mathcal {r}}}$ vi corrisponde un certo valore di un altro vettore ${\vec {\mathcal {A}}}$, dciamo che ${\vec {\mathcal {A}}}$ è una funzione di ${\vec {\mathcal {r}}}$ e scriviamo
$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ {\vec {\mathcal {A}}}={\vec {\mathcal {A}}}({\vec {\mathcal {r}}})$
Quando ${\vec {\mathcal {A}}}$ denota il vettore posizione, ${\vec {\mathcal {A}}}$viene detto di essere una funzione vettoriale di posizione. La forza di grvità sperimentata da un corpo in presenza di un altro corpo è un esempio di una funzione vettoriale di posizione. Similarmente, la forza di Coulumb che agisce su un corpo carico di elettricitàin presenza di un altro corpo carico è una funzione di posizione vettoriale,
Le relazioni funzionali che sono state introdotte sono semplicemente delle forme particolari delle espressioni più generiche espresse da
$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \phi =\phi ({\vec {\mathcal {r}}},t)$
(uno scalare come funzione di un altro scalare e di un vettore) e
$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ {\vec {\mathcal {A}}}={\vec {\mathcal {A}}}({\vec {\mathcal {r}}},t)$
(Un vettore è una funzione di un altro vettore e di uno scalare). Quando ${\vec {\mathcal {r}}}$ e t significano rispettivamente posizione e tempo, diciamo che φ è una funzione scalare di posizione e tempo. e che ${\vec {\mathcal {A}}}$ è una funzione vettoriale di posizione e tempo. Se nel caso di un corpo riscaldato la temperatura varia in ogni suo punto col tempo, diciamo che la temperatura T è una funzione scalare di posizione e tempo e scriviamo$T=T({\vec {\mathcal {r}}},t)$. In simile modo, se nel caso di un corpoconsideriamo la funzione rigido ruotante la velocità angolare varia col tempo, in ogni suo punto, diciamo che la velocità ${\vec {\mathcal {V}}}$ e una funzione vettoriale di posizione e tempo e scriviamo ${\vec {\mathcal {V}}}={\vec {\mathcal {V}}}({\vec {\mathcal {r}}},t)$.
Facendo uso del principio di scomposizione di un vettore nelle sue componenti scalari, le precedenti funzioni che coinvolgono dei vettori possono venire interpretate nei termini di funzioni scalari di variabili scalari. Una tale interpretazione istituisce una corrispondenza tra le operazioni del calcolo vettoriale e quelle del calcolo scalare.
Prima consideriamo la funzione ${\vec {\mathcal {A}}}={\vec {\mathcal {A}}}(t)$. Siano A₁, A₂ e A₃ le componenti di ${\vec {\mathcal {A}}}$ rispetto ad un sistema fissato di vettori unitari che sono indicati con ${\vec {\mathcal {e_{1}}}}$, ${\vec {\mathcal {e_{2}}}}$ e ${\vec {\mathcal {e_{3}}}}$. Scriviamo quindi
$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ {\vec {\mathcal {A}}}=A_{1}{\vec {\mathcal {e_{1}}}}+A_{2}{\vec {\mathcal {e_{2}}}}+A_{3}{\vec {\mathcal {e_{3}}}}:(A_{1},A_{2},A_{3})$.
Con questa rappresentazione, la funzione ${\vec {\mathcal {A}}}(t)$ può venire interpretata quale equivalente a tre funzioni
$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ A_{1}(t)\ \ \ \ \ A_{2}(t)\ \ \ \ \ \ A_{3}(t)$.
Quindi, una funzione vettoriale di una variabile scalare è equivalente ad un sistema di tre equazioni scalari indipendenti della medesima variabile scalare.
Ora consideriamo la funzione $\phi =\phi ({\vec {\mathcal {r}}})$. Se q₁, q₂, q₃ sono le componenti di ${\vec {\mathcal {r}}}$ rispetto a un sistema di vettori unitari ${\vec {\mathcal {e_{1}}}}$, ${\vec {\mathcal {e_{2}}}}$ e ${\vec {\mathcal {e_{3}}}}$, $\phi ({\vec {\mathcal {r}}})$ può essere considerata equivalente alla funzione
$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \phi =\phi (q_{1},q_{2},q_{3})$
Ci significa che una funzione scalare di un vettore è equivalente ad una funzione scalare di tre variabili scalari indipendenti.
Poi ora consideriamo la funzione ${\vec {\mathcal {A}}}={\vec {\mathcal {A}}}({\vec {\mathcal {r}}})$. Se come prima A₁ , A₂, A₃ sono le componenti di ${\vec {\mathcal {A}}}$ e q₁, q₂, q₃ sono le componenti di ${\vec {\mathcal {r}}}$, ${\vec {\mathcal {A}}}={\vec {\mathcal {A}}}({\vec {\mathcal {r}}})$ può essere scritto come equivalente al sistema di equazioni espresso con
$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ A_{1}=A_{1}({\vec {\mathcal {r}}})=A_{1}(q_{1},q_{2}q_{3})$
$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ A_{2}=A_{2}({\vec {\mathcal {r}}})=A_{2}(q_{1},q_{2}q_{3})$
$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ A_{3}=A_{3}({\vec {\mathcal {r}}})=A_{3}(q_{1},q_{2}q_{3})$
Perciò una funzione vettoriale di un vettore è equivalente a un sistema di tre funzioni scalari indipendenti di tre variabili scalari.
Ugualmente, le funzioni $\phi =\phi ({\vec {\mathcal {r}}},t)$ e ${\vec {\mathcal {A}}}={\vec {\mathcal {A}}}({\vec {\mathcal {r}}},t)$ possono venire espresse in termini di funzioni scalari di variabili scalari.

Campi scalari e vettoriali

Una funzione di posizione scalare o vettoriale associa un valore definito di una grandezza scalare o vettoriale ad ogni punto di una porzione di spazio. I vari punti della data regione, insieme ai valori corrispondenti della grandezza scalare o vettoriale, formano ciò che è chiamato un campo. Se la grandezza in questione è scalare, il campo è chiamato campo scalare, se la grandezza è un vettore, il campo e chiamato campo vettoriale. Se abbiamo a che fare con una funzione scalare o vettoriale di posizione e del tempo, i valori della grandezza scalare o vettoriale nei vari punti della regione variano da istante ad istante ed il campo diventa un campo instabile o non stazionario. Se abbiamo da che fare con un campo funzione della sola posizione, il campo conserva la medesima struttura per tutto il tempo e viene detto campo stabile o stazionario. Il concetto di campo ci aiuta a mostrare ciò che sta accadendo simultaneamente in tutti i punti di una regione dellospazio.
Un arbitrario punto nel campo è denominato field point.
Consideriamo un campo scalare rappresentato da una funzione biiettiva $\phi =\phi ({\vec {\mathcal {r}}})$. È possibile tracciare su tale campo una famiglia di superfici tale che ciascuna superficie attraversa tutti quei punti che anno lo stesso valore della grandezza scalare $\phi$. Le superfici sono, pertanto, superfici a $\phi$ costante, e sono rappresentate da
$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \phi =\phi ({\vec {\mathcal {r}}})=cost.$
con la costante che assume un valore diverso per ciascuna superficie. Tali superfici sono chiamate normalmente superfi di livello. Superfici di densità costante o di pressione costante o di temperatura costante sono tutti esempi di superfici di livello. Se il campo scalare è stabile le sue superfici di livello rimangono costanti nel tempo. Se il campo scalare è instabile le superfici di livello variano istante per istante.

Campo velocità di un corpo rigido rotante visto in un piano normale all'asse di rotazione

Ci si può raffigurare un campo vettoriale immaginando delle frecce collocate nei vari punti delle regioni dello spazio, ciascuna freccia puntante nella direzione della grandezza vettoriale associata al punto ed avente una lunghezza proporzionale alla grandezza stessa. Come esempio, il campo di velocità di un corpo rigido ruotante con una velocità angolare costante è mostrato nella figura affiancata.

Linee di campo di un campo di velocità di un corpo rigido che ruota

Un sistema di curve può essere tracciato in un campo vettoriale tale che la tangente in cogni suo punto abbia la direzione della grandezza vettoriale associata ad esso. Tali curve sono denominate linee di campo. Se il campo vettoriale è un campo di forze, le linee di campo sono note come linee di forza; se il campo è il campo della velocitò di un fluido in movimento esse sono note come linee di flusso.
Se in qualsiasi momento tracciamo una linea arbitraria nel campo vettoriale e tracciamo le linee di campo che la attraversano, si dà luogo ad una superficie nota come superficie di campo. Se consideriamo una linea chiusa e tracciamo tutte le linee di campo che la attraversano si forma un tubo noto come tubo di flusso.
Un esempio famigliare di linee di campo è l'immagine delle curve formate dalla limatura di ferro in presenza di un magnete. Le linee di campo di un campo di velocità di un corpo rigido che ruota a velocità costante è mostrato nella figura accanto.
Se il campo vettoriale di cui ci occupiamo è stazionario, la immagine di queste linee di campo rimangono invariate nel tempo; altrimenti l'immagine cambia istante per istante. Per formulare analiticamente le linee di campo di un capo vettoriale ${\vec {\mathcal {A}}}={\vec {\mathcal {A}}}({\vec {\mathcal {r}}},t)$ si procede come segue. Si consideri, in un certo istante, la linea di campo che passa attraverso un punto ${\vec {\mathcal {r}}}$. Sia ${\vec {\mathcal {ds}}}$ un elemento della linea attraverso ${\vec {\mathcal {r}}}$. Per definizione ${\vec {\mathcal {ds}}}$ ha la stessa direzione del vettore ${\vec {\mathcal {A}}}$ assocato al punto ${\vec {\mathcal {r}}}$ nell'istante considerato. Cioè, ${\vec {\mathcal {ds}}}$ e ${\vec {\mathcal {A}}}$ sono vettori paralleli. Ricordando che il prodotto vettoriale di due vettori paralleli è zero, scriviamo
$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ {\vec {\mathcal {ds}}}\times {\vec {\mathcal {A}}}=0$
Questa, quindi, è l'equazione differenziale che determina, in qualsiasi istante, le linee di campo del campo vettoriale ${\vec {\mathcal {A}}}={\vec {\mathcal {A}}}({\vec {\mathcal {r}}},t)$. Facendo ricorso al principio della scomposizione di un vettore nelle sue componenti, questa equazione può venire rapidamente…………..ad ogni sistema di coordinate prescelto.
Dato che la funzione ${\vec {\mathcal {A}}}={\vec {\mathcal {A}}}({\vec {\mathcal {r}}},t)$ è equivalente a tre funzioni scalari di posizione e tempo qualsiasi campo vettoriale può venire considerato equivalente a tre capi scalari.

Derivazione di un vettore funzione di una variabile scalare

Se un vettore ${\vec {\mathcal {A}}}$ varia da un valore ${\vec {\mathcal {A_{1}}}}$ ad un valore ${\vec {\mathcal {A_{2}}}}$ l'incremento di ${\vec {\mathcal {A}}}$

indicato con $\Delta {\vec {\mathcal {A}}}$ è semplicemente la differenza vettoriale tra ${\vec {\mathcal {A_{1}}}}$ e ${\vec {\mathcal {A_{2}}}}$. Cioè
$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \Delta {\vec {\mathcal {A}}}={\vec {\mathcal {A_{2}}}}{\vec {\mathcal {A_{1}}}}$
Un cambiamento in un vettore può essere causato da un cambiamento nella sua grandezza o da un cambiamento nella sua direzione o da un cambiamento in entrambe.
Se un vettore ${\vec {\mathcal {A}}}$ è una funzione di una variabile scalare t, l'ncremento $\Delta {\vec {\mathcal {A}}}$ in ${\vec {\mathcal {A}}}$ corrispondente ad un incremento $\Delta t$ da t $t+\Delta t$, è dato da
$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \Delta {\vec {\mathcal {A}}}={\vec {\mathcal {A}}}(t+\Delta t)-{\vec {\mathcal {A}}}(t)$
Se il rapporto(la variazione media di ${\vec {\mathcal {A}}}$ rispetto a t nell'intervallo $\Delta t$) tende adz un limite come $\Delta t$ tende a 0, quel limite è denotato la derivata di ${\vec {\mathcal {A}}}$ rispetto a t (comparare l a definizione della derivata di una funzione scalare di una variabile scalare).
Seguendo le convenzioni usuali del calcolo differenziale, denotiamo questa derivata con ${\frac {\Delta {\vec {\mathcal {A}}}}{\Delta t}}$ e verghiamo
$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ {\frac {\Delta {\vec {\mathcal {A}}}}{dt}}=\lim _{dt\to 0}{\frac {\Delta {\vec {\mathcal {A}}}}{\Delta t}}=\lim _{dt\to 0}{\frac {{\vec {\mathcal {A}}}(t+\Delta t)-{\vec {\mathcal {A}}}(t)}{\Delta t}}$
Vediamo ora l'interpretazione geometrica di questa derivata. Se rappresentiamo i valori differenti del vettore ${\vec {\mathcal {A}}}$ continuamente variabile con delle frecce tracciate da un punto comune O, l'estremità del vettore descriverà nell o spazio una curva C. Facciamo che ${\vec {\mathcal {OP}}}$ rappresenti ${\vec {\mathcal {A}}}$ nell'istante t e ${\vec {\mathcal {OQ}}}$ lo rappresenti nell'istante $t+\Delta t$ al tempo $t+\Delta t$

determinazione della derivata di un vettore

Allora l'incremento $\Delta A$ è rappresentato dalla corda vettore ${\vec {\mathcal {PQ}}}$ della cirva C. Così abbiamo
$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ {\frac {\Delta {\vec {\mathcal {A}}}}{\Delta t}}={\frac {corda{\vec {\mathcal {PQ}}}}{\Delta t}}$
o
${\frac {\vec {\mathcal {A}}}{dt}}=\lim _{dt\to 0}{\frac {\vec {\mathcal {A}}}{\Delta t}}=\lim _{dt\to 0}{\frac {\vec {\mathcal {PQ}}}{\Delta t}}$
Per interpretare il limite si proceda come segue. Un punto come P o Q' sulla curva C puo venire specificato dando sia i l vettore ${\vec {\mathcal {A}}}$ sia la distanza s misurata lungo la curva da un qualche punto iniziale preso come riferimento. Poiché t varia, S cambierà quando A varia; quindi S=S(t) e ${\vec {\mathcal {A}}}$ possono essere considerate come dipendente da S. Lasciamo $\Delta s$ rappresentare l'incremento di S da P a Q. Pertanto,
$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \Delta s=lunghezza\ \ dell'arco\ \ PQ$
Immettendo $\Delta s$, riscriviamo l'equazione () come
$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ {\frac {\vec {\mathcal {A}}}{dt}}=\lim _{dt\to 0}{\frac {\vec {\mathcal {PQ}}}{\Delta s}}({\frac {\Delta s}{\Delta t}})=(\lim _{ds\to 0}{\frac {\vec {\mathcal {PQ}}}{\Delta s}})(\lim _{\Delta t\to 0}{\frac {\Delta s}{\Delta t}})$
$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ={\frac {ds}{dt}}(\lim _{ds\to 0}{\frac {\vec {\mathcal {PQ}}}{\Delta s}})$
Ora, ${\frac {\vec {\mathcal {PQ}}}{\Delta s}}$ è un vettore lungo ${\vec {\mathcal {PQ}}}$ con una grandezza uguale a
$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ {\frac {lunghezza\ della\ corda{\vec {\mathcal {PQ}}}}{lunghezza\ dell'arco\ PQ}}$
Quando $\Delta s\longrightarrow 0$
$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ {\frac {\vec {\mathcal {PQ}}}{\Delta s}}=1,$
e la direzione di ${\vec {\mathcal {PQ}}}$ diventa quella della tangente alla curva C nel punto P. Designando con $e_{s}$ un vettore unitario tangente in P si scriva

Con ciò, l'equazione (2.3a) diventa
$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ {\frac {\vec {\mathcal {dA}}}{dt}}={\frac {ds}{dt}}{\vec {\mathcal {e_{s}}}}\ \ \ \ \ \ \ \ (2.4)$
che esprime la derivata come il prodotto di una grandezza e di una direzione.
Come un esempio delle considerazioni precedenti, si consideri il moto di una particella massiva. La sua posizione, in ogni istante, sia denotata da ${\vec {\mathcal {r}}}={\vec {\mathcal {r}}}(t)$ misurato da un punto fisso prescelto di un sistema di riferimento. La traiettoria della particella è data dalla curva C tracciata dal vettore ${\vec {\mathcal {r}}}$ mentre t varia. La velocità ${\vec {\mathcal {V}}}$ della particella in ogni momento è fornita dalla derivata ${\frac {\vec {\mathcal {r}}}{dt}}$. Pertanto si ha
$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ {\vec {\mathcal {V}}}={\frac {d{\vec {\mathcal {r(t)}}}}{dt}}={\frac {ds}{dt}}{\vec {\mathcal {e_{s}}}}=V{\vec {\mathcal {e_{s}}}}$
asserente che la velocità è tangente alla traiettoria nell'istante considerato, e che la grandezza della ve V della velocità è uguale al rapporto della variazione della distanza lungo la traiettoria (cioè della velocità).
Come semplice conseguenza della equazione (2.4) possiamo fare notare che la direzione della derivata ${\frac {d{\vec {\mathcal {A}}}}{dt}}$ quando ${\vec {\mathcal {A}}}$ é di lunghezza costante ma di direzione variabile sia perpendicolare al vettore ${\vec {\mathcal {A}}}$.
Consideriamo ora la derivata della somma e del prodotto di funzioni vettoriali, funzioni tutte che dipendono dalla medesima variabile. In entrambi questi casi i metodi formali di derivazione utilizzati nel calcolo numerico sono ugualmente applicabili. ad eccezione dei casi che implicano dei prodotti vettoriali, in cui l'ordine dei vettori deve essere mantenuto. Ciò. naturalmente, è una conseguenza del fatto che i prodotti vettoriali non sono commutativi. Ne conseguono i seguenti risultati:
$\ \ \ \$ 1. Le derivate di ordine superiore di una funzione ${\vec {\mathcal {A}}}=$${\vec {\mathcal {A(t)}}}$ sono elaborate tramite successive derivazioni come nel calcolo numerico.

$\ \ \ \$2. Se ${\vec {\mathcal {U}}}=$${\vec {\mathcal {U(t)}}}$ è la somma di due funzioni tali che
$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ {\vec {\mathcal {U}}}={\vec {\mathcal {A(t)}}}+{\vec {\mathcal {B(t)}}}$
si ha che
$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ {\frac {d\ {\vec {\mathcal {U(t)}}}}{dt}}={\frac {d\ {\vec {\mathcal {A(t)}}}}{dt}}+{\frac {d\ {\vec {\mathcal {B(t)}}}}{dt}}$
$\ \ \ \$3. Se $u=u(t)\ e\ {\vec {\mathcal {A}}}={\vec {\mathcal {A(t)}}}$ abbiamo
$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ {\frac {d(u{\vec {\mathcal {A}}})}{dt}}=u\cdot {\frac {d\ {\vec {\mathcal {A}}}}{dt}}+{\frac {d\ u}{dt}}\cdot {\vec {\mathcal {A}}}$

$\ \ \ \$4. Se ${\vec {\mathcal {A}}}={\vec {\mathcal {A(t)}}}\ e\ {\vec {\mathcal {A}}}={\vec {\mathcal {A(t)}}}$ ricaviamo
$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ {\frac {d\ ({\vec {\mathcal {A}}}\cdot {\vec {\mathcal {B}}})}{dt}}={\vec {\mathcal {A}}}\cdot {\frac {d\ {\vec {\mathcal {B}}}}{dt}}+{\frac {d\ {\vec {\mathcal {A}}}}{dt}}\cdot {\vec {\mathcal {B}}}$
Poiché il prodotto scalare è commutativo, l'ordine dei vettori in questa derivazione non è necessario che sia preservato

$\ \ \ \$5. La derivata del prodotto vettoriale ${\vec {\mathcal {A(t)}}}\times {\vec {\mathcal {B(t)}}}$ è data da
$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ {\frac {d\ ({\vec {\mathcal {A}}}\times {\vec {\mathcal {B}}})}{dt}}={\vec {\mathcal {A}}}\times {\frac {d\ {\vec {\mathcal {B}}}}{dt}}+{\frac {d\ {\vec {\mathcal {A}}}}{dt}}\times {\vec {\mathcal {B}}}$
e non è uguale a
$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ {\vec {\mathcal {A}}}\times {\frac {d\ {\vec {\mathcal {B}}}}{dt}}+{\vec {\mathcal {B}}}\times {\frac {d\ {\vec {\mathcal {A}}}}{dt}}$
poiché il prodotto vettoriale non è commutativo, e qui l'ordine dei vettori deve essere mantenuto.
$\ \ \ \$6. Considerando un prodotto vettotiale triplo otteniamo
$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ {\frac {d\ ({\vec {\mathcal {A}}}\times {\vec {\mathcal {B}}}\times {\vec {\mathcal {C}}})}{dt}}={\frac {d\ {\vec {\mathcal {A}}}}{dt}}\cdot {\vec {\mathcal {B}}}\times {\vec {\mathcal {C}}}+{\vec {\mathcal {A}}}\cdot {\frac {d\ {\vec {\mathcal {B}}}}{dt}}\times {\vec {\mathcal {C}}}+{\vec {\mathcal {A}}}\cdot {\vec {\mathcal {B}}}\times {\frac {d\ {\vec {\mathcal {C}}}}{dt}}$
e
$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ {\frac {d\ [{\vec {\mathcal {A}}}\times ({\vec {(}}{\mathcal {B}}\times {\vec {\mathcal {C}}})]}{dt}}={\frac {d\ {\vec {\mathcal {A}}}}{dt}}\times ({\vec {\mathcal {B}}}\times {\vec {\mathcal {C}}})+{\vec {\mathcal {A}}}\times ({\vec {\mathcal {B}}}\times {\frac {d\ {\vec {\mathcal {C}}}}{dt}})+{\vec {\mathcal {A}}}\times ({\vec {\mathcal {B}}}\times {\frac {d\ {\vec {\mathcal {C}}}}{dt}})$
Nuovamente, anche qui l'ordine dei vettori deve venire conservato.
Concludendo questo capitolo colleghiamo le derivate del vettore ${\vec {\mathcal {A(t)}}}$ alle derivate delle sue componenti. Per fare ciò, scegliamo un sistema di vettori unitari ${\vec {\mathcal {e_{1}}}},{\vec {\mathcal {e_{2}}}},{\vec {\mathcal {e_{3}}}}$ e formuliamo
$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ {\vec {\mathcal {A(t)}}}=A_{1}{\vec {\mathcal {e_{1}}}}+A_{2}{\vec {\mathcal {e_{2}}}}+A_{3}{\vec {\mathcal {e_{3}}}}$
Cosi otteniamo
$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ {\frac {d\ {\vec {\mathcal {A}}}}{dt}}={\frac {d\ (A_{1}{\vec {\mathcal {e_{1}}}})}{dt}}+{\frac {d\ (A_{2}{\vec {\mathcal {e_{2}}}})}{dt}}+{\frac {d\ (A_{3}{\vec {\mathcal {e_{3}}}})}{dt}}$
Se i vettori unitari sono costanti, questa espressione diventa
$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ {\frac {d\ {\vec {\mathcal {A}}}}{dt}}={\frac {d\ A_{1}}{dt}}{\vec {\mathcal {e_{1}}}}+{\frac {d\ A_{2}}{dt}}{\vec {\mathcal {e_{2}}}}+{\frac {d\ A_{3}}{dt}}{\vec {\mathcal {e_{3}}}}$
Se invece pure i vettori unitari sono variabili con lo scalare t si ottiene
$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ {\frac {d\ {\vec {\mathcal {A}}}}{dt}}={\frac {d\ A_{1}}{dt}}{\vec {\mathcal {e_{1}}}}+A_{1}{\frac {d\ {\vec {\mathcal {e_{1}}}}}{dt}}+{\frac {d\ A_{2}}{dt}}{\vec {\mathcal {e_{2}}}}+A_{2}{\frac {d\ {\vec {\mathcal {e_{2}}}}}{dt}}+{\frac {d\ A_{3}}{dt}}{\vec {\mathcal {e_{3}}}}+A_{3}{\frac {d\ {\vec {\mathcal {e_{3}}}}}{dt}}$

Per illustrare il caso in cui i vettori unitari di riferimento sono pure variabili, si consideri la descrizione in coordinate cilindriche del moto di un punto materiale.
Concordemente, denotiamo con x, y, z la posizione, istante per istante, di tale punto, e con ${\vec {\mathcal {e_{1}}}},{\vec {\mathcal {e_{2}}}},{\vec {\mathcal {e_{3}}}}$ i corrispondenti vettori unitari. Ricerchiamo la velocità V del punto in un istante determinato. Per definizione la velocità del punto è uguale al tasso di cambiamento della sua posizione. Pertanto, se ${\vec {\mathcal {R}}}={\vec {\mathcal {R(t)}}}$ fornisce la posizione del punto rispetto ad un determinato punto, scriviamo
$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ V=v(t)={\frac {d\ {\vec {\mathcal {R}}}}{dt}}+$
In coordinate cilindriche
$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ {\vec {\mathcal {R}}}=r{\vec {\mathcal {e_{r}}}}+z{\vec {\mathcal {e_{z}}}}$

Di conseguenza, si ottiene
$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ {\vec {\mathcal {V}}}={\frac {d\ (r{\vec {\mathcal {e_{r}}}}+z{\vec {\mathcal {e_{z}}}})}{dt}}$
Poiché la direzione dell'unità vettoriale cambia con il cambiamento di posizione, questa equazione si svilupps in
$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ {\vec {\mathcal {V}}}={\frac {d\ r}{dt}}{\vec {\mathcal {e_{r}}}}+r{\frac {d\ {\vec {\mathcal {e_{r}}}}}{dt}}+{\frac {d\ z}{dt}}{\vec {\mathcal {e_{z}}}}$
Per valutare il rateo di variazione del versore ${\vec {\mathcal {e_{r}}}}$, si procede nella medesima maniera usata nel ricavare l'Equazione (2.4) ottenendo
$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ {\frac {d\ {\vec {\mathcal {e_{r}}}}}{dt}}={\frac {d\ {\vec {\mathcal {\theta }}}}{dt}}{\vec {\mathcal {e_{\theta }}}}$

Con questa relazione, la velocità espressa in coordinate cilindriche diviene

$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ {\vec {\mathcal {V}}}={\frac {d\ r}{dt}}{\vec {\mathcal {e_{r}}}}+{\frac {d\ \theta }{dt}}{\vec {\mathcal {e_{\theta }}}}+{\frac {d\ z}{dt}}{\vec {\mathcal {e_{z}}}}$
Se non avessimo riconosciuto che ${\vec {\mathcal {e_{r}}}}$ è variabile, saremmo giunto ad un risultato non corretto cioè che la velocità della particella sarebbe uguale a
$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ {\frac {d\ r}{dt}}{\vec {\mathcal {e_{r}}}}+{\frac {d\ z}{dt}}{\vec {\mathcal {e_{z}}}}$

Cambiamenti nei versori nelle coordinate cilindriche e sferiche

Quando ci si muove da un punto ad un altro punto nelle coordinate cilindriche o sferiche, delle variazioni si verificano nei versori di riferimento. Dobbiamo ore determinare questi cambiamenti.

Coordinate cilindriche

Ci si sposti da un punto ${\vec {\mathcal {R}}}(r,\theta ,z)$ di un infinitesimo di distanza

$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ d{\vec {\mathcal {S}}}=dr\ {\vec {\mathcal {e_{r}}}}+r\ d\theta \ {\vec {\mathcal {e_{\theta }}}}+dz\ {\vec {\mathcal {e_{z}}}}$
in qualche direzione. Qui ${\vec {\mathcal {e_{r}}}},{\vec {\mathcal {e_{\theta }}}},{\vec {\mathcal {e_{z}}}}$ sono i versori associati al punto ${\vec {\mathcal {R}}}$. Siano ${\vec {\mathcal {e'_{r}}}},{\vec {\mathcal {e'_{\theta }}}},{\vec {\mathcal {e'_{z}}}}$ i versori associati a ${\vec {\mathcal {R}}}+d{\vec {\mathcal {s}}}$. Come viene mostrato nella fig.2-4a, il sistema ${\vec {\mathcal {e'_{r}}}},{\vec {\mathcal {e'_{\theta }}}},{\vec {\mathcal {e'_{z}}}}$

deriva da una rotazione infinitesimale

$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ d{\vec {\mathcal {\phi }}}=d\theta {\vec {\mathcal {e_{z}}}}$

ove il pedice i può essere

del sistema ${\vec {\mathcal {e_{r}}}},{\vec {\mathcal {e_{\theta }}}},{\vec {\mathcal {e_{z}}}}$. Pertanto, il cambiamento in ognuno dei vettori unitari è dato da
$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ d{\vec {\mathcal {e_{i}}}}={\vec {\mathcal {e'_{i}}}}-{\vec {\mathcal {e_{i}}}}=d{\vec {\mathcal {\Phi }}}\times {\vec {\mathcal {e_{i}}}}$
in cui il pedice i può essere $r,\theta \ o\ z$. Ricorrendo all'uso della relazione (2.7) e della relazione (2.8) si ottengono le variazioni dei versori come
$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ d{\vec {\mathcal {e_{r}}}}=d\theta \ {\vec {\mathcal {e_{z}}}}\times {\vec {\mathcal {e_{r}}}}=d\theta \ {\vec {\mathcal {e_{\theta }}}}$
$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ d{\vec {\mathcal {e_{\theta }}}}=d\theta \ {\vec {\mathcal {e_{z}}}}\times {\vec {\mathcal {e_{\theta }}}}=-d\theta \ {\vec {\mathcal {e_{r}}}}$
$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ d{\vec {\mathcal {e_{z}}}}=d\theta \ {\vec {\mathcal {e_{z}}}}\times {\vec {\mathcal {e_{z}}}}=0$

Coordinate sferiche

Ora indichiamo un punto nello spazio con ${\vec {\mathcal {e_{r}}}}(r,\theta ,\phi )$. Ci spostiamo di un infinitesimo di distanza in una direzione qualunque
$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ d{\vec {\mathcal {s}}}=dr{\vec {\mathcal {e_{r}}}}+r\ d\theta \ {\vec {\mathcal {e_{\theta }}}}+r\ \ sen\theta \ \ d\phi {\vec {\mathcal {e_{\phi }}}}$
Dove ${\vec {\mathcal {e_{r}}}}$, ${\vec {\mathcal {e_{\theta }}}}$, ${\vec {\mathcal {e_{\phi }}}}$ sono i versori associati con il punto ${\vec {\mathcal {e_{\theta }}}}$. Indichiamo con ${\vec {\mathcal {e'_{r}}}}$, ${\vec {\mathcal {e'_{\theta }}}}$, ${\vec {\mathcal {e'_{\phi }}}}$ i versori associati con ${\vec {\mathcal {r}}}+d\ {\vec {\mathcal {s}}}$.Osserviamo, come indica la figura accanto, che il sistema ${\vec {\mathcal {e'_{r}}}}$, ${\vec {\mathcal {e'_{\theta }}}}$, ${\vec {\mathcal {e'_{\phi }}}}$ risulta da una infinitesima rotazione
$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ d{\vec {\mathcal {\phi }}}=d\phi \ {\vec {\mathcal {e}}}+d\theta \ {\vec {\mathcal {e_{\phi }}}}$
del sistema ${\vec {\mathcal {e_{r}}}},{\vec {\mathcal {e_{\theta }}}},{\vec {\mathcal {e_{z}}}}$, dove ${\vec {\mathcal {e}}}$ è un versore orientato nella direzione dell'asse da cui si misura $\theta$. Esprimendo ${\vec {\mathcal {e_{\phi }}}}$ in termini di\vec{\mathcal{e_r}}</math> e \vec{\mathcal{e_\theta}}</math> con la relazione
$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ {\vec {\mathcal {e}}}=cos\theta \ {\vec {\mathcal {e_{r}}}}-sen\theta \ {\vec {\mathcal {e_{\theta }}}}$
si scrive l'equazione (2.10) come

$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ d{\vec {\mathcal {\phi }}}=d\phi \ cos\theta \ {\vec {\mathcal {e_{r}}}}-d\phi \ sen\theta \ {\vec {\mathcal {e_{\theta }}}}+d\theta \ {\vec {\mathcal {e_{\phi }}}}$

Con questa relazione per $d{\vec {\mathcal {\phi }}}$, i cambiamenti nei vettori unitari possono venire determinati dalla equazione

$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ d{\vec {\mathcal {e_{i}}}}={\vec {\mathcal {e'_{i}}}}-{\vec {\mathcal {e_{i}}}}=d{\vec {\mathcal {\phi }}}\times {\vec {\mathcal {e_{i}}}}$

dove il pedice i può essere r, Θ o φ. Si ottiene quindi

$d{\vec {\mathcal {e_{r}}}}=d\theta \ {\vec {\mathcal {e_{\theta }}}}+d\phi \ sen\theta \ {\vec {\mathcal {e_{\phi }}}}$
$d{\vec {\mathcal {e_{\theta }}}}=d\theta \ {\vec {\mathcal {e_{r}}}}+d\phi \ cos\theta \ {\vec {\mathcal {e_{\phi }}}}$
$d{\vec {\mathcal {e_{\phi }}}}=d\phi \ sen\theta \ {\vec {\mathcal {e_{\theta }}}}+d\phi \ cos\theta \ {\vec {\mathcal {e_{\theta }}}}$

sistemi di riferimento

Nelle precedenti argomentazioni le quantità vettoriali sono state descritte con riferimento ad una origine scelta. Una tale origine è un punto fisso in un qualche sistema di riferimento. Con sistema di riferimento intendiamo una struttura spazio-tempo che ci consente, tramite opportune misurazioni, di descrivere fenomeni fisici tali come la posizione di centri di massa ed il trascorrere del tempo.

${|K_{0}|d \over dx}\ \ \ \ \ la\ derivata\ nella\ struttura\ |K_{0}|$
${|K|d \over dx}\ \ \ \ \ \ la\ derivata\ nella\ struttura\ |K|$
Sia ${\vec {\mathcal {e_{1}}}},{\vec {\mathcal {e_{2}}}},{\vec {\mathcal {e_{3}}}}$ un sistema di versori fissato in K, e siano $a_{1}$, $a_{2}$, $a_{3}$ le componenti scalari rispettive di ${\vec {\mathcal {A}}}$. Osserviamo che i versori ${\vec {\mathcal {e_{1}}}},{\vec {\mathcal {e_{2}}}},{\vec {\mathcal {e_{3}}}}$ non sono funzioni della variabile t nella struttura K, mentre lo sono se osservati dalla struttura K₀. Le componenti scalari sono semplicemente funzioni scalari della variabile scalare in entrambe le strutture di riferimento; in questo caso la distinzione tra le strutture di riferimento diventa irrilevante.
Esprimendo ${\vec {\mathcal {A}}}$ nella forma composita scrivamo
${|K_{0}|d \over dt}{\vec {\mathcal {A}}}={|K_{0}|d \over dt}(a_{1}{\vec {\mathcal {e_{1}}}}+a_{2}{\vec {\mathcal {e_{2}}}}+a_{3}{\vec {\mathcal {e_{3}}}})=$
$=({\vec {\mathcal {e_{1}}}}{|K_{0}|d \over dt}a_{1}+{\vec {\mathcal {e_{2}}}}{|K_{0}|d \over dt}a_{2}+{\vec {\mathcal {e_{3}}}}{|K_{0}|d \over dt}a_{3})+(a_{1}{|K_{0}|d \over dt}{\vec {\mathcal {e_{1}}}}+a_{2}{|K_{0}|d \over dt}{\vec {\mathcal {e_{2}}}}+a_{3}{|K_{0}|d \over dt}{\vec {\mathcal {e_{3}}}})$

Consideriamo il termine ${|K_{0}|d \over dt}a_{1}$. Dato che la derivata di una funzione scalare di una variabile scalare non dipende dalla struttura di riferimento, rileviamo che
$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ {|K_{0}|d \over dt}a_{1}={|K| \over dt}a_{1}={d \over dt}a_{1}$

Possiamo quindi scrivere che
${\vec {\mathcal {e_{1}}}}{|K_{0}|d \over dt}a_{1}={\vec {\mathcal {e_{1}}}}{|K| \over dt}a_{1}={|K|d \over dx}(a_{1}{\vec {\mathcal {e_{1}}}})$
dato che ${\vec {\mathcal {e_{1}}}})$ è indipendente da t nella struttura K. Ugualmente, si ha
$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ {\vec {\mathcal {e_{2}}}}{|K_{0}|d \over dt}a_{2}={|K|d \over dt}(a_{2}{\vec {\mathcal {e_{2}}}})$
e
$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ {\vec {\mathcal {e_{3}}}}{|K_{0}|d \over dt}a_{3}={|K|d \over dt}(a_{3}{\vec {\mathcal {e_{3}}}})$
Combinando le equazioni (1),(2) e (3) si giunge al isultato
${\vec {\mathcal {e_{1}}}}{K_{0}d \over dt}a_{1}+{\vec {\mathcal {e_{2}}}}{K_{0}d \over dt}a_{2}+{\vec {\mathcal {e_{3}}}}{K_{0}d \over dt}a_{3}={K_{0}d \over dt}(a_{1}{\vec {\mathcal {e_{1}}}}+a_{2}{\vec {\mathcal {e_{2}}}}+a_{3}{\vec {\mathcal {e_{3}}}})={Kd \over dt}{\vec {\mathcal {A}}}$
Consideriamo ora il termine
$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ {K_{0}d \over dt}{\vec {\mathcal {e_{1}}}}$
Poiché ${\vec {\mathcal {e_{1}}}}$ è un vettore fisso nella struttura K che sta ruotando con una velocità angolare $\omega (t)$ rispetto alla struttura $K_{o}$, si può verificare che
$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ {K_{o}d \over dt}{\vec {\mathcal {e_{1}}}}={\vec {\mathcal {\omega }}}\times {\vec {\mathcal {e_{1}}}}$
Possiamo quindi scrivere

$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ a_{1}{K_{0}d \over dt}{\vec {\mathcal {e_{1}}}}=a_{1}{\vec {\mathcal {\omega }}}\times {\vec {\mathcal {e_{1}}}}={\vec {\mathcal {\omega }}}\times a_{1}{\vec {\mathcal {e_{1}}}}$
Allo stesso modo, otteniamo
$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ a_{2}{K_{0}d \over dt}{\vec {\mathcal {e_{2}}}}={\vec {\mathcal {\omega }}}\times a_{2}{\vec {\mathcal {e_{2}}}}$
e
$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ a_{3}{K_{0}d \over dt}{\vec {\mathcal {e_{3}}}}={\vec {\mathcal {\omega }}}\times a_{3}{\vec {\mathcal {e_{3}}}}$
Combinando le relazioni AAA, arriviamo al risultato
$a_{1}{K_{0}d \over dt}{\vec {\mathcal {e_{1}}}}+a_{2}{K_{0}d \over dt}{\vec {\mathcal {e_{2}}}}+a_{3}{K_{0}d \over dt}{\vec {\mathcal {e_{3}}}}={\vec {\mathcal {\omega }}}\times (a_{1}{\vec {\mathcal {e_{1}}}}+a_{2}{\vec {\mathcal {e_{2}}}}+a_{3}{\vec {\mathcal {e_{3}}}})={\vec {\mathcal {\omega }}}\times {\vec {\mathcal {A}}}$
Usando le relazioni g g g, l'equazione AA può essere riscritta come
${K_{0}d \over dt}{\vec {\mathcal {A}}}={Kd \over dt}{\vec {\mathcal {A}}}+{\vec {\mathcal {\omega }}}\times {\vec {\mathcal {A}}}$.
Ciò fornisce la relazione richiesta tra le derivate di ${\vec {\mathcal {A(t)}}}$ nelle str utture di riferimento K e K_o.