Buchi neri e Universo/2. Le unità di Planck

2. Le unità di Planck

Per comprendere le proprietà di oggetti come i buchi neri dobbiamo riferirci a grandezze estreme, assai lontane non solo dalla nostra esperienza comune, ma anche da quelle ottenibili nei più potenti acceleratori di particelle. Nel 1899 il fisico tedesco Max Planck propose un insieme di unità di misura "naturali" basato su tre costanti fisiche: la velocità della luce nel vuoto c, la costante di gravitazione universale G e la costante dell'elettromagnetismo h da lui scoperta. In suo onore esse sono state chiamate unità di Planck o di Planck-Wheeler, dal nome del fisico americano John A. Wheeler che negli anni ’50 intuì il loro profondo significato per la comprensione delle leggi fisiche.

Come si possono calcolare queste unità fondamentali? Il metodo comunemente insegnato agli studenti consiste nel combinare opportunamente h, c e G per ottenere delle grandezze aventi rispettivamente la dimensione di un tempo, una lunghezza, una massa ecc.; ma esso rischia di farle apparire come un costrutto artificiale, privo di vero significato fisico. Più avanti vedremo come ricavarle partendo dalla teoria di Bekenstein e Hawking sull’evaporazione dei buchi neri [§ 3]; per il momento limitiamoci a enunciare i valori della massa, dell’energia, del tempo e della lunghezza di Planck

$M_{P}={\sqrt {\frac {hc}{G}}}\simeq 5,46\times 10^{-8}{\text{ Kg }}$(2.1)

$E_{P}={\sqrt {\frac {hc^{5}}{G}}}\simeq 4,9\times 10^{9}{\text{ J}}$(2.2)

$t_{P}={\frac {\hbar }{E_{P}}}={\sqrt {\frac {hG}{c^{5}}}}\simeq 1,35\times 10^{-43}{\text{ s}}$(2.3)

$\ell _{P}=ct_{P}={\sqrt {\frac {hG}{c^{3}}}}\simeq 4,05\times 10^{-35}{\text{ m}}$(2.4)

ai quali va aggiunto il raggio gravitazionale di Planck, che è il raggio di Schwarzschild dell’Universo a t_P

$R_{P}={\frac {2GM_{P}}{c^{2}}}=2{\sqrt {\frac {hG}{c^{3}}}}=2\ell _{P}\simeq 8,1\times 10^{-35}{\text{ m}}$(2.5)