Buchi neri e Universo/4. Dai buchi neri all'Universo

4. Dai buchi neri all’Universo

Le formule di Bekenstein-Hawking rivelano tutto il loro potenziale se applicate all’Universo osservabile. Sulla loro base si può infatti affermare che al tempo di Planck – quando, come si è detto, il raggio dell’orizzonte era uguale a $R_{P}$ – l’entropia cosmica, per la (3.4), era uguale a 1 (quindi l’Universo si trovava nello stato di massimo ordine termodinamico)

$S_{P}={\frac {R_{P}^{2}}{R_{P}^{2}}}=1$ (3.5)

mentre la sua temperatura e densità dovevano essere

$T_{P}={\frac {hc}{k_{B}R_{P}}}={\frac {h}{2k_{B}t_{P}}}\simeq 1,8\times 10^{32}{\text{ Kelvin}}$(3.6)

$\rho _{P}={\frac {3c^{2}}{8\pi GR_{P}^{2}}}={\frac {3}{32\pi Gt_{P}^{2}}}\simeq 2,45\times 10^{94}{\text{ Kg/m}}^{3}$(3.7)

Si aveva inoltre $S_{P}\propto 1/H_{P}$ e $T_{P}\propto H_{P}$,dove H_P = c/R_P = 1/2t_P è la costante di Hubble all’epoca di Planck), come previsto da Hawking nel 1996 nell’ipotesi che temperatura ed entropia di un universo di de Sitter derivino dall’esistenza di un orizzonte cosmologico [4].

Generalizzando il risultato appena ottenuto si possono calcolare le proprietà di questo buco nero universale corrispondenti ad ogni data ampiezza dell’orizzonte, e quindi per ogni epoca cosmica. Si ha infatti

$S_{t}={\frac {R_{t}^{2}}{R_{P}^{2}}}={\frac {t^{2}}{t_{P}^{2}}}\propto {\frac {1}{H_{t}^{2}}}$ (3.8)

$T_{t}={\frac {hc}{k_{B}R_{t}}}={\frac {h}{2k_{B}t}}\propto H_{t}$ (3.9)

$\rho _{t}={\frac {3c^{2}}{8\pi GR_{t}^{2}}}={\frac {3}{32\pi Gt^{2}}}$ (3.10)

Si può così ritenere dimostrato il rapporto esistente fra l’entropia dell’Universo e il numero dei quanti d’area fondamentali che coprono la superficie dell’orizzonte cosmologico, come pure il legame fra la temperatura e l’entropia, da un lato, e la costante di Hubble (e quindi, ancora una volta, il raggio dell’orizzonte) dall’altro, secondo la previsione di Hawking. Risulta inoltre provato che l’Universo, come i buchi neri, raggiunge il limite stabilito dal teorema di Margolus-Levitin [8] e pertanto soddisfa al massimo grado il principio olografico [5; 6; 7].

Applicando la (3.8) e la (3.10) al tempo presente ($t_{0}$ = 13,7 × 10⁹ anni = 4,3 × 10¹⁷ secondi; $R_{0}$ = 27,4 × 10⁹ anni-luce = 2,6 × 10²⁶ metri) si trova che la densità e l’entropia attuali dell’Universo osservabile sono uguali a

$\rho _{0}={\frac {3c^{2}}{8\pi GR_{0}^{2}}}={\frac {3}{32\pi Gt_{0}^{2}}}\simeq 2,39\times 10^{-27}{\text{ Kg/m}}^{3}$ (3.11)

$S_{0}={\frac {R_{0}^{2}}{R_{P}^{2}}}={\frac {t_{0}^{2}}{t_{P}^{2}}}\simeq 10^{121}$ (3.12)

È interessante confrontare il valore dell’entropia sopra esposto con quello che si otterrebbe se tutta l’energia contenuta all’interno dell’orizzonte risiedesse nei fotoni della radiazione di fondo a microonde (Cosmic Microwave Background):

${\frac {c^{4}\times 2,6\times 10^{26}}{4G\times 2,725k_{B}}}\simeq 2\times 10^{92}$ (3.13)

Ciò sembra indicare che la temperatura di Hawking attuale dell’Universo è molto inferiore alla temperatura della CMB; dalla (3.9) troviamo

$T_{0}={\frac {h}{2k_{B}t_{0}}}\simeq 5,6\times 10^{-29}{\text{ K}}$ (3.14)

e quindi l’Universo osservabile deve essere pervaso da un “gelido” fondo di particelle – probabilmente gravitoni – con una lunghezza d'onda Compton uguale al raggio attuale dell’orizzonte:

$\lambda _{0}={\frac {hc}{k_{B}T_{0}}}=2ct_{0}=R_{0}$ (3.15)

Infine il rapporto fra le densità cosmiche al tempo presente e all’epoca di Planck è uguale a

${\frac {\rho _{0}}{\rho _{P}}}={\frac {t_{P}^{2}}{t_{0}^{2}}}\simeq 10^{-121}$ (3.16)

e questo potrebbe spiegare per quale motivo l’energia del vuoto ha attualmente un valore inferiore di circa 120 ordini di grandezza rispetto a quello previsto dalle teorie quantistiche di grande unificazione (GUT): in realtà essa non sarebbe affatto costante, ma diminuirebbe col passare del tempo, e tutte le particelle esistenti in natura, dai costituenti della materia ai portatori delle forze, non sarebbero altro che condensazioni di questa “quintessenza” primordiale.

Naturalmente quanto detto non costituisce una dimostrazione irrefutabile che la regione di Universo in cui viviamo sia un enorme buco nero emittente radiazione di Hawking, ma certamente costituisce un indizio molto importante in questo senso.