Fondamenti di automatica/Modelli di sistemi comuni

Modelli di sistemi comuni

Amplificatore

Consiste in un unico elemento che ha guadagno costante $G_{amp}(s)=k$

Ritardo di tempo

Un sistema ritardo di tempo è usato per rappresentare la non immediata risposta dei sistemi reali. Un sistema che ritarda la risposta di $T_{d}$ secondi è rappresentato dalla funzione di trasferimento

$G_{rit}(s)=e^{-T_{d}s}$

Un ritardo puro non introduce variazioni di ampiezza ma diminuisce linearmente la fase al crescere di $\omega$ ed ha effetti negativi sulla stabilità di un sistema in anello chiuso.

È possibile approssimare il ritardo con funzioni razionali fratte scrivendo la funzione esponenziale come serie di Mc Laurin se $T_{d}$ è sufficientemente piccolo

$e^{-T_{d}s}={\frac {1}{1+T_{d}s+T_{d}^{2}s^{2}/2+\cdots }}$

Integratore

Un sistema integratore ha un solo polo nell'origine

$G_{int}(s)={\frac {1}{s}}$

Derivatore

Un sistema derivatore ha un solo zero e nessun polo,

$G_{der}(s)=1+s\tau =z(s+z)$

non è quindi un sistema causale, ma esistono sistemi reali che si comportano approssimativamente come derivatori ideali, ovvero sistemi del primo ordine (o di ordine superiore) con poli dominanti a frequenze elevate ed un solo zero a bassa frequenza.

Sistemi del primo ordine

Un sistema del primo ordine ha un solo polo e al massimo uno zero

$G_{I}={\frac {1+\tau s}{1+Ts}}={\frac {z}{p}}\quad {\frac {s+z}{s+p}}$

$G_{I}={\frac {1}{1+Ts}}={\frac {1}{p(s+p)}}$

Dove $T$ è detto tempo caratteristico del sistema.

Risposta al gradino

La risposta al gradino di un sistema del primo ordine generico può essere calcolata esplicitamente; ha un andamento esponenziale

$y(t)=1+(\tau /T-1)e^{t/T}$;

la velocità di risposta del sistema dipende dalla sua costante di tempo $T$, il transitorio si può considerare esaurito dopo circa cinque costanti di tempo; la presenza di uno zero influenza il valore iniziale della risposta e può causare una sovraelongazione iniziale se $\tau >T$.

I parametri della risposta al gradino sono:

• tempo di salita:

$t_{r}=2.2T$

• tempo di ritardo:

$t_{d}=0.7T$

• tempo di assestamento

$t_{s}=3T$

Sistemi del secondo ordine

Consideriamo un sistema che abbia due poli e nessuno zero. Sono di particolare interesse solo i sistemi con poli stabili complessi coniugati; ci sono altri sistemi con due poli, ma o sono instabili oppure si possono ricondurre a somma di sistemi del primo ordine.

$G_{II}(s)={\frac {\omega _{n}^{2}}{s^{2}+2\zeta \omega _{n}s+\omega _{n}^{2}}}={\frac {1}{{\frac {s^{2}}{\omega _{n}^{2}}}+2{\frac {\zeta s}{\omega _{n}}}+1}}$

Se i poli sono complessi coniugati negativi stabili, questi valgono

$p_{1},p_{2}=\zeta \omega _{n}\pm j\omega _{n}{\sqrt {1-\zeta ^{2}}}=\alpha \pm j\omega$

Parametri caratteristici

I simboli usati nella funzione di trasferimento del sistema di secondo grado precedente significano:

• $\omega _{n}$:

pulsazione naturale non smorzata, modulo dei poli se questi sono complessi coniugati

• $\zeta$:

smorzamento, opposto del coseno della fase dei poli se questi sono complessi coniugati negativi

• $\alpha =\zeta \omega _{n}$:

fattore di smorzamento, parte reale dei poli

• $\omega =\omega _{n}{\sqrt {1-\zeta ^{2}}}$:

pulsazione smorzata, parte immaginaria dei poli

il tipo dei poli dipende dallo smorzamento $\zeta$

• $\zeta \leq -1$: due poli reali instabili, se $\zeta =-1$ coincidenti: sistema instabile
• $-1<\zeta <0$: due poli complessi coniugati instabili: sistema instabile
• $\zeta =0$: due poli immaginari puri: sistema criticamente smorzato
• $0<\zeta <1$: due poli positivi complessi coniugati stabili: sistema smorzato (è questo il caso di maggiore interesse)
• $\zeta \geq 1$: due poli positivi reali stabili, se $\zeta =1$ coincidenti: sistema sovrasmorzato

Per i sistemi smorzati con smorzamento $0<\zeta <{\sqrt {2}}/2$ esiste un picco di risonanza il cui valore dipende dallo smorzamento $M_{r}={\frac {1}{2\zeta {\sqrt {1-\zeta ^{2}}}}}$ in corrispondenza della frequenza di risonanza $\omega _{r}=\omega _{n}{\sqrt {1-2\zeta ^{2}}}$ L'entità del picco di risonanza è inversamente proporzionale allo smorzamento. Se lo smorzamento è maggiore di $0,707$ allora $M_{r}=1$ e $\omega _{n}=0$

La banda di un sistema smorzato del secondo ordine è $BW=\omega _{n}\left((1-2\zeta ^{2})+{\sqrt {4\zeta ^{4}-4\zeta ^{2}+2}}\right)$

Risposta al gradino dei sistemi smorzati

La risposta di un sistema ad un ingresso gradino unitario o risposta al gradino può essere usata per valutare le prestazioni di un sistema

• Sovraelongazione massima:

Se il sistema è smorzato ($0<\zeta <1$) la risposta al gradino ha un comportamento oscillatorio periodico con massimi e minimi ai tempi $t_{i}={\frac {i\pi }{\omega }}$ per $i$ intero, il valore della sovraelongazione dipende solo dallo smorzamento $\zeta$ ed è $M_{p}=e^{-|{\frac {\pi \alpha }{\omega }}|}=e^{-{\frac {\pi \zeta }{\sqrt {1-\zeta ^{2}}}}}$ il tempo in cui si raggiunge il massimo è $t_{max}={\frac {\pi }{\omega }}$

• Tempo di ritardo:

Si calcola un valore approssimato del tempo necessario alla risposta a raggiungere la metà del valore di regime $t_{d}={\frac {1+0.7\zeta }{\omega _{n}}}$

• Tempo di salita:

Si calcola un valore approssimato del tempo necessario alla risposta ad andare dal 10\% al 90\% del suo valore di regime $t_{r}={\frac {0.8+2.5\zeta }{\omega _{n}}}$

• Tempo di assestamento:

si calcola un valore approssimato del tempo dopo cui la risposta non differisce di più del 5\% dal valore di regime

$t_{s_{5\%}}=\left\{{\begin{array}{ll}{\frac {3}{\zeta \omega _{n}}}&{\textrm {per}}0<\zeta <0.69\\{\frac {4.5\zeta }{\omega _{n}}}&{\textrm {per}}0.69<\zeta <1\\\end{array}}\right.$

Se si desidera un assestamento al $2\%$ del valore di regime, si considera $t_{s_{2\%}}={\frac {4}{\zeta \omega _{n}}}$

Relazioni tra i parametri

Esistono delle dipendenze tra i parametri caratteristici del sistema e i parametri della sua risposta al gradino

• Al crescere di $\omega _{n}$ la distanza dei poli dall'origine aumenta
• Al crescere di $\zeta$ diminuisce l'angolo tra i poli e l'asse reale negativo rispetto all'origine
• Al crescere di $\omega _{n}$ il tempo di ritardo diminuisce e il sistema risponde più rapidamente
• Al crescere di $\zeta$ il tempo di ritardo aumenta e il sistema risponde più lentamente
• La banda è direttamente proporzionale alla pulsazione naturale non smorzata $\omega _{n}$ e inversamente proporzionale al tempo di salita $t_{r}$,

per cui aumentando la banda il sistema risponde più rapidamente

• Al crescere del picco di risonanza aumenta la sovraelongazione massima

Riduzione dell'ordine dei sistemi

Poli dominanti

Si possono trascurare in fase di valutazione delle specifiche poli o zeri a frequenze molto elevate rispetto agli altri \vedilibro{rif:k}{422, sezione 7.8: Dominant poles of transfer function}