Algebra lineare e geometria analitica/Operazioni tra matrici

Sulle matrici si definiscono in maniera naturale tre operazioni, che andremo adesso ad analizzare in dettaglio.

Somma

Definizione

Date $A,B\in M(m,n,\mathbb {R} )$ si definisce $A+B\in M(m,n,\mathbb {R} )$ nel seguente modo:

$(A+B)_{i,j}:=(A)_{i,j}+(B)_{i,j}\ \quad \forall \,i,j$

La definizione è molto naturale e non è nient'altro che la somma fatta componente per componente. Vediamone alcuni esempi.

Esempi

${\begin{pmatrix}5&1\\4&0\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}-5&6\\1&2\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&7\\5&2\end{pmatrix}}$

${\begin{pmatrix}a&b&c\\d&e&f\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}a'&b'&c'\\d'&e'&f'\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a+a'&b+b'&c+c'\\d+d'&e+e'&f+f'\end{pmatrix}}$

Da questi esempi e dalla definizione si deduce che la somma di matrici è una funzione

$+:\ M(m,n,\mathbb {R} )\times M(m,n,\mathbb {R} )\to M(m,n,\mathbb {R} )$

$(A,B)\mapsto A+B$

Si osservi inoltre che la somma è definita soltanto per matrici con lo stesso numero di righe e di colonne. Non è definita invece per matrici con rige diverse o colonne diverse.

Prodotto per uno scalare

Per scalare si intende un numero appartenente allo stesso campo dei coefficienti delle matrici. Ad esempio nel caso di $M(m,n,\mathbb {R} )$, uno scalare sarà un numero reale.

Definizione

Dato $\lambda \in \mathbb {R}$ e $A\in M(m,n,\mathbb {R} )$ definiamo la matrice $\lambda \cdot A\in M(m,n,\mathbb {R} )$ nel seguente modo:

$(\lambda \cdot A)_{i,j}=\lambda \cdot (A)_{i,j}\,\forall i,j$

Scriveremo spesso $\lambda A$ al posto di $\lambda \cdot A$.

Anche in questo caso la definizione è molto naturale e non è nient'altro che la moltiplicazione di ogni componente per lo scalare. Vediamo ora qualche esempio

Esempi

$-4{\begin{pmatrix}5&1\\4&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-20&-4\\-16&0\end{pmatrix}}$

$3{\begin{pmatrix}a&b&c\\d&e&f\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}3a&3b&3c\\3d&3e&3f\end{pmatrix}}$

Da questi esempi e dalla definizione si deduce che la moltiplicazione per scalare è una funzione

$\cdot :\ \mathbb {R} \times M(m,n,\mathbb {R} )\to M(m,n,\mathbb {R} )$

$(\lambda ,A)\mapsto \lambda \cdot A$

Prodotto righe per colonne

Prodotto di una riga per una colonna

Definizione

Data la matrice riga

$A={\begin{pmatrix}a_{1}&a_{2}&\dots &a_{n}\end{pmatrix}}\ \in \ M(1,n,\mathbb {R} )$

e la matrice colonna

$B={\begin{pmatrix}b_{1}\\b_{2}\\\vdots \\b_{n}\end{pmatrix}}\ \in \ M(n,1,\mathbb {R} )$

definiamo il prodotto $A\cdot B$ nel seguente modo:

$A\cdot B=a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+\dots +a_{n}b_{n}=\sum _{r=1}^{n}a_{r}b_{r}\in \mathbb {R}$

Sebbene questa definizione possa sembrare un po' artificosa non lo è affatto, chi abbia qualche nozione di Analisi o Fisica ha certamente notato come la formula non sia nient'altro che un prodotto scalare tra due vettori. Torneremo più avanti su questo concetto. Per il momento è utile osservare due cose: la prima è che il prodotto appena introdotto è definito solo se la matrice colonna ha tante righe quante sono le colonne della matrice riga, altrimenti "avanzano" alcuni elementi; la seconda cosa da osservare è che il prodotto tra una riga e una colonna dà come risultato un numero reale.

È possibile estendere questa definizione al prodotto di matrici qualsiasi, in cui il numero di colonne della prima sia uguale al numero di righe della seconda. Vale la seguente definizione

Prodotto tra due matrici

Definizione

Data la matrice

$A={\begin{pmatrix}A_{1}\\A_{2}\\\vdots \\A_{m}\end{pmatrix}}\ \in \ M(m,n,\mathbb {R} )$

e la matrice

$B={\begin{pmatrix}B^{1}&B^{2}&\dots &B^{p}\end{pmatrix}}\ \in \ M(n,p,\mathbb {R} )$

dopo aver osservato che $A_{i}\in M(1,n,\mathbb {R} )$ e $B^{j}\in M(n,1,\mathbb {R} )$, e quindi che è possibile fare il prodotto di una riga di $A$ per una colonna di $B$ si pone

$A\cdot B={\begin{pmatrix}A_{1}\cdot B^{1}&A_{1}\cdot B^{2}&\dots &A_{1}\cdot B^{p}\\A_{2}\cdot B^{1}&A_{2}\cdot B^{2}&\dots &A_{2}\cdot B^{p}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\A_{m}\cdot B^{1}&A_{m}\cdot B^{2}&\dots &A_{m}\cdot B^{p}\\\end{pmatrix}}\ \in \ M(m,p,\mathbb {R} )$

Esplicitamente, se chiamiamo $C=A\cdot B$, si ha che

$c_{i,j}=A_{i}\cdot B^{j}=a_{i,1}b_{1,j}+a_{i,2}b_{2,j}+\dots +a_{i,n}b_{n,j}=\sum _{k=1}^{n}a_{i,k}b_{k,j}$

Esempi

${\begin{pmatrix}a_{1}&a_{2}&a_{3}\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}b_{1}\\b_{2}\\b_{3}\end{pmatrix}}=a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3}\in \mathbb {R} =M(1,\mathbb {R} )$

${\begin{pmatrix}b_{1}\\b_{2}\\b_{3}\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}a_{1}&a_{2}&a_{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}b_{1}a_{1}&b_{1}a_{2}&b_{1}a_{3}\\b_{2}a_{1}&b_{2}a_{2}&b_{2}a_{3}\\b_{3}a_{1}&b_{3}a_{2}&b_{3}a_{3}\end{pmatrix}}\in M(3,\mathbb {R} )$

${\begin{pmatrix}a_{1}&a_{2}&a_{3}\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}b_{1}\\b_{2}\end{pmatrix}}\ \qquad$ non è definito

${\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}1&1\\1&1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}3&3\\7&7\end{pmatrix}}\neq {\begin{pmatrix}4&6\\4&6\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&1\\1&1\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}}$

${\begin{pmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{pmatrix}}$

Proprietà del prodotto tra matrici

Per il prodotto valgono sempre le proprietà...

1. associativa $A\cdot \left(B\cdot C\right)=\left(A\cdot B\right)\cdot C$
2. distributiva
   1. a sinistra della somma $A\cdot \left(B+C\right)=A\cdot B+A\cdot C$
   2. a destra della somma $\left(B+C\right)\cdot A=B\cdot A+C\cdot A$
3. commutativa se e solo se il prodotto è la matrice identità: $A\cdot B=B\cdot A\Leftrightarrow A\cdot B=I$ cioè se e solo se le matrici sono una l'inversa dell'altra.