Analisi numerica/Il problema dell'approssimazione

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Sommario
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Copertina Analisi numerica/Copertina
  1. Motivazioni ed esempi Analisi numerica/Motivazioni ed esempi
  2. Il problema dell'approssimazione Analisi numerica/Il problema dell'approssimazione
  3. Sistemi lineari Analisi numerica/Sistemi lineari
  4. Equazioni non lineari Analisi numerica/Equazioni non lineari
  5. Approssimazione di funzioni Analisi numerica/Approssimazione di funzioni
  6. Integrazione numerica Analisi numerica/Integrazione numerica

Molti problemi matematici possono essere scritti nella seguente forma

F(x,d)=0 \,

dove d è l'insieme dei dati, x è la soluzione e F rappresenta il legame tra dati e la soluzione, i quali, a seconda del problema, potranno essere numeri reali, vettori, funzioni o altri oggetti matematici ancora. Ad esempio, nel problema dell'integrazione numerica, d è costituito dalla funzione integranda f e dall'intervallo di integrazione (a,b), x è il valore dell'integrale, mentre F è la relazione

F(x,d)=x - \int_a^b f(t)dt.

Il problema viene detto diretto se F e d sono noti e x è incognito, inverso se F e x sono noti e d è incognito, di identificazione se d e d sono noti e xF è incognita.

Risolvere numericamente il problema significa costruire una successione di problemi approssimati Fn(xn,dn) tali per cui x_n \to x quando n tende all'infinito. Si vuole cioè costruire una successione di problemi approssimati la cui soluzione esatta converga, in una norma opportuna, alla soluzione del problema originario. Ovviamente, affinché ciò avvenga, è necessario che d_n \to d e che Fn approssimi F sempre meglio al tendere di v all'infinito. Più precisamente, si richiede che, se d è un dato ammissibile anche per il problema approssimato, sia verificata la seguente condizione, detta condizione di consistenza:

\lim_{n\to +\infty}F_n(x,d)\to 0.

Un metodo che verifica questa proprietà è detto consistente. Se poi vale Fn(x,d) = 0 per ogni n, il metodo viene detto fortemente consistente. Per quanto detto, è evidente che gli unici metodi interessanti dal punto di vista applicativo sono quelli consistenti. Tuttavia, la consistenza da sola non garantisce nulla sulla convergenza della soluzione approssimata a quella esatta. Diremo quindi che un metodo è convergente se

\lim_{n\to+\infty}||x-x_n||=0,

dove ||\cdot|| è una norma opportuna.

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