Comunicazioni digitali/Sistemi di comunicazioni numeriche

Sistemi di comunicazioni numeriche

Un sistema di comunicazione può essere modellizzato come una serie di sistemi che chiamiamo:

1. Sorgente
2. Trasmettitore
3. Canale
4. Ricevitore
5. Destinatario

Scopo del sistema di comunicazioni è di trasmettere inalterata l'informazione, codificata in alfabeto binario, dalla sorgente al destinatario

Noi tratteremo i sistemi di comunicazioni numerica, in cui l'informazione da trasmettere è composta da successioni di simboli

===Sorgente} Consiste in un emettitore di \emph{simboli} $a_{i}$ appartenenti ad un \emph{alfabeto} \\ $A = \{A_{1} , A_{2} , \cdots , A_{M_{A}} \}$ di dimensione finita $M_{A}$ i cui elementi supponiamo essere numeri reali

Se simboli opposti sono numeri opposti ($A_{1} = - A_{M_{A}} , A_{2} = - A_{M_{A}-1} , \cdots$) i simboli sono detti \emph{antipodali}

I simboli sono emessi con una cadenza fissata $T_{s}$ che è detta \emph{intervallo di segnalazione}; l'inverso $R = 1/T_{s}$ è la \emph{velocità di segnalazione} (o symbol rate)

In ingresso al trasmettitore arriva quindi una successione di simboli che è rappresentabile come un processo stocastico (che supponiamo stazionario) i cui valori ad ogni istante hanno una certa probabilità di essere uno qualsiasi dei simboli dell'alfabeto (se le probabilità sono uguali i simboli sono detti \emph{equiprobabili} e $Pr(A_{1..M_{A}}) = 1 / M_{A}$ ) che comincia all'istante $t_{1}$ chiamiamo questo processo \emph{segnale di ingresso} e lo definiamo attraverso la probabilità di ogni simbolo dell'alfabeto \begin{equation} a(t) = \sum _{i = -\infty} ^{+\infty} a_{i} \delta (iT_{s}) \end{equation} \begin{displaymath} a_{i} = \left\{ \begin{array}{ll} A_{1} & Pr(A_{1}) \\ A_{2} & Pr(A_{2}) \\ \vdots & \vdots \\ A_{M_{A}} & Pr(A_{M_{A}}) \\ \end{array} \right. \end{displaymath} in cui l'i-esimo simbolo è trasmesso all'istante $t = iT_{s}$

l'alfabeto utilizzato tipicamente è \begin{displaymath} -(M-1) , -(M-3), \ldots , -5, -3, -1, 1 , 3 , 5 , M-3, M-1 \end{displaymath}

Il segnale di ingresso è quindi una successione di delte di Dirac di energia pari al valore del simbolo trasmesso

\`E possibile associare alla successione di simboli una densità di probabilità e trattarla come un processo aleatorio

===Trasmettitore} Consiste in un sistema che associa ad ogni simbolo ricevuto $a(t_{i})$ una forma d'onda (che deve essere nota anche al ricevitore) ovvero un segnale continuo $s(t_{i})$ che viene trasmesso al ricevitore attraverso il canale. Il segnale deve essere in una forma adatta alla trasmissione nel canale ed in particolare può essere passa-banda o passa-basso

Un trasmettitore può essere preceduto da un \emph{codificatore} che può variare l'alfabeto dei simboli per la trasmissione (in questo caso si usa sempre un \emph{codificatore di Gray}, che associa simboli binari a simboli m-ari in modo che ad un errore tra simboli m-ari adiaceenti corriasponda un solo bit di differenza), oppure codificare l'informazione in maniera ridondante o compressa.

Il sistema che associa una forma d'onda al simbolo può essere descritto dalla sua risposta impulsiva $g(t)$ o dalla sua funzione di trasferimento $G(f)$

Il sistema che effettua la modulazione in segnale passa banda centrato alla frequenza $f_{p}$ può essere descritto con un moltiplicatore per una cosinusoide $2 \cos 2 \pi f_{p} t$

A volte viene inserito un filtro $H_{T}(f)$ all'uscita del trasmettitore allo scopo di limitare la banda del segnale trasmesso.

La funzione di trasferimento del trasmettitore si indica con $G_{T}(f)$ oppure con la sua risposta impulsiva $g_{T}(t)$

il segnale trasmesso si indica con $s_{T}(t)$

====Parametri della trasmissione} si indica con \begin{itemize} \item $E_{g_{T}}$ l'energia dell'impulso \item $E_{0}$ l'energia dell'impulso di energia minore \item $\overline{E}$ l'energia media per simbolo, rispetto alla loro probabilità \end{itemize}

===Canale} Un canale è schematizzato da un filtro $C(f)$ o $c(t)$ lineare passa-banda (ad esempio se il canale è l'etere) o passa-basso (in caso ad esempio di cavi elettrici, guide d'onda \dots) e da un sistema che inserisce un disturbo nel segnale, schematizzato da un sommatore (o da un moltiplicatore a volte) con un segnale di rumore $w(t)$.

Noi supponiamo che il canale sia tempoinvariante (oltre che lineare) e che il rumore sia gaussiano bianco additivo (o AGWD) a densità spettrale di potenza costante e pari a $N_{0}/2$

Normalmente un canale attenua il segnale che trasmette e introduce un ritardo di tempo, quindi \begin{equation} C(f) = A_{can} \delta(t - t_{can}) \end{equation} può anche introdurre delle distorsioni non lineari oppure causare interferenze nel segnale. Un canale ideale ha $C(f) = 1$ e non modifica in alcun modo il segnale

===Ricevitore} Indichiamo con $s_{R}(t)$ il segnale ricevuto

Un ricevitore è composto da un \emph{filtro di prerivelazione} $H_{R}(f)$ passa basso che limita il rumore nella banda del segnale ed elimina le componenti ad alta frequenza del segnale ricevuto

Se il segnale era passa-banda, il filtro è seguito da un demodulatore che effettua l'operazione inversa del modulatore nel trasmettitore, il sistema che effettua la demodulazione del segnale passa banda centrato alla frequenza $f_{0}$ può essere descritto con un moltiplicatore per una cosinusoide $\cos (2 \pi f_{0} t + \Theta)$ che in frequenza corrisponde alla convoluzione per $\frac{\delta (f-f_{0}) + \delta (f+f_{0})}{2}$

Il rumore additivo $w(t)$ introdotto dal canale filtrato dal filtro di prerivelazione arriva al demodulatore come un segnale passa-banda con densità spettrale di potenza del tipo \begin{displaymath} S_{w(t) \conv h_{R}(t)} =

   \frac{N_{0}}{2} \left( \rect{f+f_{0}}{B} + \rect{f-f_{0}}{B} \right)

\end{displaymath}

Questo sistema dà in uscita molte repliche del segnale a diverse frequenze, ma solo la componente in banda base è importante perché il filtro in ricezione elimina le componenti in alta frequenza;

Sono possibili anche dei \emph{ricevitori non coerenti} che consentono di ignorare la fase del segnale

Il \emph{rapporto segnale-rumore} $\stnr$ (o STNR: signal to noise ratio) è il rapporto tra la potenza del segnale utile e la potenza del rumore; \begin{equation} \stnr = \frac{P_{x}}{P_{w(t)}} \end{equation} si misura in decibel

Si indica con $s_{C}$ il segnale da campionare

Il segnale filtrato viene quindi campionato ad istanti $t_{r} + iT_{s}$ ottenendo una successione di valori reali $z_{i}$ che corrisponderebbero idealmente ai simboli trasmessi, ma che sono differenti a causa del rumore introdotto dal canale, dell'interferenza intersimbolica tra il segnale di un simbolo e del successivo, e di altri fenomeni

I valori $z_{i}$ sono quindi passati ad un \emph{decisore} che ha il compito di associare ad essi un simbolo dell'alfabeto $A$ utilizzato in trasmissione e di passare il risultato al destinatario, indichiamo con $b_{i}$ i simboli decisi Il decisore associa ad ogni valore il simbolo che ha valore più prossimo (criterio di decisione a minima distanza)

Destinatario

Il destinatario legge i simboli dal ricevitore, se questi corrispondono a quelli trasmessi ($b_{i} = a_{i}$), allora si ha corretta ricezione, altrimenti si è verificato un errore ($b_{i} \not= a_{i}$).

La \emph{probabilità di errore} su simbolo si indica con $Pr(e)$ ed è in genere data in termini delle funzioni distribuzione standard $\Phi(x)$ o $Q(x)$; se si devono confrontare due probabilità di errore, in genere il termine significativo è l'argomento di queste funzioni rispetto ad eventuali coefficienti moltiplicativi

===Parametri caratteristici di un sistema}

\begin{itemize} \item $T_{b}$ il tempo di trasmissione per un bit

\item $E_{b}$ l'energia media per bit trasmesso

\item $BER$ la \emph{bit error rate}, la probabilità di errore su simboli appartenenti ad un alfabeto binario

\item $\effb$ la \emph{efficienza in banda} il rapporto tra la bit-rate e la banda utilizzata \begin{equation} \effb = \frac{R}{\B} = \frac{1}{T_{b}\B} \end{equation}

\end{itemize}