Elaborazione numerica dei segnali/Trasformata zeta

Vantaggio rispetto alla DTFT

La trasformata zeta converge in modo uniforme per una classe di segnali più vasta.

Utilità

La trasformata zeta trasforma le equazioni alle differenze in equazioni algebriche più semplici.

Definizione

La trasformata zeta $X\left(z\right)$ della sequenza $x\left(n\right)$ è un polinomio nella variabile $z^{-1}$ e con i campioni della sequenza $x\left(n\right)$ per coefficienti:

$X\left(z\right)=\sum _{n=-\infty }^{+\infty }x\left(n\right)z^{-n}$

dove $z$ è una variabile complessa di modulo $\rho$ e fase $\omega =2\pi f$, che può assumere valori in tutto il piano complesso:

$z=\rho \cdot e^{j\omega }$

Relazione con la DTFT

La DTFT $X\left(e^{j\omega }\right)$ è un caso particolare della trasformata zeta perché, nel piano complesso, percorre al variare di $\omega$ una circonferenza di raggio unitario:

$X\left(e^{j\omega }\right)=\left.X\left(z\right)\right\vert _{z=e^{j\omega }}=\sum _{n=-\infty }^{+\infty }x\left(n\right)e^{-j\omega n}$

Come nel dominio del tempo continuo la trasformata di Laplace è la generalizzazione della trasformata di Fourier, così nel dominio del tempo discreto la trasformata zeta è la generalizzazione della DTFT.

Relazione con la DFT

A partire dai campioni della DFT di una sequenza $x\left(n\right)$ a supporto limitato $\left[0,N-1\right]$ si può risalire alla sua trasformata zeta tramite interpolazione:

$X\left(z\right)={\frac {1}{N}}\left(1-z^{-N}\right)\sum _{k=0}^{N-1}{\frac {X\left(k\right)}{1-e^{j{\frac {2\pi }{N}}k}z^{-1}}}$

Dimostrazione

$X\left(z\right)=\sum _{n=0}^{N-1}x\left(n\right)z^{-n}=$

Sostituendo l'espressione della IDFT:

$=\sum _{n=0}^{N-1}\left[{\frac {1}{N}}\sum _{k=0}^{N-1}X\left(k\right)e^{-j{\frac {2\pi }{N}}kn}\right]z^{-n}={\frac {1}{N}}\sum _{k=0}^{N-1}X\left(k\right)\sum _{n=0}^{N-1}{\left(e^{j{\frac {2\pi }{N}}k}z^{-1}\right)}^{n}=$

$\sum _{k=0}^{N-1}x^{k}={\frac {1-x^{N}}{1-x}}\Rightarrow ={\frac {1}{N}}\sum _{k=0}^{N-1}X\left(k\right){\frac {1-e^{j{\frac {2\pi }{N}}kN}z^{-N}}{1-e^{j{\frac {2\pi }{N}}k}z^{-1}}}={\frac {1}{N}}\sum _{k=0}^{N-1}X\left(k\right){\frac {1-e^{j2\pi k}z^{-N}}{1-e^{j{\frac {2\pi }{N}}k}z^{-1}}}=$

$e^{j2\pi k}=1\Rightarrow ={\frac {1}{N}}\sum _{k=0}^{N-1}X\left(k\right){\frac {1-z^{-N}}{1-e^{j{\frac {2\pi }{N}}k}z^{-1}}}$

Analisi della regione di convergenza

L'espressione della trasformata zeta è detta serie di Cauchy-Laurent. La regione di convergenza (ROC) della serie è il luogo dei punti per cui essa converge in modo uniforme. Nella regione di convergenza, la trasformata zeta $X\left(z\right)$ è una funzione analitica, ossia continua e infinitamente derivabile con derivate continue.

La serie della trasformata zeta converge se e solo se la sequenza $x\left(n\right)\rho ^{-n}$ è assolutamente sommabile:

$\sum _{n=-\infty }^{+\infty }\left|x\left(n\right)\right|{\rho }^{-n}\in \mathbb {R}$

Dimostrazione

La trasformata zeta $X\left(z\right)$ della sequenza $x\left(n\right)$ equivale alla DTFT della sequenza $x\left(n\right){\rho }^{n}$:

$z=\rho e^{j\omega }\Rightarrow X\left(z\right)=\sum _{n=-\infty }^{+\infty }x\left(n\right){\left[\rho e^{j\omega }\right]}^{-n}=\sum _{n=-\infty }^{+\infty }\left[x\left(n\right){\rho }^{-n}\right]e^{-j\omega n}$

Per la condizione di esistenza della DTFT:

$\sum _{n=-\infty }^{+\infty }\left|x\left(n\right){\rho }^{-n}\right|=\sum _{n=-\infty }^{+\infty }\left|x\left(n\right)\right|{\rho }^{-n}\in \mathbb {R}$

Le regioni di convergenza nel piano complesso sono delimitate da circonferenze (ossia luoghi dei punti a modulo costante), perché non dipendono dalla fase $\omega$ ma solo dal modulo $\rho$.

Esempio

$x\left(n\right)=\delta \left(n-n_{0}\right)\Rightarrow X\left(z\right)=\sum _{n=-\infty }^{+\infty }\delta \left(n-n_{0}\right)z^{-n}=z^{-n_{0}}$

• se $n_{0}=0$ converge su tutto il piano complesso:

  $X\left(z\right)=1$

• se $n_{0}>0$ diverge per $z=0$:

  $X\left(z\right)={\frac {1}{z^{n_{0}}}}$

• se $n_{0}<0$ diverge per $z\to +\infty$:

  $X\left(z\right)=z^{\left|n_{0}\right|}$

Sequenze unilatere e sequenze bilatere

La ricerca della regione di convergenza di $X\left(z\right)$ equivale alla ricerca della regione in cui la serie $x\left(n\right)\rho ^{-n}$ risulta assolutamente sommabile:

$\sum _{n=-\infty }^{+\infty }\left|x\left(n\right)\right|\rho ^{-n}=\overbrace {\sum _{n=-\infty }^{-1}\left|x\left(n\right)\right|\rho ^{-n}} ^{\text{anti-causale}}+\overbrace {\sum _{n=0}^{+\infty }\left|x\left(n\right)\right|\rho ^{-n}} ^{\text{causale}}=\sum _{n=1}^{+\infty }\left|x\left(-n\right)\right|\rho ^{n}+\sum _{n=0}^{+\infty }{\frac {\left|x\left(n\right)\right|}{\rho ^{n}}}$

• la parte anti-causale converge all'interno della circonferenza avente un raggio $\rho _{1}$ sufficientemente piccolo;
• la parte causale converge all'esterno di una circonferenza di raggio $\rho _{2}$ sufficientemente grande.

Sequenze unilatere anti-causali

La parte causale è nulla → la trasformata zeta $X\left(z\right)$ converge all'interno della circonferenza di raggio $\rho _{1}$:

Sequenze unilatere causali

La parte anti-causale è nulla → la trasformata zeta $X\left(z\right)$ converge all'esterno della circonferenza di raggio $\rho _{2}$:

Sequenze bilatere

Esistono sia la parte causale sia la parte anti-causale:

• se $\rho _{1}<\rho _{2}$, la trasformata zeta $X\left(z\right)$ non converge (l'intersezione tra le due regioni è nulla);
• se $\rho _{1}>\rho _{2}$, la trasformata zeta $X\left(z\right)$ converge nella corona circolare tra $\rho _{2}$ e $\rho _{1}$:

Regione di convergenza delle sequenze gradino

Il gradino e il gradino anti-causale hanno la stessa trasformata zeta:

$X\left(z\right)={\frac {1}{1-z^{-1}}}$

ma regioni di convergenza differenti:

• il gradino $u\left(n\right)$ converge all'esterno della circonferenza unitaria: $\left|z\right|>1$;

Calcoli

$X\left(z\right)=\sum _{n=-\infty }^{+\infty }u\left(n\right)z^{-n}=\sum _{n=0}^{+\infty }{\left(z^{-1}\right)}^{n}={\frac {1}{1-z^{-1}}}\quad \left|z^{-1}\right|<1$

• il gradino anti-causale $-u\left(-n-1\right)={\begin{cases}-1&n\leq -1\\0&n>-1\end{cases}}$ converge all'interno della circonferenza unitaria: $\left|z\right|<1$.

Calcoli

$X\left(z\right)=\sum _{n=-\infty }^{+\infty }\left[-u\left(-n-1\right)\right]z^{-n}=-\sum _{n=-\infty }^{-1}{\left(z^{-1}\right)}^{n}=-\sum _{m=1}^{+\infty }z^{m}=-\sum _{m=0}^{+\infty }z^{m}+1=-{\frac {1}{1-z}}+1=-{\frac {z}{1-z}}={\frac {1}{1-{z}^{-1}}}\quad \left|z\right|<1$

Regione di convergenza di sequenze a supporto finito

La trasformata zeta $X\left(z\right)$ di sequenze a supporto finito $\left[n_{1},n_{2}\right]$:

$X\left(z\right)=\sum _{k=n_{1}}^{n_{2}}x\left(k\right)z^{-k}$

Dimostrazione

$X\left(z\right)=\sum _{n-\infty }^{+\infty }x\left(n\right)z^{-n}=\sum _{n-\infty }^{+\infty }\sum _{k=n_{1}}^{n_{2}}x\left(k\right)\delta \left(n-k\right)z^{-n}=\sum _{k=n_{1}}^{n_{2}}x\left(k\right)\sum _{n=-\infty }^{+\infty }\delta \left(n-k\right)z^{-n}=\sum _{k=n_{1}}^{n_{2}}x\left(k\right)z^{-k}$

Sequenze unilatere causali ($n_{1}\geq 0$)

La trasformata zeta $X\left(z\right)$ converge in qualunque punto del piano complesso eccetto l'origine ($z=0$). La regione di convergenza è all'esterno di una circonferenza di raggio infinitesimo.

Sequenze unilatere anti-causali ($n_{2}<0$)

La trasformata zeta $X\left(z\right)$ converge in qualunque punto nel piano complesso eccetto l'infinito ($z\to \infty$). La regione di convergenza è all'interno di una circonferenza di raggio infinito.

Sequenze bilatere

La trasformata zeta $X\left(z\right)$ converge in qualunque punto nel piano complesso eccetto l'origine e l'infinito.

Regione di convergenza di sequenze con trasformata zeta espressa come rapporto di polinomi

Nella maggior parte dei casi la trasformata zeta è espressa come rapporto di polinomi:

$X\left(z\right)={\frac {N\left(z\right)}{D\left(z\right)}}={\frac {\sum _{i=0}^{p_{n}}b_{i}z^{-i}}{\sum _{i=0}^{p_{d}}a_{i}z^{-i}}}=z^{p_{d}-p_{n}}{\frac {\sum _{i=0}^{p_{n}}b_{i}z^{p_{n}-i}}{\sum _{i=0}^{p_{d}}a_{i}z^{p_{d}-i}}}={\frac {b_{0}}{a_{0}}}z^{p_{d}-p_{n}}{\frac {\prod _{i=1}^{p_{n}}z-c_{i}}{\prod _{i=1}^{p_{d}}z-d_{i}}}$

• le radici $c_{1},\ldots ,c_{p_{n}}$ del numeratore sono gli zeri di $X\left(z\right)$;
• le radici $d_{1},\ldots ,d_{p_{d}}$ del denominatore sono i poli di $X\left(z\right)$.

Sequenze unilatere causali

La trasformata zeta $X\left(z\right)$ converge all'esterno della circonferenza che racchiude tutti i poli, cioè tutti i poli devono stare all'interno della circonferenza di raggio pari al modulo del polo più vicino all'origine. La circonferenza esiste sempre perché non possono esistere poli per $z\to \infty$.

Sequenze unilatere anti-causali

La trasformata zeta $X\left(z\right)$ converge all'interno della circonferenza che esclude tutti i poli, cioè tutti i poli devono stare all'esterno della circonferenza di raggio pari al modulo del polo più distante dall'origine.

Sequenze bilatere

La trasformata zeta $X\left(z\right)$ converge nella corona circolare tra la circonferenza del polo più distante e quella del polo più vicino.

Proprietà della trasformata zeta

Proprietà della trasformata zeta

	Sequenza	Trasformata zeta	Regione di convergenza
Linearità	$a_{1}x\left(n\right)+a_{2}y\left(n\right)$	$a_{1}X\left(z\right)+a_{2}X\left(z\right)$	$R_{x}\cap R_{y}$
Ritardo nel tempo	$x\left(n-N\right)$	$z^{-N}X\left(z\right)$	$R_{x}-\left\{0\right\}$
Anticipo nel tempo	$x\left(n+N\right)$	$z^{N}X\left(z\right)$	$R_{x}\in \mathbb {R}$
Ribaltamento nel tempo	$x\left(-n\right)$	$X\left(z^{-1}\right)$	${\frac {1}{R_{x}}}$
Coniugazione complessa	$x^{*}\left(n\right)$	$X^{*}\left(z^{*}\right)$	$R_{x}$
Scalamento nel dominio trasformato	$a^{n}x\left(n\right)$	$X\left({\frac {z}{a}}\right)$	$\left|a\right|R_{x}$
Derivata nel dominio trasformato	$nx\left(n\right)$	$-z{\frac {d}{dz}}X\left(z\right)$	$R_{x}$
Convoluzione nel tempo	$x\left(n\right)*y\left(n\right)$	$X\left(z\right)Y\left(z\right)$	$R_{x}\cap R_{y}$
Parte reale	$\Re {\left\{x\left(n\right)\right\}}$	${\frac {1}{2}}\left[X\left(z\right)+X^{*}\left(z^{*}\right)\right]$	$R_{x}$
Parte immaginaria	$\Im {\left\{x\left(n\right)\right\}}$	${\frac {1}{2j}}\left[X\left(z\right)-X^{*}\left(z^{*}\right)\right]$	$R_{x}$
Sequenza cosinusoidale	$\cos \left(2\pi fn\right)x\left(n\right)$	${\frac {1}{2}}\left[X\left(ze^{j2\pi f}\right)+X\left(ze^{-j2\pi f}\right)\right]$	—
Sequenza sinusoidale	$\sin \left(2\pi fn\right)x\left(n\right)$	${\frac {j}{2}}\left[X\left(ze^{j2\pi f}\right)-X\left(ze^{-j2\pi f}\right)\right]$	—

Trasformata zeta unilatera

La trasformata zeta unilatera $X^{+}\left(z\right)$ è la trasformata della parte causale della sequenza $x\left(n\right)$:

$X^{+}\left(z\right)=\sum _{n=0}^{+\infty }x\left(n\right)z^{-n}$

Per le sequenze unilatere causali, la trasformata zeta $X\left(z\right)$ coincide con la trasformata zeta unilatera $X^{+}\left(z\right)$.

Proprietà di traslazione nel tempo per trasformate zeta unilatere

	Sequenza $y\left(n\right)$	Trasformata zeta $X^{+}\left(z\right)$
Ritardo nel tempo	$x\left(n-N\right)$	$z^{-N}\left[X^{+}\left(z\right)+\sum _{n=1}^{N}x\left(-n\right)z^{n}\right]$
Anticipo nel tempo	$x\left(n+N\right)$	$z^{N}\left[X^{+}\left(z\right)-\sum _{n=0}^{N}x\left(n\right)z^{-n}\right]$

Dimostrazione proprietà di ritardo

$\sum _{n=0}^{+\infty }x\left(n-N\right)z^{-N}=\sum _{m=-N}^{+\infty }x\left(m\right)z^{-m-N}=z^{-N}\left[\sum _{m=-N}^{-1}x\left(m\right)z^{-m}+\sum _{m=0}^{+\infty }x\left(m\right)z^{-m}\right]=z^{-N}\left[X^{+}\left(z\right)+\sum _{n=1}^{N}x\left(-n\right)z^{n}\right]$

Dimostrazione proprietà di anticipo

$\sum _{n=0}^{+\infty }x\left(n+N\right)z^{-n}=\sum _{m=N}^{+\infty }x\left(m\right)z^{-m+N}=z^{N}\left[\sum _{m=0}^{+\infty }x\left(m\right)z^{-m}-\sum _{m=0}^{N-1}x\left(m\right)z^{-m}\right]=z^{N}\left[X^{+}\left(z\right)-\sum _{n=0}^{N}x\left(n\right)z^{-n}\right]$

Teorema del valore iniziale

Se $x\left(n\right)$ è una sequenza causale:

$\lim _{z\to +\infty }X\left(z\right)=x\left(0\right)$

Dimostrazione

$\lim _{z\to +\infty }X\left(z\right)=\lim _{z\to +\infty }\left[x\left(0\right)+\underbrace {x\left(1\right)} _{=0}z^{-1}+\underbrace {x\left(2\right)} _{=0}z^{-2}+\ldots \right]$

Trasformata zeta di sequenze elementari

Sequenza $x\left(n\right)$	Trasformata zeta $X\left(z\right)$	Regione di convergenza	Poli e zeri
$\delta \left(n\right)$	$1$	$\forall z$
$\delta \left(n-N\right),\;N>0$	$z^{-N}$	$z\neq 0$
$\delta \left(n+N\right),\;N>0$	$z^{N}$	$z\in \mathbb {R}$
$a^{n}u\left(n\right)$	${\frac {1}{1-az^{-1}}}$	$\left|z\right|>\left|a\right|$	$z=a$: polo
$-a^{n}u\left(-n-1\right)$	${\frac {1}{1-az^{-1}}}$	$\left|z\right|<\left|a\right|$
$na^{n}u\left(n\right)$	${\frac {az^{-1}}{{\left(1-az^{-1}\right)}^{2}}}$	$\left|z\right|>\left|a\right|$
$na^{n-1}u\left(n\right)$	${\frac {z^{-1}}{{\left(1-az^{-1}\right)}^{2}}}$	$\left|z\right|>\left|a\right|$
$\left(n-1\right)a^{n}u\left(n\right)$	${\frac {2az^{-1}-1}{{\left(1-az^{-1}\right)}^{2}}}$	$\left|z\right|>\left|a\right|$
$n^{2}a^{n}u\left(n\right)$	${\frac {az^{-1}\left(1+az^{-1}\right)}{{\left(1-az^{-1}\right)}^{3}}}$	$\left|z\right|>\left|a\right|$
$-na^{n}u\left(-n-1\right)$	${\frac {az^{-1}}{{\left(1-az^{-1}\right)}^{2}}}$	$\left|z\right|<\left|a\right|$
$a^{n}\sin {\left(\omega _{0}n\right)}u\left(n\right)$	${\frac {a\sin {\omega _{0}}z^{-1}}{1-2a\cos {\omega _{0}}z^{-1}+a^{2}z^{-2}}}$	$\left|z\right|>a$	$z=0$: zero $z=ae^{j\omega _{0}}$: polo $z=ae^{-j\omega _{0}}$: polo
$a^{n}\cos {\left(\omega _{0}n\right)}u\left(n\right)$	${\frac {1-a\cos {\omega _{0}}z^{-1}}{1-2a\cos {\omega _{0}}z^{-1}+a^{2}z^{-2}}}$	$\left|z\right|>a$	$z=a\cos {\omega _{0}}$: zero $z=ae^{j\omega _{0}}$: polo $z=ae^{-j\omega _{0}}$: polo
$a^{n}\left[u\left(n\right)-u\left(n-N\right)\right]$	${\frac {1-a^{N}z^{-N}}{1-az^{-1}}}$	$\left|z\right|>0$

Inversione della trasformata zeta

L'antitrasformata zeta è definita attraverso un integrale di circuitazione:

$x\left(n\right)={\frac {1}{j2\pi }}\oint _{\gamma }X\left(z\right)z^{n-1}dz$

dove $\gamma$ è una curva di Jordan:

• percorsa in senso antiorario;
• appartenente alla regione di convergenza della trasformata zeta $X\left(z\right)$;
• comprendente l'origine;
• comprendente $N_{p}$ poli della funzione $X\left(z\right)z^{n-1}$.

Dimostrazione

$X\left(z\right)=\sum _{n=-\infty }^{+\infty }x\left(n\right)z^{-n};\;{\frac {1}{j2\pi }}\oint _{\gamma }X\left(z\right)z^{n-1}dz={\frac {1}{j2\pi }}\oint _{\gamma }\sum _{k=-\infty }^{+\infty }x\left(k\right)z^{-k}z^{n-1}dz={\frac {1}{j2\pi }}\sum _{n=-\infty }^{+\infty }x\left(k\right)\oint _{\gamma }z^{n-k-1}dz=$

Per il teorema di Cauchy:

${\frac {1}{j2\pi }}\otimes _{\gamma }z^{n-1}dz=\delta \left(n\right)\Rightarrow =\sum _{n=-\infty }^{+\infty }x\left(k\right)\delta \left(n-k\right)=x\left(n\right)$

Per il teorema dei residui, l'integrale di linea si può esprimere come somma dei residui dovuti agli $N_{p}$ poli:

$x\left(n\right)={\frac {1}{j2\pi }}\oint _{\gamma }X\left(z\right)z^{n-1}dz=\sum _{i=1}^{N_{p}}{\text{Res}}_{X\left(z\right)z^{n-1}}\left({z_{0}}_{i}\right)$