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Integrazione per scomposizione [ modifica ] Si usa quando si deve integrare un rapporto di polinomi, cioè una funzione
f
(
x
)
=
P
(
x
)
D
(
x
)
{\displaystyle f(x)={\frac {P(x)}{D(x)}}}
Grado
P
(
x
)
{\displaystyle P(x)}
D
(
x
)
{\displaystyle D(x)}
[ modifica ] Si ha un integrale tipo
∫
3
x
−
4
x
2
−
6
x
+
8
d
x
{\displaystyle \int {\frac {3x-4}{x^{2}-6x+8}}dx}
Trovare le radici del denominatore (che sono 2 e 4) ed esprimerlo come
(
x
−
2
)
(
x
−
4
)
{\displaystyle (x-2)(x-4)}
∫
3
x
−
4
(
x
−
2
)
(
x
−
4
)
d
x
=
∫
a
x
−
2
+
b
x
−
4
d
x
{\displaystyle \int {\frac {3x-4}{(x-2)(x-4)}}dx=\int {\frac {a}{x-2}}+{\frac {b}{x-4}}dx}
a
{\displaystyle a}
b
{\displaystyle b}
Calcolare
a
{\displaystyle a}
b
{\displaystyle b}
a
(
x
−
4
)
+
b
(
x
−
2
)
(
x
−
2
)
(
x
−
4
)
=
a
x
−
4
a
+
b
x
−
2
b
(
x
−
2
)
(
x
−
4
)
{\displaystyle {\frac {a(x-4)+b(x-2)}{(x-2)(x-4)}}={\frac {ax-4a+bx-2b}{(x-2)(x-4)}}}
x
{\displaystyle x}
x
(
a
+
b
)
−
4
a
−
2
b
(
x
−
2
)
(
x
−
4
)
{\displaystyle {\frac {x(a+b)-4a-2b}{(x-2)(x-4)}}}
Siccome il coefficiente di
x
1
{\displaystyle x^{1}}
a
+
b
=
3
{\displaystyle a+b=3}
−
4
{\displaystyle -4}
−
4
a
−
2
b
=
−
4
{\displaystyle -4a-2b=-4}
{
a
+
b
=
3
−
4
a
−
2
b
=
−
4
{\displaystyle {\begin{cases}a+b=3\\-4a-2b=-4\end{cases}}}
{
a
=
−
1
b
=
4
{\displaystyle {\begin{cases}a=-1\\b=4\end{cases}}}
Risolvere infine l'integrale equivalente
∫
−
1
x
−
2
d
x
+
∫
4
x
−
4
d
x
=
−
∫
1
x
−
2
d
x
+
4
∫
1
x
−
4
d
x
{\displaystyle \int {\frac {-1}{x-2}}dx+\int {\frac {4}{x-4}}dx=-\int {\frac {1}{x-2}}dx+4\int {\frac {1}{x-4}}dx}
[1]
−
ln
|
x
−
2
|
+
4
ln
|
x
−
4
|
{\displaystyle -\ln |x-2|+4\ln |x-4|}
[2] Grado
P
(
x
)
{\displaystyle P(x)}
D
(
x
)
{\displaystyle D(x)}
[ modifica ] Risolvere
∫
x
5
−
3
x
4
+
x
+
3
x
2
−
1
d
x
{\displaystyle \int {\frac {x^{5}-3x^{4}+x+3}{x^{2}-1}}dx}
L'obiettivo è rappresentare la frazione nella forma
Q
(
x
)
D
(
x
)
+
R
(
x
)
D
(
x
)
=
Q
(
x
)
D
(
x
)
D
(
x
)
+
R
(
x
)
D
(
x
)
=
Q
(
x
)
+
R
(
x
)
D
(
x
)
{\displaystyle {\frac {Q(x)D(x)+R(x)}{D(x)}}={\frac {Q(x)D(x)}{D(x)}}+{\frac {R(x)}{D(x)}}=Q(x)+{\frac {R(x)}{D(x)}}}
Q
(
x
)
{\displaystyle Q(x)}
Facciamo la divisione tra polinomi per trovare
Q
(
x
)
{\displaystyle Q(x)}
Q
(
x
)
=
x
3
−
3
x
2
+
x
−
3
{\displaystyle Q(x)=x^{3}-3x^{2}+x-3}
R
(
x
)
=
2
x
{\displaystyle R(x)=2x}
∫
x
3
−
3
x
2
+
x
−
3
d
x
+
2
∫
x
x
2
−
1
d
x
{\displaystyle \int x^{3}-3x^{2}+x-3dx+2\int {\frac {x}{x^{2}-1}}dx}
Il primo integrale è elementare. Il secondo è della forma
f
′
(
x
)
f
(
x
)
{\displaystyle {\frac {f'(x)}{f(x)}}}
ln
(
x
2
−
1
)
{\displaystyle \ln(x^{2}-1)}
Risolviamo anche il primo integrale
∫
x
3
−
3
x
2
+
x
−
3
d
x
+
ln
(
x
2
−
1
)
=
x
4
4
−
x
3
+
x
2
2
−
3
x
+
ln
(
x
2
−
1
)
{\displaystyle \int x^{3}-3x^{2}+x-3dx+\ln(x^{2}-1)={\frac {x^{4}}{4}}-x^{3}+{\frac {x^{2}}{2}}-3x+\ln(x^{2}-1)}
Integrazione per sostituzione [ modifica ]
Si usa per risolvere integrali della forma
∫
g
(
f
(
x
)
)
d
x
{\displaystyle \int g\left(f(x)\right)dx}
Porre
f
(
x
)
=
u
{\displaystyle f(x)=u}
x
=
μ
(
u
)
{\displaystyle x=\mu (u)}
d
x
=
μ
′
(
u
)
d
u
{\displaystyle dx=\mu '(u)du}
riscrivere l'integrale come
∫
g
(
u
)
μ
′
(
u
)
d
u
{\displaystyle \int g(u)\mu '(u)du}
trovata la soluzione, riscrivere tutto in funzione di
x
{\displaystyle x}
Integrazione per parti [ modifica ] Per risolvere integrali della forma
∫
f
(
x
)
g
(
x
)
d
x
{\displaystyle \int f(x)g(x)dx}
∫
f
(
x
)
g
(
x
)
d
x
=
∫
Φ
(
x
)
d
x
Γ
(
x
)
−
∫
(
∫
Φ
(
x
)
Γ
′
(
x
)
d
x
)
d
x
{\displaystyle \int f(x)g(x)dx=\int \Phi (x)dx\Gamma (x)-\int \left(\int \Phi (x)\Gamma '(x)dx\right)dx}
dove
Φ
(
x
)
{\displaystyle \Phi (x)}
Γ
(
x
)
{\displaystyle \Gamma (x)}
↑ E' della forma
∫
f
′
(
x
)
f
(
x
)
d
x
=
ln
|
f
(
x
)
|
{\displaystyle \int {\frac {f'(x)}{f(x)}}dx=\ln |f(x)|}
↑ Si noti che per il secondo addendo non sarebbe necessario il valore assoluto poiché
4
ln
|
x
−
4
|
=
ln
(
x
−
4
)
4
{\displaystyle 4\ln |x-4|=\ln(x-4)^{4}}
