Geometria per le medie inferiori/Teorema di Pitagora

Un triangolo rettangolo, ossia con un angolo di 90°, ha una denominazione dei lati particolare: I due lati che formano l'angolo retto vengono detti cateti; il restante è l'ipotenusa

$i^{2}=a^{2}+b^{2}$

ovvero

$i={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}$

Da questo teorema si può anche dire che:

$a^{2}=c^{2}-b^{2}$

$b^{2}=c^{2}-a^{2}$

Inoltre, se gli angoli sono noti, il teorema di Pitagora si può scrivere in modi più semplici, perché dagli angoli si calcolano i rapporti tra i cateti.

Angoli di 45°

Un triangolo rettangolo isoscele che ha gli angoli di 90, 45 e 45 gradi (la somma degli angoli interni di un triangolo è infatti 180°) è un caso particolare.

La sua area è pari alla metà di un quadrato avente per lato un cateto. Si tratta, quindi, di un triangolo rettangolo con i cateti uguali. Applicando il teorema di Pitagora per calcolare l'ipotenusa, si ottiene:

$d={\sqrt {l^{2}+l^{2}}}={\sqrt {2l^{2}}}={\sqrt {2}}\times {\sqrt {l^{2}}}={\sqrt {2}}\times l$

Angoli di 30° e 60°

Un triangolo rettangolo che ha gli angoli di 90, 30 e 60 gradi è un altro caso particolare.

Questo triangolo è la metà di un triangolo equilatero avente per lato l'ipotenusa, quindi

• un cateto è lungo quanto la metà dell'ipotenusa, perché è metà della base del triangolo equilatero;
• l'altro cateto è l'altezza del triangolo equilatero.

Identificando con l l'ipotenusa e con h il cateto che forma l'angolo di 30°, possiamo dire che:

$h={\sqrt {l^{2}-\left({\frac {l}{2}}\right)^{2}}}={\sqrt {l^{2}-{\frac {l^{2}}{4}}}}={\sqrt {\frac {4l^{2}-l^{2}}{4}}}={\sqrt {\frac {3l^{2}}{4}}}={\frac {{\sqrt {3}}\times {\sqrt {l^{2}}}}{\sqrt {4}}}={\frac {l}{2}}\times {\sqrt {3}}$

$l={\frac {2h}{\sqrt {3}}}$

Terne pitagoriche

Tre numeri che soddisfano la relazione del teorema di Pitagora sono detti terna pitagorica.

Avendo tre numeri si può verificare se abbiamo davanti una terna pitagorica:

1. Mettere i numeri in ordine crescente
2. Scrivere sotto al primo e al secondo numero i rispettivi quadrati
3. Sommare i due numeri ottenuti.

Se il quadrato del terzo numero della potenziale terna è uguale al numero ottenuto dal procedimento qui sopra, abbiamo una terna pitagorica.