Algoritmi/La ricorsione

• ricorsione diretta: nella definizione di una procedura si richiama la procedura stessa
• ricorsione indiretta: nella definizione di una procedura si richiama una o più procedure che richiamano la procedura stessa

Si rompe ricorsivamente un problema in analoghi sottoproblemi più semplici, fino a quando non si arriva alla soluzione di un problema elementare: 6. Il paradigma "divide et impera".

Non è una definizione circolare (all'infinito), ma c'è la condizione di terminazione (ricorsione finita).

Esempi

Fattoriale

La definizione stessa di fattoriale è di tipo ricorsivo.

A ogni passo si genera un unico sottoproblema anziché due → non sarà un albero binario completo.

Numeri di Fibonacci

Un numero di Fibonacci FIB_{n + 1} è la somma dei due che lo precedono nell'ordinamento: FIB_{n − 1} e FIB_n.

La ratio aurea è il rapporto tra un segmento maggiore $a$ e uno minore $b$: $\varphi ={\tfrac {a}{b}}$. Il segmento maggiore $a$ è il medio proporzionale tra il minore $b$ e la somma dei due:

$\left(a+b\right):a=a:b;\;{\frac {\varphi +1}{\varphi }}=\varphi ;\;{\varphi }^{2}-\varphi -1=0;\;\varphi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\vee \varphi '={\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}$

Ogni numero di Fibonacci ha la seguente relazione con la ratio aurea $\varphi$:

FIB_n = ${\frac {{\varphi }^{n}-{\varphi '}^{n}}{\sqrt {5}}}$

La ricorsione non procede in modo parallelo per livelli dell'albero, ma è un'analisi in profondità dell'albero della ricorsione, ovvero si segue ogni cammino fino alla foglia = soluzione elementare.

Algoritmo di Euclide

Dati m e n, permette di calcolare il Massimo Comun Divisore:

• se m > n → MCD(m, n) = MCD(n, m mod n)
• condizione di terminazione: se n = 0 ritorna m

Valutazione di espressione in forma prefissa

Per approfondire su Wikipedia, vedi la voce Notazione polacca.

Ponendo per semplicità di trattare solo con operandi di somma e prodotto di arità 2, una espressione può essere definita ricorsivamente in funzione di se stessa: , con condizione di terminazione: l'espressione è uno degli operandi.

Inserendo l'espressione in un vettore , a ogni passo si valuta a[i]:

• se a[i] è un operatore, valuta l'espressione a destra dell'operatore;
• condizione di terminazione: se a[i] è un numero, ritornalo.

Ricerca binaria

Si considera a ogni passo della ricorsione un sottovettore di metà dimensione, anch'esso ordinato.

Ricerca del massimo di un vettore

A ogni passo, si suddivide il vettore in due sottovettori, si recupera il massimo di ciascun sottovettore, e si confrontano i risultati. Si termina quando il sottovettore ha un solo elemento.

Moltiplicazione rapida di 2 interi

1º modo) Seguo la definizione ricorsiva: ${\begin{cases}x\cdot y=x+x\cdot \left(y-1\right)\\x\cdot 1=x\end{cases}}$

2º modo) Si assume:

• si sa calcolare il prodotto solo di cifre decimali (come se si avessero solo le tavole pitagoriche);
• per semplicità che x e y abbiano x = 2^k cifre.

Si divide x in due sottovettori x_s e x_d di metà dimensione, e così pure y in y_s e y_d → ${\begin{cases}x=x_{s}\cdot {10}^{n \over 2}+x_{d}\\y=y_{s}\cdot {10}^{n \over 2}+y_{d}\end{cases}}$

$x\cdot y=\left(x_{s}\cdot {10}^{n \over 2}+x_{d}\right)\cdot \left(y_{s}\cdot {10}^{n \over 2}+y_{d}\right)=x_{s}\cdot y_{s}\cdot {10}^{n}+x_{s}\cdot y_{d}\cdot {10}^{n \over 2}+x_{d}\cdot y_{s}\cdot {10}^{n \over 2}+x_{d}\cdot y_{d}$

Si continua a suddividere ciascun sottovettore fino alla condizione di terminazione: i fattori hanno una sola cifra.

A ogni passo, si generano 4 sottoproblemi di dimensione metà → si richiama per 4 volte l'operazione di moltiplicazione.

Moltiplicazione rapida di 2 interi ottimizzata

Il numero di moltiplicazioni richiamate a ogni passo si riduce a 3:

$x_{s}\cdot y_{d}+x_{d}\cdot y_{s}=x_{s}\cdot y_{s}+x_{d}\cdot y_{d}-\left(x_{s}-x_{d}\right)\cdot \left(y_{s}-y_{d}\right)$

Liste

Definizioni

sequenza lineare = insieme finito di elementi, ciascuno associato a un indice univoco, in cui conta la posizione reciproca tra di essi (cioè ogni elemento ha un successore e un predecessore).

1. accesso diretto: (implementazione tramite vettore) locazioni di memoria contigue accessibili tramite indice → complessità $O\left(1\right)$;
2. accesso sequenziale: l'accesso a un certo elemento necessita della scansione sequenziale della lista a partire dal primo elemento → complessità $O\left(n\right)$.

Una lista è una sequenza lineare ad accesso sequenziale. La lista è un concetto astratto, e si può implementare in C:

• tramite un vettore: lo posso usare anche per dati in locazioni di memoria non contigue;
• tramite un sistema a puntatori : in questo caso la lista si dice concatenata.

lista concatenata = insieme di elementi dello stesso tipo (dati), memorizzati in modo non contiguo (nodi, implementati tramite struct), accessibili mediante riferimento (link → puntatori) al successore/precedente. La memoria viene allocata e liberata dinamicamente per ogni nodo (→ i dati possono teoricamente essere infiniti), ma l'accesso non è diretto.

Classificazione

• ordinata / non ordinata
• circolare / con testa e coda
• singolo-linkata / doppio-linkata (senza/con link a successore)

Ricorsione

Definizione ricorsiva: Una lista è un elemento seguito da una lista. Funzioni:

• conteggio: a ogni passo: 1 + numero degli elementi della sottolista considerata a partire dal successore;
• attraversamento: elenca gli elementi in una lista con una strategia (ordine) predefinita di percorrimento;
• eliminazione di un elemento.

Non sempre la soluzione ricorsiva è più efficiente di quella iterativa.