Calcolo differenziale/Funzioni su R - ordini successivi

Second'ordine

Differenziale e derivata secondi

L'incremento della funzione f in un intorno del punto $x_{0}$ relativo ad un incremento $\Delta x$ dell'argomento, cioè $\Delta f(x_{0},\Delta x)$, descrive la variazione della funzione quando si tenga fisso il punto $x_{0}$ e si faccia variare l'argomento della funzione $x=x_{0}+\Delta x$ in un suo intorno. Un problema affatto diverso si pone se si vuole incrementare di un valore $\Delta x'$ la posizione del punto $x_{0}$ spostando il punto fisso in $x'_{0}=x_{0}+\Delta x'$, per poi far variare l'argomento della funzione in un intorno di questo punto, in modo tale che sia $x=x'_{0}+\Delta x=x_{0}+\Delta x'+\Delta x$. Questo comporta una stima dell'incremento $\Delta f(x_{0}+\Delta x',\Delta x)$, la cui parte lineare in $\Delta x$ è per definizione il differenziale della funzione nel punto $x'_{0}=x_{0}+\Delta x'$:

$\Delta f(x_{0}+\Delta x',\Delta x)=df(x_{0}+\Delta x')(\Delta x)+o(|\Delta x|)\;$

Inoltre il differenziale calcolato in un punto e applicato ad un certo incremento è pari al prodotto della derivata calcolata in quel punto per l'incremento, per cui:

$df(x_{0}+\Delta x')(\Delta x)=Df(x_{0}+\Delta x')\Delta x\;$

Ora, per definizione la parte lineare dello sviluppo di una funzione (o di un funzionale) è il differenziale della funzione (o del funzionale), e questo vale anche per il differenziale e la derivata, il cui sviluppo avrà una parte lineare espressa, rispettivamente, dal differenziale del differenziale e da quello della derivata:

$df(x_{0}+\Delta x')=df(x_{0})+d(df)(x_{0})(\Delta x')+o(|\Delta x'|)\;$

$Df(x_{0}+\Delta x')=D(x_{0})+d(Df)(x_{0})(\Delta x')+o(|\Delta x'|)\;$

D'altra parte Df è una funzione, e per definizione il differenziale di una funzione applicato ad un certo incremento è uguale alla derivata della funzione moltiplicata per l'incremento. Lo sviluppo della derivata può dunque essere riscritto così:

$Df(x_{0}+\Delta x')=D(x_{0})+D(Df)(x_{0})\Delta x'+o(|\Delta x'|)\;$

In queste equazioni compaiono il differenziale del differenziale e la derivata della derivata, i quali vengono detti, rispettivamente, differenziale secondo e derivata seconda, e si scrivono anche così:

$D^{2}f:=D(Df)\;$

$d(df):=d^{2}f\;$

Con queste notazioni si ha:

$d^{2}f(x_{0})(\Delta x')(\Delta x)=D^{2}f(x_{0})\Delta x'\Delta x\;$

È importante osservare che mentre $df(x_{0})$ è una funzione da applicare all'incremento $\Delta x$ ottenendo un valore, $d^{2}f(x_{0})$ è invece un funzionale che ad ogni incremento $\Delta x'$ fissato associa una funzione da applicare all'incremento $\Delta x$. Ma questo funzionale, che deve essere applicato all'incremento $\Delta x'$ per ottenere una funzione lineare da applicare all'incremento $\Delta x$, può anche essere considerato come l'applicazione parziale di un funzionale bilineare nei due argomenti $\Delta x'$ e $\Delta x$, per cui si può ridefinire il differenziale secondo nel modo seguente:

$d^{2}f(x_{0})(\Delta x')(\Delta x):=d^{2}f(x_{0})(\Delta x,\Delta x')\;$

Relazione con la parte quadratica dello sviluppo della funzione

Il differenziale tout court, che si può anche definire differenziale primo, coincide per definizione con la parte lineare dell'incremento della funzione. A partire dal differenziale primo si può poi calcolare il differenziale secondo come pure quelli successivi, e allo stesso tempo i termini successivi dello sviluppo dell'incremento restano definiti dallo sviluppo asintotico. Dal momento che si dispone già di due definizioni indipendenti per il differenziale secondo e per il secondo termine dello sviluppo asintotico dell'incremento della funzione, in questo caso non si può imporre alcuna relazione per definizione, ma occorre andare a vedere se eventualmente tali relazioni vi siano. A questo scopo si può supporre che la funzione e quindi il suo incremento siano sviluppabili fino al termine quadratico sia in $x_{0}$ sia in $x_{0}+\Delta x'$.

Lo sviluppo fino al secondo ordine in $\Delta x'$ della funzione f in un intorno di $x_{0}$ è:

$f(x_{0}+\Delta x')=f(x_{0})+df(x_{0})\Delta x'+a_{2}(x_{0})\Delta x'^{2}+o(|\Delta x'|^{2})\;$

Mentre una stima di $f(x_{0}+\Delta x')$ può essere ottenuta solo sviluppando la funzione in un intorno di $x_{0}$, una stima di $f(x_{0}+\Delta x'+\Delta x)$ può essere invece ottenuta in due modi diversi, a seconda di come si volgliono considerare i due incrementi $\Delta x'$ e $\Delta x$:

1. come una semplice somma di incrementi, per cui l'incremento della funzione può essere calcolato per un incremento $\Delta x'+\Delta x$ a partire da $x_{0}$:

   $f(x_{0}+(\Delta x'+\Delta x))=f(x_{0})+df(x_{0})(\Delta x'+\Delta x)+a_{2}(x_{0})(\Delta x'+\Delta x)^{2}+o(|\Delta x'+\Delta x|^{2})\;$

2. come una composizione di incrementi, per cui $\Delta x$ viene considerato un incremento a partire dal punto $x'_{0}=x_{0}+\Delta x'$:

   ${\begin{aligned}f((x_{0}+\Delta x')+\Delta x)&=f(x_{0}+\Delta x')+df(x_{0}+\Delta x')(\Delta x)+a_{2}(x_{0}+\Delta x')\Delta x^{2}+o(|\Delta x|^{2})=\\&=f(x_{0})+df(x_{0})(\Delta x')+a_{2}(x_{0})\Delta x'^{2}+o(|\Delta x'|^{2})+\\&+df(x_{0})(\Delta x)+d^{2}f(x_{0})(\Delta x',\Delta x)+o(|\Delta x'||\Delta x|)+\\&+a_{2}(x_{0}+\Delta x')\Delta x^{2}+o(|\Delta x|^{2})\end{aligned}}$

Poiché i due sviluppi devono essere uguali, devono essere uguali anche i termini dello stesso ordine in $\Delta x'$ e $\Delta x$. Dal confronto di tutti i singoli termini si vede che:

$d^{2}f(x_{0})(\Delta x',\Delta x)=2a_{2}(x_{0})\Delta x'\Delta x\;$

per cui se si prende $\Delta x=\Delta x'$ si ottiene la relazione fra il differenziale secondo è il termine quadratico dello sviluppo della $f(x_{0}+\Delta x)$:

$d^{2}f(x_{0})(\Delta x,\Delta x)=2a_{2}(x_{0})\Delta x^{2}\;$

che per la derivata seconda diventa:

$D^{2}f(x_{0})=2a_{2}(x_{0})\;$

Ordine qualunque

Differenziale e derivata di ordine qualunque

Il differenziale di ordine k calcolato nel punto $x_{0}$ è una funzione k-lineare nei suoi argomenti $(\Delta x_{1},\cdots ,\Delta x_{k})\in R^{k}$ e tale che come funzione lineare del suo k-mo argomento esso risulti pari alla parte lineare della variazione del differenziale (k-1)-mo rispetto ad una variazione del suo punto di applicazione:

$d^{k-1}f(x_{0}+\Delta x_{k})(\Delta x_{1},\cdots ,\Delta x_{k-1})=d^{k-1}f(x_{0})(\Delta x_{1},\cdots ,\Delta x_{k-1})+d^{k}f(x_{0})(\Delta x_{1},\cdots ,\Delta x_{k-1},\Delta x_{k})+o(|\Delta x_{k}|)\;$

La derivata k-ma nel punto $x_{0}$ è invece il coefficiente della parte lineare della variazione della derivata (k-1)-ma:

$D^{k-1}f(x_{0}+\Delta x)=D^{k-1}f(x_{0})+D^{k}f(x_{0})\Delta x+o(|\Delta x|)\;$

Relazione con i termini dello sviluppo in serie di potenze

In genere se la funzione f può essere sviluppata fino al grado n-mo in un intorno di $x_{0}$:

$f(x_{0}+\Delta x)=f(x_{0})+\sum _{k=1}^{n}{a_{k}(x_{0})\Delta x^{k}}+o(|\Delta x|^{n})$

allora la funzione f risulta differenziabile e derivabile fino al grado n-mo.

Procendendo in modo analogo a quello seguito per il second'ordine si dimostra che:

$d^{k}f(x_{0})(\Delta x_{1},\cdots ,\Delta x_{k})=D^{k}f(x_{0})\Delta x_{1}\cdot \cdots \ \cdot \Delta x_{k}$

e che:

$D^{k}f(x_{0})=k!\,a_{k}(x_{0})\;$

Relazioni funzionali, operatori differenziali e notazione di Leibniz

Poiché il differenziale k-mo è una funzione k-lineare definita su $\mathbb {R} ^{k}$ in una relazione funzionale dovranno comparire dei funzionali k-lineari su $\mathbb {R} ^{k}$. Dal momento che dx coincide con l'identità su $\mathbb {R}$, il prodotto tensoriale di dx con se stesso per k volte è una funzione k-lineare tale che:

$dx^{\otimes k}(\Delta x_{1},\cdots ,\Delta x_{k}):=dx\otimes \cdots \otimes dx(\Delta x_{1},\cdots ,\Delta x_{k})=\Delta x_{1}\cdot \cdots \cdot \Delta x_{k}$

Si ha quindi:

$d^{k}f(x_{0})(\Delta x_{1},\cdots ,\Delta x_{k})=D^{k}(x_{0})dx^{\otimes k}(\Delta x_{1},\cdots ,\Delta x_{k})$

che può essere riscritta come equazione funzionale recuperando la notazione di Leibniz:

$d^{k}f(x_{0})=D^{k}(x_{0})dx^{\otimes k}$

Poiché le due funzioni k-lineari $d^{k}f(x_{0})$ e $dx^{\otimes k}$ sono proporizionali fra di loro a meno della costante $D^{k}(x_{0})$, tale costante può anche essere espressa formalmente come "rapporto" fra le due funzioni:

$D^{k}f(x_{0})={\frac {d^{k}f(x_{0})}{dx^{\otimes k}}}$

Dal punto di vista operatoriale si può definire l'operatore:

${\frac {d^{k}}{dx^{\otimes k}}}:=\left({\frac {d}{dx}}\right)^{k}$

tale che:

$D^{k}f={\frac {d^{k}}{dx^{\otimes k}}}f$