Calcolo differenziale/Componenti

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Indice

[modifica] Differenziali e derivate del prim'ordine

[modifica] Gradiente e derivata direzionale delle funzioni scalari - Operatori differenziali

Tutti gli operatori differenziali vettoriali sono stati ricondotti a delle combinazioni algebriche dell'operatore differenziale vettoriale contrassegnato con il simbolo nabla, \nabla, per cui la determinazione delle componenti degli operatori differenziali richiede la determinazione delle componenti di questo operatore. D'altra parte tale operatore nel caso delle funzioni scalari coincide con la derivata, per cui la determinazione delle sue componenti può essere fatta a partire dalla determinazione delle componenti della derivata di una funzione scalare.

Se (\mathbf e_i)_{i=1,n} è una base dello spazio V su cui sono definite le funzioni da differenziare, la i-ma componente covariante di \nabla rispetto a tale base è un operatore differenziale scalare \nabla_i tale che per ogni funzione scalare f si abbia:

\nabla_i f = <\mathbf e_i,\nabla>f

Per determinare tale operatore differenziale è sufficiente considerare che dato un generico vettore \mathbf v allora, posto:

\mathbf x = \mathbf h(\Delta v) := \mathbf x_0 + \Delta v \mathbf v

la derivata direzionale di f in direzione \mathbf v è:

D_{\mathbf v} f = \frac{\partial}{\partial v}f = \frac{d}{dv}(f \circ \mathbf h) = <\mathbf v, \nabla>f

Nel caso in cui sia \mathbf v = \mathbf e_i, la variazione Δv è la variazione della i-ma componente dell'argomento \mathbf x rispetto alla base:

\mathbf x = \mathbf h(\Delta v) := \mathbf x_0 + \Delta x^i \mathbf e_i

per cui si ottiene:

D_{\mathbf e_i} f = \nabla_i f = <\mathbf e_i, \nabla f> = \frac{\partial}{\partial x^i}f

la quale corrisponde alla seguente relazione operatoriale:

\nabla_i = <\mathbf e_i, \nabla> = \frac{\partial}{\partial x^i}

Tornando alla derivata direzionale, si ha in genere:

<\mathbf v, \nabla f> = \sum_{i=1}^n v^i<\mathbf e_i, \nabla f> = \sum_{i=1}^n v^i \nabla_i f

che in forma operatoriale diventa:

<\mathbf v, \nabla> = \sum_{i=1}^n v^i<\mathbf e_i, \nabla> = \sum_{i=1}^n v^i \nabla_i

oppure, in notazione di Leibniz:

\frac{\partial}{\partial v} = \sum_{i=1}^n v^i \frac{\partial}{\partial x^i}

[modifica] Jacobiano delle funzioni vettoriali

Poiché lo jacobiano di \mathbf f : V \to W è un operatore lineare da V a W, ed è associato ad un tensore di rango (1,1), le sue componenti hanno due indici: uno per la i-ma componente del trasformato e uno per la j-ma componente dell'argomento:

(D\mathbf f)_i^j = <D\mathbf f, \mathbf e^j \otimes \mathbf e_i> = <(\nabla \otimes \mathbf f)^T, \mathbf e^j \otimes \mathbf e_i> = <\nabla, \mathbf e_i><\mathbf f,\mathbf e^j>

da cui:

(D\mathbf f)_i^j := (J\mathbf f)_i^j = \nabla_i f^j

ovvero, in notazione di Leibniz:

\left ( \frac{d \mathbf f}{d \mathbf x} \right )_i^j = \frac{\partial f^j}{\partial x^i}

[modifica] Differenziale

Il differenziale è un operatore scalare:

d = <d\mathbf x, \nabla> = \left \langle d\mathbf x, \frac{d}{d \mathbf x} \right \rangle

Qui d\mathbf x è il differenziale dell'indentità calcolato in punto generico, che coincide con l'identità stessa, per cui la sua i-ma componente controvariante è una applicazione che ad ogni vettore associa la sua i-ma componente controvariante:

dx^i(\Delta \mathbf x) = <e^i,d\mathbf x(\Delta \mathbf x)> = <e^i, \Delta \mathbf x> = \Delta x^i

da cui si vede che la i-ma componente controvariante di d \mathbf x è l'i-mo termine della base duale:

dx^i = <e^i,d\mathbf x> = e^i

Avendo definito dxi si può sviluppare il prodotto scalare nelle componenti dei fattori:

d = \sum_{i=1}^n {dx^i \nabla_i} = \sum_{i=1}^n {dx^i \frac{\partial}{\partial x^i}}

[modifica] Differenziali e derivate di ordine superiore

[modifica] Derivate e operatori

[modifica] Funzioni scalari

Per le funzioni scalari si ha:

D^k f = \nabla^{\otimes k}f

dove Dkf è un tensore di tipo (0,k) avente componenti:

(D^k f)_{i_1 \cdots i_k} = <D^k f, \mathbf e_{i_1} \otimes \cdots \otimes \mathbf e_{i_k}> = <\nabla^{\otimes k}f,\mathbf e_{i_1} \otimes \cdots \otimes \mathbf e_{i_k}>

Si ha quindi:

(D^k f)_{i_1 \cdots i_k} = \nabla_{i_1} \cdots \nabla_{i_k} f

che espressa in forma operatoriale equivale a:

(\nabla^{\otimes k})_{i_1 \cdots i_k} = \nabla_{i_1} \cdots \nabla_{i_k}

[modifica] Funzioni vettoriali

Per le funzioni vettoriali si ha:

D^k \mathbf f = (\nabla^{\otimes k} \otimes \mathbf f)^T

dove D^k \mathbf f è un operatore tensoriale di tipo (1,k) avente componenti:

(D^k f)_{i_1 \cdots i_k}^j = <D^k \mathbf f, e^j \otimes \mathbf e_{i_1} \otimes \cdots \otimes \mathbf e_{i_k}> = <(\nabla^{\otimes k} \otimes \mathbf f)^T, e^j \otimes \mathbf e_{i_1} \otimes \cdots \otimes \mathbf e_{i_k}> = <\nabla^{\otimes k},\mathbf e_{i_1} \otimes \cdots \otimes \mathbf e_{i_k}><\mathbf f, e^j>

Dunque:

(D^k f)_{i_1 \cdots i_k}^j = \nabla_{i_1} \cdots \nabla_{i_k} f^j

[modifica] Derivate direzionali e differenziali

Per calcolare la derivata direzionale e il diffenziale k-mi delle funzioni scalari e vettoriali bisogna cacolare la k-ma potenza degli operatori scalari <\mathbf v, \nabla> e <d \mathbf x, \nabla>, le quali richiedono l'impiego dello sviluppo multinomiale:

<\mathbf v, \nabla>^k = \left (\sum_{i=1}^n v^i \nabla_i \right )^k = \sum_{k_1+\ldots+k_n=k}{{k\choose k_1,\ldots,k_n}\cdot (v^1 \nabla_1)^{k_1}\cdots (v^n \nabla_n)^{k_n}}

ovvero:

D_{\hat \mathbf v}^k = <\mathbf v, \nabla>^k = \sum_{k_1+\ldots+k_n=k}{k! \cdot \prod_{i=1}^n \frac{1}{k_i!}(v^i \nabla_i)^{k_i}}

e analogamente per il differenziale:

d^k = <d \mathbf x, \nabla>^k = \sum_{k_1+\ldots+k_n=k}{k! \cdot \prod_{i=1}^n \frac{1}{k_i!}(dx^i \nabla_i)^{k_i}}

[modifica] Sviluppo in serie

Nello sviluppo in serie delle funzioni scalari e vettoriali il k-mo termine si ottiene applicando alla funzione l'operatore scalare <\mathbf \Delta x, \nabla> / k! il quale, per la relazione appena trovata, diventa:

\frac{1}{k!}<\mathbf \Delta x, \nabla> = \sum_{k_1+\ldots+k_n=k}{\prod_{i=1}^n \frac{1}{k_i!}(\Delta x^i \nabla_i)^{k_i}}
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