Calcolo differenziale/Funzioni su spazi vettoriali - ordini successivi

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Indice

1 Differenziale k-mo
2 Derivata k-ma
- 2.1 Funzioni scalari
- 2.2 Funzioni vettoriali
3 Derivata direzionale k-ma
4 Relazioni funzionali e notazione di Leibniz
5 Operatori differenziali
6 Sviluppo in serie

[modifica] Differenziale k-mo

La definizione di differenziale k-mo data per le funzioni di una variabile reale si lascia facilmente generalizzare a quelle definite su spazi vettoriali: il differenziale di ordine k calcolato nel punto $\mathbf x_0$ è una funzione k-lineare nei suoi argomenti $(\Delta \mathbf x_1,\cdots,\Delta \mathbf x_k)$ e tale che come funzione lineare del suo k-mo argomento esso risulti pari alla parte lineare della variazione del differenziale (k-1)-mo rispetto ad una variazione del suo punto di applicazione:

funzioni scalari: $d^{k-1}f(\mathbf x_0 + \Delta \mathbf x_k)(\Delta \mathbf x_1, \cdots, \Delta \mathbf x_{k-1}) = d^{k-1}f(\mathbf x_0)(\Delta \mathbf x_1, \cdots, \Delta \mathbf x_{k-1}) + d^kf(\mathbf x_0)(\Delta \mathbf x_1, \cdots, \Delta \mathbf x_{k-1}, \Delta \mathbf x_k) + o(\|\Delta \mathbf x_k\|) \;$
funzioni vettoriali: $d^{k-1}\mathbf f(\mathbf x_0 + \Delta \mathbf x_k)(\Delta \mathbf x_1, \cdots, \Delta \mathbf x_{k-1}) = d^{k-1}\mathbf f(\mathbf x_0)(\Delta \mathbf x_1, \cdots, \Delta \mathbf x_{k-1}) + d^k\mathbf f(\mathbf x_0)(\Delta \mathbf x_1, \cdots, \Delta \mathbf x_{k-1}, \Delta \mathbf x_k) + o(\|\Delta \mathbf x_k\|) \;$

[modifica] Derivata k-ma

Il differenziale k-mo ha come dominio $V^k := \underbrace{V \times \cdots \times V}_k$ e come codominio K o V a seconda che la funzione sia scalare o vettoriale.

D'altra parte $V k$ può essere mappato in $V^{\otimes k} := \underbrace{V \otimes \cdots \otimes V}_k$ per mezzo del prodotto tensoriale ed esiste una corrispondenza "naturale" fra le applicazioni lineari su $V k$ e quelle su $V^{\otimes k}$ .

[modifica] Funzioni scalari

Nel caso delle funzioni scalari tali applicazioni sono a valori in K, per cui esse appartengono al duale di $V^{\otimes k}$ e sono associate ad altrettanti tensori di tipo (0, k) tali che l'applicazione delle funzioni lineari al tensore di tipo (k, 0) costituito da $\Delta x_1 \otimes \cdots \otimes \Delta x_k$ si riduce ad un prodotto scalare in $V^{\otimes k *} \times V^{\otimes k}$ . Il tensore di tipo (0, k) che fa da "coefficiente" di $\Delta \mathbf x_1 \otimes \cdots \otimes \Delta \mathbf x_k$ è, per definizione, la derivata k-ma della funzione:

$d^kf(\mathbf x_0)(\Delta \mathbf x_1, \cdots, \Delta \mathbf x_k) = <D^k f(\mathbf x_0), \Delta \mathbf x_1 \otimes \cdots \otimes \Delta \mathbf x_k>$

[modifica] Funzioni vettoriali

Per le funzioni vettoriali vale un discorso analogo, ma questa volta le funzioni $d^k\mathbf f(\mathbf x_0)$ sono a valori in V, cioè restituiscono un vettore, per cui esse sono associate ad altrettanti tensori di tipo (1, k) che danno uno scalare quando vengano moltiplicati per un tensore di tipo (k, 1). I primi tensori, quelli di tipo (1, k), sono - per definizione - le derivate della funzione.

Ci sono diversi modi di rendere questa relazione:

si scrive il prodotto scalare di $d^k \mathbf f$ con un generico covettore ω:

$<\omega, d^k\mathbf f(\mathbf x_0)(\Delta \mathbf x_1, \cdots, \Delta \mathbf x_k)> = <D^k \mathbf f(\mathbf x_0), \omega \otimes \Delta \mathbf x_1 \otimes \cdots \otimes \Delta \mathbf x_k>$

oppure si scrive $d^k \mathbf f$ come prodotto scalare parziale che "aspetta" un covettore per dare uno scalare:

$d^k\mathbf f(\mathbf x_0)(\Delta \mathbf x_1, \cdots, \Delta \mathbf x_k) = <D^k \mathbf f(\mathbf x_0), - \otimes \Delta \mathbf x_1 \otimes \cdots \otimes \Delta \mathbf x_k>$

oppure si definisce una "contrazione" fra il tensore (1,k) $D^k \mathbf f(\mathbf x_0)$ e il tensore (k,0) $\Delta \mathbf x_1 \otimes \cdots \otimes \Delta \mathbf x_k$ tale che per ogni ω si abbia:

$<D^k \mathbf f(\mathbf x_0), \omega \otimes \Delta \mathbf x_1 \otimes \cdots \otimes \Delta \mathbf x_k>= <\omega, D^k \mathbf f(\mathbf x_0)\Delta \mathbf x_1 \otimes \cdots \otimes \Delta \mathbf x_k>$

dopodiché si può porre:

$d^k\mathbf f(\mathbf x_0)(\Delta \mathbf x_1, \cdots, \Delta \mathbf x_k) = D^k \mathbf f(\mathbf x_0)\Delta \mathbf x_1 \otimes \cdots \otimes \Delta \mathbf x_k$

[modifica] Derivata direzionale k-ma

La derivata direzionale k-ma, essendo riconducibile alla derivata di una funzione di una variabile scalare, è definita in modo ordinario:

funzioni scalari: $D_{\hat \mathbf v}^kf(\mathbf x_0) := D^k(f \circ \mathbf h)(0)$
funzioni vettoriali: $D_{\hat \mathbf v}^k \mathbf f(\mathbf x_0) := D^k(\mathbf f \circ \mathbf h)(0)$

[modifica] Relazioni funzionali e notazione di Leibniz

Utilizzando la funzione identità scritta come $d\mathbf x$ , si può definire la funzione k-lineare $d\mathbf x^{\otimes k}$ tale che:

$d\mathbf x^{\otimes k}(\Delta \mathbf x_1, \cdots, \Delta \mathbf x_k)=\Delta \mathbf x_1 \otimes \cdots \otimes \Delta \mathbf x_k$

per cui si ha:

funzioni scalari: $d^kf(\mathbf x_0) = <D^kf(\mathbf x_0), d\mathbf x^{\otimes k}>$
funzioni vettoriali: $<\omega,d^k\mathbf f(\mathbf x_0)> = <D^k \mathbf f(x_0), \omega \otimes d\mathbf x^{\otimes k}>$; $d^k\mathbf f(\mathbf x_0) = <D^k \mathbf f(x_0), - \otimes d\mathbf x^{\otimes k}> = D^k \mathbf f(x_0)d\mathbf x^{\otimes k}$

Si può allora recuperare, almeno formalmente, la notazione di Leibniz, scrivendo la derivata come "rapporto" fra differenziali:

funzioni scalari: $D^kf(\mathbf x_0) = \frac{d^kf(\mathbf x_0)}{d\mathbf x^{\otimes k}}$
funzioni vettoriali: $D^k \mathbf f(x_0) = \frac{d^k\mathbf f(\mathbf x_0)}{d\mathbf x^{\otimes k}}$

dove l'espressione:

$A = \frac{B}{C}$

va intesa semplicemente come espressione formale per dire che è possibile definire un qualche "prodotto" in modo tale che B sia esprimibile come "prodotto" di A per C

[modifica] Operatori differenziali

Il fatto che il differenziale e la derivata direzionale siano due operatori "scalari" si rivela particolarmente utile non solo perché essi - come si è visto - si applicano nello stesso modo sia alle funzioni scalari sia a quelle vettoriali (agendo indipedentemente su ogni componente), ma anche perché le loro "potenze" si scrivono come potenze ordinarie di uno scalre. Più precisamente si ha:

$d^k = <d\mathbf x, \nabla>^k = <d\mathbf x^{\otimes k}, \nabla^{\otimes k}>$

$D_{\hat \mathbf v}^k = <\hat \mathbf v,\nabla>^k = <\hat \mathbf v^{\otimes k}, \nabla^{\otimes k}>$

Di qui segue che:

funzioni scalari: $d^kf(\mathbf x_0) = <d\mathbf x^{\otimes k}, \nabla^{\otimes k}>f(\mathbf x_0) = \nabla^{\otimes k}f(\mathbf x_0)d\mathbf x^{\otimes k}$
funzioni vettoriali: $\begin{align}d^k \mathbf f(\mathbf x_0) &= <d\mathbf x^{\otimes k}, \nabla^{\otimes k}> \mathbf f(\mathbf x_0) =<d\mathbf x^{\otimes k}, \nabla^{\otimes k}><-, \mathbf f(\mathbf x_0)> =<d\mathbf x^{\otimes k} \otimes -, \nabla^{\otimes k} \otimes \mathbf f(\mathbf x_0)>=\\ &=<- \otimes d\mathbf x^{\otimes k}, (\nabla^{\otimes k} \otimes \mathbf f)^T(\mathbf x_0)> =<-, (\nabla^{\otimes k} \otimes \mathbf f)^T(\mathbf x_0)d\mathbf x^{\otimes k}> =(\nabla^{\otimes k} \otimes \mathbf f)^T(\mathbf x_0)d\mathbf x^{\otimes k}\end{align}$

e poiché nel differenziale il "coefficiente" di $d\mathbf x^{\otimes k}$ è la derivata, si ha:

funzioni scalari: $D^kf = \nabla^{\otimes k}f$
funzioni vettoriali: $D^k\mathbf f = (\nabla^{\otimes k} \otimes \mathbf f)^T$

[modifica] Sviluppo in serie

[modifica] Termini multilineari

La generalizzazione dello sviluppo in serie di potenze a funzioni definite su spazi vettoriali è uno sviluppo in una serie di funzioni k-lineari simmetriche avente come argomento la k-pla $(\underbrace{\Delta \mathbf x, \cdots, \Delta \mathbf x}_k)$ :

funzioni scalari: $f(\mathbf x_0 + \Delta \mathbf x) = f(\mathbf x_0) + \sum_{k=1}^n {F^k(\mathbf x_0)(\underbrace{\Delta \mathbf x, \cdots, \Delta \mathbf x}_k)} + o(\|\Delta \mathbf x\|^n)$
funzioni vettoriali: $\mathbf f(\mathbf x_0 + \Delta \mathbf x) = \mathbf f(\mathbf x_0) + \sum_{k=1}^n {\mathbf F^k(\mathbf x_0)(\underbrace{\Delta \mathbf x, \cdots, \Delta \mathbf x}_k)} + o(\|\Delta \mathbf x\|^n)$

dove le funzioni k-lineari hanno come dominio $V^k := \underbrace{V \times \cdots \times V}_k$ e come codominio K o V a seconda che la funzione sia scalare o vettoriale.

Analogamente a quanto si è fatto con i differenziali, il termine k-mo si può scrivere come:

funzioni scalari: $F^k(\mathbf x_0)(\underbrace{\Delta \mathbf x, \cdots, \Delta \mathbf x}_k) = <A^k(x_0), \Delta \mathbf x^{\otimes k}>$
funzioni vettoriali: $\mathbf F^k(\mathbf x_0)(\underbrace{\Delta \mathbf x, \cdots, \Delta \mathbf x}_k) = <\mathbf A^k(x_0), - \otimes \Delta \mathbf x^{\otimes k}> = \mathbf A^k(x_0)\Delta \mathbf x^{\otimes k}$

Lo sviluppo in serie della funzione può dunque essere riscritto nel modo seguente:

funzioni scalari: $f(\mathbf x_0 + \Delta \mathbf x) = f(\mathbf x_0) + \sum_{k=1}^n {<A^k(\mathbf x_0), \Delta \mathbf x^{\otimes k}>} + o(\|\Delta \mathbf x\|^n)$
funzioni vettoriali: $\mathbf f(\mathbf x_0 + \Delta \mathbf x) = \mathbf f(\mathbf x_0) + \sum_{k=1}^n {\mathbf A^k(\mathbf x_0)\Delta \mathbf x^{\otimes k}} + o(\|\Delta \mathbf x\|^n)$

[modifica] Relazioni fra i termini dello sviluppo e le derivate

Lo sviluppo in serie della funzione $f \circ \mathbf h$ e della funzione $\mathbf f \circ \mathbf h$ , essendo queste definite su K, si fa in termini di derivate ordinarie nell'argomento scalare $Δ v$ :

funzioni scalari: $(f \circ \mathbf h)(\Delta v) = (f \circ \mathbf h)(0) + \sum_{k=1}^n {\frac{1}{k!} D^k(f \circ \mathbf h)(0)\Delta v^k} + o(|\Delta v|^n) = f(\mathbf x_0) + \sum_{k=1}^n {\frac{1}{k!} D_{\hat \mathbf v}^k f(\mathbf x_0) \Delta v^k} + o(|\Delta v|^n)$
funzioni vettoriali: $(\mathbf f \circ \mathbf h)(\Delta v) = (\mathbf f \circ \mathbf h)(0) + \sum_{k=1}^n {\frac{1}{k!} D^k(\mathbf f \circ \mathbf h)(0)\Delta v^k} + o(|\Delta v|^n) = \mathbf f(\mathbf x_0) + \sum_{k=1}^n {\frac{1}{k!} D_{\hat \mathbf v}^k \mathbf f(\mathbf x_0) \Delta v^k} + o(|\Delta v|^n)$

Questo sviluppo va confrontato con quello che si ottiene in termini multilineari considerando $\mathbf h(\Delta v)$ argomento di f:

funzioni scalari: $(f \circ \mathbf h)(\Delta v) = f(\mathbf h (\Delta v)) = f(\mathbf x_0 + \Delta v \hat \mathbf v) = f(\mathbf x_0) + \sum_{k=1}^n {<A^k(\mathbf x_0), \hat \mathbf v^{\otimes k}>\Delta v^k} + o(|\Delta v|^n)$
funzioni vettoriali: $(\mathbf f \circ \mathbf h)(\Delta v) = \mathbf f(\mathbf h (\Delta v)) = \mathbf f(\mathbf x_0 + \Delta v \hat \mathbf v) = \mathbf f(\mathbf x_0) + \sum_{k=1}^n {\mathbf A^k(\mathbf x_0) \hat \mathbf v^{\otimes k}\Delta v^k} + o(|\Delta v|^n)$

Dal confronto si vede che:

funzioni scalari: $D_{\hat \mathbf v}^k f(\mathbf x_0) = k! <A^k(\mathbf x_0), \hat \mathbf v^{\otimes k}>$
funzioni vettoriali: $D_{\hat \mathbf v}^k \mathbf f(\mathbf x_0) = k! \, \mathbf A^k (\mathbf x_0) \hat \mathbf v^{\otimes k}$

d'altra parte si ha anche:

funzioni scalari: $D_{\hat \mathbf v}^k f(\mathbf x_0) = <\hat \mathbf v^{\otimes k}, \nabla^{\otimes k}>f(\mathbf x_0) = <D^kf(\mathbf x_0),\hat \mathbf v^{\otimes k}>$
funzioni vettoriali: $D_{\hat \mathbf v}^k \mathbf f(\mathbf x_0) = <\hat \mathbf v^{\otimes k}, \nabla^{\otimes k}>\mathbf f(\mathbf x_0)= D^k\mathbf f(\mathbf x_0)\hat \mathbf v^{\otimes k}$

da cui segue che

funzioni scalari: $D^kf(\mathbf x_0) = k! \, A^k(\mathbf x_0) \;$
funzioni vettoriali: $D^k\mathbf f(\mathbf x_0) = k! \, \mathbf A^k(\mathbf x_0) \;$

[modifica] Relazione fra i termini dello sviluppo e i differenziali

Essendo le derivate i "coefficienti" del differenziale, la relazione fra il differenziale k-mo e il k-mo termine dello sviluppo è analoga a quella che intercorre fra la k-ma derivata e il "coefficiente" del k-mo termine:

funzioni scalari: $d^kf(\mathbf x_0)(\underbrace{\Delta \mathbf x, \cdots, \Delta \mathbf x}_k) = k! \, F^k(\mathbf x_0)(\underbrace{\Delta \mathbf x, \cdots, \Delta \mathbf x}_k)\;$
funzioni vettoriali: $d^k\mathbf f(\mathbf x_0)(\underbrace{\Delta \mathbf x, \cdots, \Delta \mathbf x}_k) = k! \, \mathbf F^k(\mathbf x_0)(\underbrace{\Delta \mathbf x, \cdots, \Delta \mathbf x}_k) \;$

Usando l'operatore differenziale $d^k=<d\mathbf x, \nabla>$ risulta particolarmente agevole esprimere il k-mo termine dello sviluppo della funzione:

funzioni scalari: $F^k(\mathbf x_0)(\underbrace{\Delta \mathbf x, \cdots, \Delta \mathbf x}_k) = \frac{1}{k!} <\Delta \mathbf x, \nabla>^k f (\mathbf x_0) \;$
funzioni vettoriali: $\mathbf F^k(\mathbf x_0)(\underbrace{\Delta \mathbf x, \cdots, \Delta \mathbf x}_k) = \frac{1}{k!} <\Delta \mathbf x, \nabla>^k \mathbf f (\mathbf x_0) \;$