Wikibooks, manuali e libri di testo liberi.
Quando l'interruttore è aperto, la tensione iniziale ai capi del condensatore è zero. Quando l'interruttore si chiude il condensatore si carica attraverso il resistore a
V
0
{\displaystyle V_{0}}
.
Allorché l'interruttore viene chiuso, il circuito deve seguire la relazione:
V
0
=
v
c
(
t
)
+
i
c
(
t
)
R
{\displaystyle \ V_{0}=v_{c}(t)+i_{c}(t)R}
V
0
=
v
c
(
t
)
+
d
d
t
v
c
(
t
)
R
C
{\displaystyle \ V_{0}=v_{c}(t)+{d \over dt}v_{c}(t)RC}
che è derivato analizzando il circuiti con la legge della tensione di Kirchoff.
Facendo
τ
=
R
C
{\displaystyle \ \tau =RC}
e riadattando l'equazione:
d
d
t
v
0
(
t
)
+
1
τ
v
c
(
t
)
=
1
τ
V
0
{\displaystyle {d \over dt}v_{0}(t)+{1 \over \tau }v_{c}(t)={1 \over \tau }V_{0}}
Questa è una equazione differenziale lineare di primo ordine con fattore di integrazione:
e
∫
1
τ
d
t
=
e
t
τ
{\displaystyle \ e^{\int {1 \over \tau }dt}=\ e^{t \over \tau }}
Moltiplicando entrambi i lati col fattore di integrazione:
d
d
t
v
0
(
t
)
e
t
τ
+
1
τ
v
c
(
t
)
e
t
τ
=
1
τ
V
0
e
t
τ
{\displaystyle {d \over dt}v_{0}(t)e^{t \over \tau }+{1 \over \tau }v_{c}(t)e^{t \over \tau }={1 \over \tau }V_{0}e^{t \over \tau }}
Notare che:
d
d
t
[
e
t
τ
v
c
(
t
)
]
=
d
d
t
v
c
(
t
)
e
t
τ
+
1
τ
v
c
(
t
)
e
t
τ
{\displaystyle {d \over dt}[e^{t \over \tau }vc(t)]={d \over dt}v_{c}(t)e^{t \over \tau }+{1 \over \tau }v_{c}(t)e^{t \over \tau }}
Sostituendo ed integrando entrambi i lati:
e
t
τ
v
c
(
t
)
=
V
0
e
t
τ
+
K
{\displaystyle \ e{t \over \tau }v_{c}(t)=V_{0}e^{t \over \tau }+K}
dove K è le costante di integrazione.
Quando
t
=
0
{\displaystyle \ t=0}
:
v
c
(
0
)
=
0
{\displaystyle \ v_{c}(0)=0}
Pertanto:
K
=
−
V
0
{\displaystyle \ K=-V_{0}}
Quando
t
>
0
{\displaystyle \ t>0}
si ha:
e
t
τ
v
c
(
t
)
=
V
0
e
t
τ
−
V
0
{\displaystyle \ e^{t \over \tau }v_{c}(t)=V_{0}e^{t \over \tau }-V_{0}}
v
c
(
t
)
=
V
0
−
V
0
−
t
τ
{\displaystyle \ v_{c}(t)=V_{0}-V_{0}^{-t \over \tau }}
v
c
(
t
)
=
V
0
(
1
−
e
−
t
τ
)
{\displaystyle \ v_{c}(t)=V_{0}(1-e^{-t \over \tau })}
Quando
t
<
0
{\displaystyle \ t<0}
:
v
c
(
t
)
=
0
{\displaystyle \ v_{c}(t)=0}