Elettronica pratica/Circuito RC

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RC switch.PNG

Quando l'interruttore è aperto, la tensione iniziale ai capi del condensatore è zero. Quando l'interruttore si chiude il condensatore si carica attraverso il resistore a V0.

Allorché l'interruttore viene chiuso , il circuito deve seguire la relazione:

\ V_0=v_c(t)+i_c(t)R
\ V_0=v_c(t)+{d\over dt}v_c(t) RC

che è derivato analizzando il circuiti con la legge della tensione di Kirchoff.

Facendo \ \tau=RC e riadattando l'equazione:

{d\over dt}v_0(t)+{1\over \tau}v_c(t)={1\over \tau}V_0

Questa è una equazione differenziale lineare di primo ordine con fattore di integrazione:

\ e^{\int {1\over \tau}dt}=\ e^{{t\over \tau}}

Moltiplicando entrambi i lati col fattore di integrazione:

{d\over dt}v_0(t)e^{{t\over \tau}}+{1\over \tau}v_c(t)e^{{t\over \tau}}={1\over \tau}V_0 e^{{t\over\tau}}

Notare che:

{d\over dt}[e^{{t\over \tau}}vc(t)]={d\over dt}v_c(t)e^{{t\over \tau}}+{1\over \tau}v_c(t)e^{{t\over \tau}}

Sostituendo ed integrando entrambi i lati:

\ e{{t\over \tau}}v_c(t)=V_0 e^{{t\over \tau}}+ K

dove K è le costante di integrazione.

Quando \ t=0:

\ v_c(0)=0

Pertanto:

\ K=-V_0

Quando \ t>0 si ha:

\ e^{{t\over \tau}}v_c(t)=V_0 e^{{t\over \tau}}-V_0
\ v_c(t)=V_0-V_0^{{-t\over \tau}}
\ v_c(t)=V_0(1-e^{{-t\over \tau}})

Quando \ t<0:

\ v_c(t)=0

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