Elettronica pratica/Circuito RLC

Circuito RLC

Il circuito RLC consiste di un resistore R, di un condensatore C e di un induttore L . I circuiti RLC possono venire caratterizzati sia nel dominio del tempo che in quello della frequenza.

Analisi del circuito RLC nel dominio del tempo

Quando l'interruttore viene chiuso si applica una tensione a gradino al circuito. Poniamo uguale a 0 il tempo in cui l'interruttore è stato chiuso, cosicché la tensione prima che l'interruttore sia chiuso è 0 volt e la tensione dopo la sua chiusura è di V volt. La tensione ai capi del condensatore consiste di una risposta forzata $v_{f}$ e di una risposta naturale $v_{n}$ talché:

$\ v_{c}=v_{f}+v_{n}$

La risposta forzata è dovuta alla chiusura dell'interruttore, che è la tensione V a $t\geq 0$. La tensione naturale dipende dai valori

del circuito ed è data qui di seguito.

Definiamo la frequenza polare

$\ \omega _{n}={1 \over {\sqrt {LC}}}$

ed il fattore di smorzamento

$\ \alpha ={R \over 2L}$

Dipendendo dai valori di $\alpha$ e $\omega _{n}$ il sistema può essere caratterizzato come:

1. Se $\alpha >\omega _{n}$ il sistema è sovrasmorzato. La soluzione ha la forma:

   $\ v_{n}(t)=A_{1}e^{{\big (}-\alpha +{\sqrt {\alpha ^{2}-\omega _{n}^{2}}}{\big )}t}+A_{2}e^{{\big (}-\alpha -{\sqrt {\alpha ^{2}-\omega _{n}^{2}}}{\big )}t}$

2. Se $\alpha =\omega _{n}$ il sistema è a smorzamento critico. La soluzione del sistema ha la forma:

   $\ v_{n}(t)=Be^{-\alpha t}$

3. Se $\alpha <\omega _{n}$ il sostema è sottosmorzato. La soluzione del sistema ha la forma:

   $\ v_{n}(t)=e^{-\alpha t}{\big [}B_{1}\cos({\sqrt {\omega _{n}^{2}-\alpha ^{2}}}t)+B_{2}\sin({\sqrt {\omega _{n}^{2}-\alpha ^{2}}}t){\big ]}$

Analisi del circuito RLC nel dominio delle frequenze

Definiamo la frequenza di polo $\omega _{n}$ e il fattore di smorzamento $\alpha$ come:

${R \over L}=2\alpha$

${1 \over LC}=\omega _{n}^{2}$

Per analizzare il circuito prima calcoliamo la funzione di trasferimento H(s) nel dominio del campo complesso. Per il circuito RLC della figura 1 si ha:

$H(s)={\frac {s{\big (}s+2\alpha {\big )}}{s^{2}+2\alpha s+\omega _{n}^{2}}}$

$H(s)={\frac {s{\big (}s+2\alpha {\big )}}{{\big (}s+\alpha +j{\sqrt {\omega _{n}^{2}-\alpha ^{2}}}{\big )}{\big (}s+\alpha -j{\sqrt {\omega _{n}^{2}-\alpha ^{2}}}{\big )}}}$

Quando si chiude l'interruttore, si applica una forma d'onda a gradino al circuito RLC.Il gradino è dato da Vu(t). Dove V è la tensione del gradino e u(t) è la funzione a gradino unitario. L'uscita è data dalla convoluzione della risposta d'impulso h(t) e della funzione a gradino Vu(t). Pertanto l'uscita è data dalla moltiplicazione H(s)U(s) nel dominio del campo complesso, dove $\ U(s)=V{1 \over s}$è data dalla trasformata di Laplace disponibile nell'appendice.

La convoluzione di u(t) e h(t)è data da:

$H(s)U(s)={\frac {V{\big (}s+2\alpha {\big )}}{{\big (}s+\alpha +j{\sqrt {\omega _{n}^{2}-\alpha ^{2}}}{\big )}{\big (}s+\alpha -j{\sqrt {\omega _{n}^{2}-\alpha ^{2}}}{\big )}}}$

Dipendendo dai valori di $\alpha$ e $\omega _{n}$ il sistema può essere caratterizzato come:

3. Se $\alpha <\omega _{n}$, il sistema è sottosmorzato. La soluzione di h(t)u(t) è data da:

$\ h(t)u(t)=Ve^{-\alpha t}{\big (}\cos({\sqrt {\omega _{n}^{2}-\alpha ^{2}}}t)+{\frac {\alpha }{\sqrt {\omega _{n}^{2}-\alpha ^{2}}}}\sin({\sqrt {\omega _{n}^{2}-\alpha ^{2}}}){\big )}$.

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