Implementazioni di algoritmi/Test di Miller-Rabin

Test di primalità di Miller-Rabin

Sia n un numero intero positivo dispari e non primo. I numeri positivi b<n tali che M.C.D.(b,n)=1, e tali che n sia uno pseudoprimo di Eulero forte in base b sono non più di un quarto di tutti i numeri positivi b<n tali che M.C.D.(b,n)=1.

Questo è il test di primalita' che stavamo presentando:

Se fisso un intero dispari n>1, lo posso scrivere come n=2$^{s}$*t+1, con t dispari. Il test T$_{1}$ si sintetizza nei seguenti:

1. scegliamo a caso un intero b$_{1}$, con 1<b$_{1}$<n, e calcoliamo M.C.D.(b$_{1}$, n);
2. se M.C.D.(b$_{1}$, n) > 1, allora n non è primo, ed abbiamo finito;
3. se M.C.D.(b$_{1}$, n) = 1, calcoliamo b$_{1}^{t}$ (mod n). Se b$_{1}^{t}$ ≡ +1 (mod n) oppure b$_{1}^{t}$ ≡ -1 (mod n), n è primo oppure è pseudoprimo forte in base b$_{1}$;
4. se non vale che b$_{1}^{t}$ ≡ +1 (mod n) oppure b$_{1}^{t}$ ≡ -1 (mod n), calcoliamo b$_{1}^{2t}$ (mod n). Se b$_{1}^{2t}$ ≡ -1 (mod n), allora n è pseudoprimo forte in base b$_{1}$;
5. se non vale che b$_{1}^{2t}$ ≡ -1 (mod n), passiamo a b$_{1}^{4t}$, e a tutte le altre potenze di 2, moltiplicate per t. Se tutti i b$_{1}^{2^{r}*t}$, per r=1,..., s-1, non sono mai congrui a -1 modulo n, allora $n$ non è un primo. Altrimenti n è uno pseudoprimo forte in base b$_{1}$.

Per tutti gli altri test {T$_{m}$}$_{m}$, m∈$\mathbb {N}$, la definizione è analoga:

1. scegliamo a caso un intero b$_{m}$, con 1<b$_{m}$<n, e calcoliamo M.C.D.(b$_{m}$, n);
2. se M.C.D.(b$_{m}$, n) > 1, allora n non è primo, ed abbiamo finito;
3. se M.C.D.(b$_{m}$, n) = 1, calcoliamo b$_{m}^{t}$ (mod n), e procediamo come nel primo test. In questo modo troviamo che p non è primo, oppure che n è pseudoprimo forte in base b$_{m}$.

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