Meccanica quantistica/Equazione di Schrödinger

Equazione di Schrödinger

La funzione d'onda di una particella in un campo esterno $U(\mathbf {r} )$ soddisfa l'equazione di Schrödinger:

$i\hbar {\frac {\partial \Psi }{\partial t}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\Psi +U(\mathbf {r} )\Psi$

Particella libera

Funzione d'onda di una particella libera con impulso $\mathbf {p}$ ed energia ${\mathcal {E}}$:

$\Psi =\mathrm {cost.} \times \exp \left({\frac {i}{\hbar }}(\mathbf {p} \cdot \mathbf {r} -{\mathcal {E}}t)\right)$

$\lambda =2\pi \hbar /p$ è la lunghezza d'onda di de Broglie associata alla particella. La meccanica classica corrisponde al caso limite di piccole lunghezze d'onda di de Broglie.

Buca di potenziale

Livelli energetici di una particella in una buca di potenziale di larghezza $a$ e di altezza infinita:

${\mathcal {E}}_{n}={\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\pi ^{2}{\frac {n^{2}}{a^{2}}}\qquad (n=1,2,3,...)$

Funzioni d'onda degli stati stazionari:

$\psi _{n}(x)=\mathrm {cost.} \times \sin {\frac {n\pi x}{a}}\qquad (0<x<a)$

Oscillatore armonico

Livelli energetici di un oscillatore armonico:

${\mathcal {E}}_{n}=\left(n+{\frac {1}{2}}\right)\hbar \omega \qquad (n=0,1,2,...)$

Funzioni d'onda degli stati stazionari:

$\psi _{n}(x)=\mathrm {cost.} \times e^{-(\alpha x)^{2}/2}H_{n}(\alpha x),\qquad \alpha ={\sqrt {\frac {m\omega }{\hbar }}}$

($H_{n}(\xi )$ sono i polinomi di Hermite)

Particella in un campo a simmetria sferica

La funzione d'onda di una particella in un campo $U=(r)$ ha la forma seguente:

$\psi =R(r)Y_{lm}(\theta ,\varphi )$

dove $Y_{lm}$ sono le funzioni armoniche sferiche. Gli stati corrispondenti ai valori $l=0,1,2,3,4,...$ del momento angolare si indicano con le lettere $s,p,d,f,g,...$

Particella in un campo coulombiano. Spettro discreto

Livelli energetici di una particella in un campo coulombiano attrattivo $U=-\alpha /r$:

${\mathcal {E}}_{n}=-{\frac {m\alpha ^{2}}{2\hbar ^{2}}}\cdot {\frac {1}{n^{2}}}\qquad (n=1,2,3,...)$

Funzioni radiali degli stati stazionari (in unità $\alpha ,m,\hbar$):

$R_{nl}=\mathrm {cost.} \times e^{-r/n}\left({\frac {2r}{n}}\right)^{l}L_{n+l}^{2l+1}(2r/n)$

($L_{n+l}^{2l+1}(\xi )$ sono i polinomi generalizzati di Laguerre)