Meccanica quantistica/Momento angolare

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Indice

[modifica] Operatore momento angolare

Operatore del momento angolare di una particella:

\widehat{\mathbf{L}}=-i\hbar \mathbf{r}\times\nabla

Autovalori del quadrato del momento angolare:

\mathbf{L}^2=\hbar^2 l(l+1)\qquad (l=0,1,...)

Autovalori della componente z del momento angolare:

L_z=\hbar m\qquad (m=-l,-l+1,...,l)

Le autofunzioni comuni agli operatori \widehat{\mathbf{L}}^2 e \widehat{L}_z sono le armoniche sferiche, Y_{lm}(\theta,\varphi).

[modifica] Composizione dei momenti angolari

Funzione d'onda di un sistema di due particelle con momenti angolari l1 e l2:

\psi_{lm}= \sum C_{m_1m_2}^{lm}\psi^{(1)}_{l_1m_1}\psi^{(2)}_{l_2m_2}

Le quantità C_{m_1m_2}^{lm} sono i coefficienti di Clebsch-Gordan.

Il momento angolare l può assumere soltanto dei valori compresi tra | l1 − l2 | e l1 + l2, e m = m1 + m2.

[modifica] Tensori sferici

Un tensore sferico è un insieme di quantità fkq che nelle rotazioni si trasformano come le funzioni armoniche sferiche Ykq.

A un tensore sferico fkq corrisponde un tensore simmetrico irriducibile di rango k. In particolare, a un tensore sferico f1m corrisponde un vettore f:

f_{10}=if_z,\qquad f_{1,\pm 1}=\mp \frac{i}{\sqrt{2}}(f_x \pm if_y)

[modifica] Teorema di Wigner-Eckart

Gli elementi di matrice di un tensore sferico hanno la forma seguente:

<n'l'm'|f_{kq} |nlm > =\sum C_{m'q}^{lm} <n'l'||f_{k}||nl >

dove < n'l' | fk | nl > sono gli elementi di matrice ridotti, indipendenti da m, m' e q.

Per k = 1 si ottengono delle espressioni per gli elementi di matrice di un vettore f. Gli elementi di matrice non nulli di fz corrispondono a delle transizioni m \rightarrow m, e gli elementi di matrice di fx e fy a delle transizioni m \rightarrow m \pm 1.

[modifica] Spin

Il momento angolare totale \mathbf{J} di una particella è composto dal momento orbitale \mathbf{L} e dallo spin \mathbf{S} . Il quadrato dello spin ha autovalori \mathbf{S}^2=\hbar^2 s(s+1) , dove s può essere un numero intero o semintero. La componente z dello spin ha autovalori \hbar s_z, dove sz = − s, − s + 1,...,s.

Nel caso di una particella con spin 1/2 (ad esempio un elettrone) \widehat{\mathbf{S}} =\hbar\widehat{\boldsymbol{\sigma}}/2, dove \widehat{\boldsymbol{\sigma}} è l'insieme delle matrici di Pauli:

\widehat{\sigma}_x=\left( \begin{array}{cc} 0 & 1\\ 1 & 0 \end{array}\right), \qquad \widehat{\sigma}_y=\left( \begin{array}{cc} 0 & -i\\ i & 0 \end{array}\right), \qquad \widehat{\sigma}_z=\left( \begin{array}{cc} 1 & 0\\ 0 & -1 \end{array}\right)

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