Meccanica quantistica/Concetti fondamentali

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Indice

[modifica] Funzione d'onda

Nella meccanica classica il comportamento di un sistema avente coordinate q è descritto dalla funzione q(t)', nota come legge oraria del moto. Tale funzione è la soluzione dell'Equazione del moto del sistema (ad esempio la seconda legge di Newton). Nella meccanica quantistica lo stato di un sistema è descritto da una funzione d'onda Ψ(q,t) complessa che è ottenuta risolvendo l'Equazione di Schrödinger.

[modifica] Interpretazione statistica

Mentre l'equazione del moto della meccanica classica fornisce direttamente le informazioni sul comportamento di un sistema nel tempo in termini delle sue coordinate q, per la meccanica quantistica è possibile solo una descrizione statistica del sistema a partire dalla funzione d'onda. Ciò significa che se Ψ(q,t) è la funzione d'onda che descrive lo stato del sistema, si avrà che

|\Psi(\mathbf{q},t)|^2 d\mathbf{q}

è la probabilità che le coordinate assumano valori tra q e q + dq all'istante di tempo t. In altre parole,

|\Psi(\mathbf{q},t)|^2

è la funzione densità di probabilità delle coordinate q all'istante t. In virtù di questa interpretazione, è necessario quindi che la Ψ sia normalizzata:

\int_{Q} |\Psi(\mathbf{q},t)|^2 d\mathbf{q} = 1

dove Q è lo spazio delle coordinate q (l'integrale è da intendersi nel senso di Lebesgue). Ciò significa che le funzioni d'onda devono in generale essere funzioni "a quadrato integrabili" perché siano normalizzabili mediante moltiplicazione per una costante.

[modifica] Operatori

In meccanica quantistica un operatore è una trasformazione lineare applicabile ad una funzione d'onda. Gli operatori della meccanica quantistica sono composizioni di somme, prodotti e derivazioni rispetto alle coordinate o al tempo. Ad ogni grandezza fisica della meccanica classica è associato un operatore hermitiano (o autoaggiunto). Dato un insieme di sistemi tutti nello stato f(\mathbf{q}), a causa dell'interpretazione statistica ogni misura della stessa grandezza A (a cui è associato l'operatore \hat{A}) può dare un risultato diverso. Tuttavia il valore di aspettazione di queste misure può essere calcolato a partire da f :

\langle A \rangle = \int_{V}f^* \hat{A} f d\mathbf{q}

Poiché gli operatori associati ad una grandezza fisica sono hermitiani, per definizione

\int_{V}\hat{A}f^* f d\mathbf{q} = \int_{V}f^* \hat{A} f d\mathbf{q}

quindi \langle A \rangle^* = \langle A \rangle, cioè i valori di aspettazione delle misure delle grandezze fisiche sono reali. Gli operatori più importanti sono ovviamente l'operatore posizione:

\hat{\mathbf{q}} = \mathbf{q} \cdot

e l'operatore quantità di moto:

\hat{\mathbf{p}} = -i\hbar \nabla_{\mathbf{q}} \cdot

Se G(\mathbf{q}, \mathbf{p}) è una grandezza dinamica il suo operatore associato è ricavabile dai due operatori posizione e momento, sostituendone le occorrenze nella definizione di G. Ad esempio, l'energia cinetica

T = {p^2 \over 2m}

è rappresentata dall'operatore

\hat{T} = -{\hbar \over 2m}\nabla_\mathbf{q}^2 \cdot

[modifica] Notazione bra-ket

Fase di sviluppo: 00% (al 28 marzo 2008) (28 marzo 2008)

[modifica] Autovalori ed autofunzioni

[modifica] Spettro discreto

Sviluppo della funzione d'onda in autofunzioni di una grandezza f con uno spettro discreto:

\Psi=\sum a_n \Psi_n \qquad a_n=\int \Psi_n^*\Psi\, dq

[modifica] Spettro continuo

Sviluppo della funzione d'onda in autofunzioni di una grandezza f con uno spettro continuo:

\Psi(q)=\int a_f \Psi_f(q)\,df \qquad a_f=\int \Psi_f^*(q)\Psi(q)\, dq

[modifica] Operatore impulso

Operatore dell'impulso di una particella:

\hat \mathbf{p}=-i\hbar \nabla

Regole di commutazione tra le componenti dell'impulso e le coordinate:

[\hat{p}_i,x_j]=-i\hbar \delta_{ij}

Relazioni di indeterminazione:

\Delta p_i \Delta x_i \sim \hbar

Il valore minimo dell'indeterminazione è \hbar/2, e si ottiene per pacchetti d'onda di forma gaussiana.

[modifica] Operatore hamiltoniano

Operatore hamiltoniano di un sistema quantistico:

\hat \mathcal{H}=i\hbar\frac{\partial}{\partial t}

Gli autovalori dell'hamiltoniano di un sistema isolato sono i livelli energetici \mathcal{E}_n. A questi valori corrispondono gli stati stazionari del sistema. Le funzioni d'onda degli stati stazionari variano nel tempo nel modo seguente:

\Psi_n(q,t)=\exp \left(-\frac{i}{\hbar}\mathcal{E}_n t\right)\psi_n(q)

Lo stato fondamentale corrisponde al valore minimo \mathcal{E}_0 dell'energia che il sistema può assumere.

A un livello degenere corrispondono diversi stati stazionari. Se gli operatori di due grandezze conservative non commutano tra loro, i livelli energetici sono necessariamente degeneri.

[modifica] Matrici

Gli elementi di matrice di una grandezza f sono definiti dallo sviluppo delle funzioni \hat f \psi_n secondo le autofunzioni dell'energia:

f_{mn}=\int \psi_m^* \hat{f}\psi_n\,dq

Gli elementi diagonali fnn sono i valori medi della grandezza f negli stati ψn

Elementi di matrice dipendenti dal tempo:

f_{mn}(t)=f_{mn}e^{i\omega_{mn}t}, \qquad \omega_{mn}= \frac{\mathcal{E} _m-\mathcal{E} _n}{\hbar}

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