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Correzioni del primo e del secondo ordine ai livelli energetici
di un sistema quantistico soggetto a una perturbazione
V
^
{\displaystyle {\widehat {V}}}
indipendente dal tempo:
E
n
(
1
)
=
V
n
n
,
E
n
(
2
)
=
∑
m
≠
n
|
V
m
n
|
2
E
n
(
0
)
−
E
m
(
0
)
{\displaystyle {\mathcal {E}}_{n}^{(1)}=V_{nn},\qquad {\mathcal {E}}_{n}^{(2)}=\sum _{m\neq n}{\frac {\left|V_{mn}\right|^{2}}{{\mathcal {E}}_{n}^{(0)}-{\mathcal {E}}_{m}^{(0)}}}}
Correzione del primo ordine alla funzione d'onda :
ψ
n
(
1
)
=
∑
m
≠
n
V
m
n
E
n
(
0
)
−
E
m
(
0
)
ψ
m
(
0
)
{\displaystyle \psi _{n}^{(1)}=\sum _{m\neq n}{\frac {V_{mn}}{{\mathcal {E}}_{n}^{(0)}-{\mathcal {E}}_{m}^{(0)}}}\psi _{m}^{(0)}}
Le correzioni a un livello degenere sono determinate dall'equazione
det
(
V
n
n
′
−
E
(
1
)
δ
n
n
′
)
=
0
{\displaystyle \det(V_{nn'}-{\mathcal {E}}^{(1)}\delta _{nn'})=0}
Supponiamo ora che la perturbazione
V
^
{\displaystyle {\widehat {V}}}
dipenda esplicitamente dal tempo. Se all'istante iniziale il sistema si trova nell'n -esimo stato stazionario , la funzione d'onda del sistema a un istante qualsiasi, in prima approssimazione, è
Ψ
n
=
∑
a
k
n
(
t
)
Ψ
k
(
0
)
{\displaystyle \Psi _{n}=\sum a_{kn}(t)\Psi _{k}^{(0)}}
dove
a
k
n
(
0
)
=
δ
k
n
,
a
k
n
(
1
)
=
−
i
ℏ
∫
V
k
n
e
i
ω
k
n
t
d
t
{\displaystyle a_{kn}^{(0)}=\delta _{kn},\qquad a_{kn}^{(1)}=-{\frac {i}{\hbar }}\int V_{kn}e^{i\omega _{kn}t}\,dt}
(Dirac, 1926)
Probabilità di transizione a uno stato dello spettro continuo per effetto di una perturbazione periodica
V
^
=
V
^
0
e
−
i
ω
t
+
V
^
0
+
e
i
ω
t
{\displaystyle {\widehat {V}}={\widehat {V}}_{0}e^{-i\omega t}+{\widehat {V}}_{0}^{+}e^{i\omega t}}
:
d
w
f
i
=
2
π
ℏ
|
V
f
i
|
2
δ
(
E
f
−
E
i
(
0
)
−
ℏ
ω
)
d
ν
f
{\displaystyle dw_{fi}={\frac {2\pi }{\hbar }}|V_{fi}|^{2}\delta ({\mathcal {E}}_{f}-{\mathcal {E}}_{i}^{(0)}-\hbar \omega )\,d\nu _{f}}
La probabilità di transizione tra stati dello spettro continuo per effetto di una perturbazione costante
è data dalla regola d'oro di Fermi :
d
w
f
i
=
2
π
ℏ
|
V
f
i
|
2
δ
(
E
f
−
E
i
)
d
ν
f
{\displaystyle dw_{fi}={\frac {2\pi }{\hbar }}|V_{fi}|^{2}\delta ({\mathcal {E}}_{f}-{\mathcal {E}}_{i})d\nu _{f}}
Correzione del primo ordine alla funzione d'onda:
Ψ
i
=
(
ψ
i
(
0
)
+
∫
V
f
i
E
i
−
E
f
ψ
f
(
0
)
d
ν
f
)
exp
(
−
i
ℏ
E
i
t
)
{\displaystyle \Psi _{i}=\left(\psi _{i}^{(0)}+\int {\frac {V_{fi}}{{\mathcal {E}}_{i}-{\mathcal {E}}_{f}}}\psi _{f}^{(0)}d\nu _{f}\right)\exp \left(-{\frac {i}{\hbar }}{\mathcal {E}}_{i}t\right)}