Teoria dei segnali/Analisi dei segnali

Analisi dei segnali

Matematica aggiuntiva

La delta di Dirac

La funzione generalizzata delta di Dirac $\delta (x)$ gode delle seguenti proprietà:

• la sua convoluzione con una funzione trasla questa funzione nel suo punto di applicazione $a$;

$f(x)*\delta (x-b)=f(x-b)$

• è una funzione pari;

$\delta (a)=\delta (-a)$

• l'integrale di una funzione moltiplicata per una delta è pari al valore della funzione nel punto di applicazione della delta;

$\int _{-\infty }^{\infty }f(x)\delta (x-a)dx=f(a)$

• sottende area unitaria;

$\int _{-\infty }^{\infty }\delta (x)dx=1$

• ha durata infinitesima;

$\lim _{\epsilon \rightarrow 0^{+}}\int rect_{\epsilon }(x)\delta (x)dx=1$

• ha la proprietà campionatrice:

$\int _{-\infty }^{\infty }f(x)\delta (x-a)dx=f(a)\delta (x-a)$

• corrisponde alla derivata della funzione gradino unitario;

$\int _{-\infty }^{\infty }\delta (t)dt=grad(t)$

$\delta (t)={\frac {dgrad(t)}{dt}}$

Funzioni goniometriche

$sin(x)={\frac {e^{jx}-e^{-jx}}{2j}}={\frac {1}{2}}je^{-jx}-{\frac {1}{2}}je^{jx}$

$cos(x)={\frac {e^{jx}+e^{-jx}}{2}}$

La funzione seno cardinale

$sinc(x)={\frac {sin(\pi x)}{\pi x}}$

Proprietà

• ha valore massimo unitario nell origine \\

$sinc(0)=1$

• ha zeri in corrispondenza di multipli interi di x

$sinc(x)=0perx\in \int \not =0$

• la pendenza della funzione negli zeri è inversamente proporzionale ad x

$\left.{\frac {dsinc(x)}{dx}}\right|_{x\in \int \not =0}={\frac {1}{x}}$

Convoluzione e Correlazione

L'operazione di convoluzione tra due funzioni

$f(x)*g(x)=\int _{-\infty }^{\infty }f(\tau )g(x-\tau )d\tau$

gode delle proprietà associativa, distributiva rispetto alla somma e commutativa. Inoltre se $z(x)=f(x)*g(x)$ allora $z(x-x_{0})=f(x-x_{0})*g(x)$. Se due segnali hanno durata limitata la loro convoluzione ha al più durata pari alla somma delle due durate.

L'operazione di convoluzione circolare tra due vettori numerici di uguale dimensione $N$ è simile alla convoluzione tra due funzioni ed è definita come $a[n]*b[n]={\frac {1}{N}}\sum _{k=0}^{N-1}a[k]b[n-k]dk$ dove si considerano i vettori ciclici, ovvero $a[n]=a[n+N]$ e $b[-n]=b[N-n]$

L'operazione di correlazione tra due funzioni $f(x)*g(-x)=\int _{-\infty }^{\infty }f(\tau )g(x+\tau )d\tau$ non gode della proprietà commutativa

Segnali sinusoidali

un ritardo di fase di una sinusoide corrisponde ad un ritardo di tempo dipendente dalla frequenza $\cos(2\pi ft+\theta )=\cos \left(2\pi f\left(t+{\frac {\theta }{2\pi f}}\right)\right)$

Banda di segnali

La banda $B$ di un segnale indica l'intervallo di frequenze positive ('intervallo di banda $B$) in cui lo spettro di ampiezza non è nullo;

Un segnale è passa basso se il suo spettro di ampiezza è concentrato attorno alle basse frequenze, è passa banda se il suo spettro di ampiezza è concentrato attorno ad una frequenza $f_{b}$ diversa da $0$, è passa alto se il suo spettro di ampiezza è piccolo nelle basse frequenze ed elevato per valori di frequenza infinitamente grandi (i segnali passa banda non esistono in natura).

per i segnali naturali si definisce la banda a -3 dB rispetto alla frequenza principale $f_{b}$ del segnale (ovvero la frequenza nulla per i segnali passa basso, oppure la frequenza per cui si ha il massimo dello spettro di ampiezza) come l'intervallo $B$ di frequenze positive per cui

$10\log {\frac {\mid X(f\in B)\mid ^{2}}{\mid X(f_{p})\mid ^{2}}}<-3$

ovvero tutte le frequenze per cui lo spettro di ampiezza è minore di un fattore ${\sqrt {2}}/2$ rispetto allo spettro nella frequenza principale

Densità spettrale di energia e di potenza

Teorema di Parseval

Per un segnale $x(t)$ ad energia finita il teorema di Parseval afferma che

$\int _{-\infty }^{+\infty }\mid x(t)\mid ^{2}dt=\int _{-\infty }^{+\infty }\mid X(f)\mid ^{2}df$

questo teorema è molto usato quando lo spettro di ampiezza del segnale è molto più regolare del segnale stesso e quindi la valutazione dell'integrale presenta meno problemi.

Densità spettrale di energia

la grandezza $E=\mid X(f)\mid ^{2}$ è detta densità spettrale di energia ed ha le seguenti proprietà

• è una funzione reale a valori sempre positivi:

$E_{x(t)}(f)\in \Re \rightarrow \Re \geq 0$

• la densità spettrale di potenza di un segnale reale è una funzione pari:

$E_{x(t)}(f)=E_{x(t)}(-f)$ se $x(t)\in \Re \rightarrow \Re$

• l'energia di un segnale è l'area sottesa alla densità spettrale di potenza:

$E_{x(t)}=\int E_{x(t)}(f)df$

• due segnali che hanno lo stesso spettro di ampiezza e diverso spettro di fase hanno uguale densità spettrale di energia e quindi stessa energia;

$E_{x(t)}=f\left(\mid X(f)\mid \right)$

Densità spettrale di potenza

la densità spettrale di potenza $P(f)$ è definita come limite della densità spettrale di energia del segnale troncato su un intervallo diviso per la durata dell'intervallo che tende all'infinito ed ha le seguenti proprietà:

• è una funzione reale a valori sempre positivi:

$P_{x(t)}(f)\in \Re \rightarrow \Re \geq 0$

• la densità spettrale di potenza di un segnale reale è una funzione pari:

$P_{x(t)}(f)=P_{x(t)}(-f)$ se $x(t)\in \Re \rightarrow \Re$

• la potenza di un segnale è l'area sottesa alla densità spettrale di potenza:

$P_{x(t)}=\int P_{x(t)}(f)df$

Energia mutua

L'energia della somma di due segnali non è in generale pari alla somma delle energia dei segnali,

$E_{x_{1}(t)+x_{2}(t)}=\int x_{1}^{2}(t)dt+\int x_{2}^{2}(t)dt+2\int x_{1}(t)x_{2}(t)dt$

dove l'ultimo integrale è detto energia mutua e per i due segnali è

$E_{x_{1}x_{2}}=\int x_{1}(t)x_{2}(t)dt=x_{1}(t)*x_{2}(-t)\mid _{0}$

l'energia mutua di due segnali corrisponde al valore della loro correlazione in $0$

Se due segnali hanno energia mutua nulla, allora sono detti segnali ortogonali;

Teorema di Parseval generalizzato

Il teorema di Parseval generalizzato afferma che

$\int x_{1}(t)x_{2}(t)dt=\int X(f)Y^{*}(f)df$

quindi due segnali sono ortogonali se sono disgiunti nel tempo oppure in frequenza (ma non solo in questo caso)

Riassunto delle trasformate di Fourier

• Trasformata continua

${\mathcal {F}}[x(t)]=X(f)=\int _{-\infty }^{+\infty }x(t)e^{-j(2\pi f)t}dt$

${\mathcal {F}}^{-1}[X(f)]=x(t)=\int _{-\infty }^{+\infty }X(f)e^{j(2\pi f)t}dt$

• Trasformata serie

$X(kf_{p})={\mathcal {F}}[x(t+pT_{p})]={\frac {1}{T_{p}}}\int _{-T/2}^{+T/2}x(t)e^{-j(2\pi f_{p}k)t}dt$

$x(t+pT_{p})={\mathcal {F}}^{-1}[X(kf_{p})]=\sum _{k=-\infty }^{+\infty }X(kf_{p})e^{j(2\pi f_{p}k)t}$

• Trasformata discreta

$X(f+pf_{s})={\mathcal {F}}[x(nT_{s})]=\sum _{n=-\infty }^{+\infty }x(nT_{s})e^{-j(2\pi f)nT_{s}}$

$x(nT_{s})={\mathcal {F}}^{-1}[X(f+if_{s})]=T_{s}\int _{[f_{s}]}X(f)e^{j(2\pi f)nT_{s}}df$

• Trasformata discreta di una sequenza finita

$X[k+pN]={\mathcal {F}}[x[n+pN]]=\sum _{n=0}^{N-1}x[n]e^{-{\frac {j2\pi n}{N}}k}$ $x[n+pN]={\mathcal {F}}^{-1}[X[k+pN]]={\frac {1}{N}}\sum _{k=0}^{N-1}X[k]e^{{\frac {j2\pi k}{N}}n}$

Relazioni tra le trasformate

la trasformata continua di un segnale periodicizzata per la frequenza di campionamento è uguale alla trasformata discreta del segnale campionato

${\mathcal {F}}[x(nT_{s})]=\sum _{k=-\infty }^{+\infty }\left.{\mathcal {F}}[x(t)]\right|_{f+kf_{s}}$

la trasformata finita di $N$ campioni di un segnale è uguale alla trasformata discreta valutata in $N$ multipli della frequenza di campionamento corrispondenti

${\mathcal {F}}[\left.x(nT_{c})]\right|_{n=0\cdots N-1}=\left.{\mathcal {F}}[x(nT_{c})]\right|_{f={\frac {k}{NT_{c}}}}$

con $k=0\cdots N-1$

la trasformata serie di un segnale periodicizzato è uguale alla trasformata continua del segnale base valutata per multipli della frequenza fondamentale

${\mathcal {F}}[\sum _{i=-\infty }^{+\infty }x(t-iT_{p})]={\frac {1}{T_{p}}}\left.{\mathcal {F}}[x(t)]\right|_{f=kf_{p}}$

la trasformata discreta di un segnale campionato è uguale alla periodicizzazione della trasformata continua del segnale \begin{equation} \TDF{\left. x(t) \right|_{t=nT_{c}}} = f_{c} \sumI{k} X(f-kf_{c}) \end{equation} \`E possibile valutare la trasformata discreta di un segnale $x(nT_{c})$ periodicizzando la trasformata continua di un altro segnale $y(t)$ tale che i campioni dei due segnali coincidano, $y(nT_{c}) = x(nT_{c})$

La trasformata continua di un segnale periodico è uguale alla sua trasformata serie con al posto dei coefficienti della serie delle delte di Dirac centrate nelle frequenze armoniche con energia pari ad essi \begin{equation} \TCF{x(t+iT_{p})} = \TSF{x(t+iT_{p})} \sumI{k} \delta(f - kf_{p}) \end{equation}

Formule di somma di Poisson

la relazione

$\sum _{i=-\infty }^{+\infty }x(t-iT_{c})={\frac {1}{T_{c}}}\sum _{k=-\infty }^{+\infty }X\left({\frac {k}{T_{c}}}\right)e^{j{\frac {2\pi k}{T_{c}}}t}$

è la prima formula di Poisson; mentre l'espressione duale

$\sum _{i=-\infty }^{+\infty }x(iT_{c})e^{j2\pi fiT_{c}}={\frac {1}{T_{c}}}\sum _{k=-\infty }^{+\infty }X\left(f-{\frac {k}{T_{c}}}\right)$

è la seconda formula di Poisson

Segnali sinusoidali

$\cos {\big (}2\pi f_{p}t+\theta {\big )}$

ritardare il segnale di un tempo $t_{r}$ introduce uno sfasamento aggiuntivo $\Delta \theta =-2\pi ft_{r}$

Segnali lineari a tratti

\`E possibile valutare la trasformata di un segnale lineare a tratti calcolando la derivata del segnale, quindi la trasformata della derivata ed utilizzare il teorema dell'integrazione

Per trovare la derivata si percorre il segnale da sinistra a destra, in corrispondenza di una discontinuità si trova una delta di dirac di area pari all'ampiezza della discontinuità, positiva se la funzione è crescente e negativa se è decrescente; in corrispondenza di un tratto lineare si trova una $\rect{t}{\cdot}$ di altezza pari alla pendenza del tratto

Sistemi a tempo continuo

Descrizione generale

\`E possibile descrivere un sistema monodimensionale con un funzionale $S\{\cdot\}$ che ad un segnale in ingresso $x(t)$ fa corrispondere un segnale in uscita $y(t)$: in generale $y(t)=S\{x(t),t\}$.

un sistema è \begin{itemize} \item \emph{stazionario} o \emph{tempo-invariante} se $y(t-t_{0}) = S\{x(t-t_{0})\}$ \item \emph{causale} se $y(t) = S\{x(t)u(-t), t\}$ \item \emph{senza memoria} se $y(t_{0}) = S\{x(t_{0})\}$ \item lineare se $y(t) = S\{x_{1}(t),t\} + S\{x_{2}(t),t\}$ per $x(t) = x_{1}(t) + x_{2}(t)$ \end{itemize}

Un sistema che è anche stazionario può essere descritto da una funzione detta \emph{caratteristica ingresso-uscita} tale che $y(t) = g(x(t))$.

Sistemi stazionari lineari

Si dicono \emph{sistemi lineari stazionari} (SLS) (......)

La \emph{risposta in frequenza} di un SLS è definita come \begin{equation} H(f) = \frac{Y(f)}{X(f)} \end{equation}

è può essere ricavata anche: \begin{itemize} \item come variazione del modulo e della fase di un'oscillazione sinusoidale in ingresso \begin{equation} H(f) = \left. \frac{y(t)}{x(t)} \right|_{x(t) = \e{j 2 \pi f t}} \end{equation} poiché la \emph{risposta ad una cosinusoide} $x(t) = A\cos(2 \pi f_{p} t + \phi)$ è \begin{equation} y(t) = \big( A \cdot \mid H(f) \mid \big)

       \cos\big(2 \pi f_{p} t + \phi + \angle H(f) \big)

\end{equation} questa definizione si presta ad una valutazione sperimentale della risposta in frequenza di un SLS, è sufficiente mandare in ingresso al sistema oscillazioni sinusoidali a frequenze differenti e misurare modulo e fase dell'uscita rispetto all'ingresso, ricavando $H(f)$ per ogni frequenza desiderata

\item come trasformata di Fourier della risposta impulsiva \begin{equation} H(f) = \TCF{h(t)} \end{equation}

\item come trasformata della derivata della \emph{risposta al gradino} $h_{g}(t)$ \begin{equation} h_{g}(t) = \left. \frac{y(t)}{x(t)} \right|_{x(t) =

      \left\{ \begin{array}{cl}
      0 & \mbox{per $t < 0$} \\ 
      1 & \mbox{per $t \geq 0$} \\
      \end{array} \right. }

\end{equation} \begin{equation} H(f) = \TCF{\frac{d h_{g}(t)}{dt} } \end{equation} \end{itemize}

Proprietà

Un sistema lineare stazionario è: \begin{itemize} \item \emph{Causale} se la sua risposta impulsiva è nulla per valori del tempo negativi: \begin{displaymath} h(t) = 0 \phantom{20} \mbox{per $t<0$} \end{displaymath} \item \emph{Stabile BIBO} se la sua risposta impulsiva è assolutamente integrabile \begin{displaymath} \intI \mid h(t) \mid dt < +\infty \end{displaymath} \end{itemize}

Sistemi non lineari

\`E possibile studiare più facilmente un sistema che ha una caratteristica non lineare se è possibile approssimare $g( )$ nell'intorno di un punto di equilibrio $t_{E}$. Supponiamo che si ottenga un'approssimazione accettabile limitandosi al termine quadratico della serie di Taylor, quindi \begin{equation} y(t) = \left. g(x(t_{E})) + \frac{dg}{dx} \right|_{x = x(t_{E})} \end{equation}

Filtri

Un filtro ideale è un sistema lineare stazionario che ha funzione di trasferimento pari ad $1$ in un intervallo di banda $\iB_{p}$ detto \emph{banda passante del filtro} e nulla altrove (\emph{banda oscura del filtro} $\iB_{o}$) \begin{equation} H(f) = \left\{ \begin{array}{cl} 1 & \mbox{per $f \in \iB_{p}$} \\ 0 & \mbox{per $f \in \iB_{o}$} \\ \end{array} \right. \end{equation}

i principali filtri ideali sono: \begin{itemize} \item \emph{filtro ideale passa basso} a banda $\B$ è \begin{equation} H_{LP}(f) = \left\{ \begin{array}{cl} 1 & \mbox{per $f \leq \B$} \\ 0 & \mbox{per $f > \B$} \\ \end{array} \right. \end{equation}

\item \emph{filtro ideale passa alto} a banda $\B$ è \begin{equation} H_{HP}(f) = \left\{ \begin{array}{cl} 1 & \mbox{per $f \geq \B$} \\ 0 & \mbox{per $f < \B$} \\ \end{array} \right. \end{equation}

\item \emph{filtro ideale passa banda} a frequenza $f_{b}$ e banda $\B$ è \begin{equation} H_{BP}(f) = \left\{ \begin{array}{cl} 1 & \mbox{per $\mid f-f_{b} \mid \leq \B$} \\ 0 & \mbox{altrove} \\ \end{array} \right. \end{equation} \end{itemize}

====Filtri reali} Un filtro che ha risposta in frequenza assolutamente integrabile \begin{displaymath} \intI H(f) df < +\infty \end{displaymath} per essere fisicamente realizzabile deve soddisfare la \emph{condizione di Paley}: la sua risposta in frequenza deve essere tale che \begin{equation} \intI \frac{\big| \ln |H(f)| \big|}{1 + (2 \pi f)^{2}} df < \infty \end{equation} cioè può essere nulla solo per un insieme di misura nulla (solo in punti isolati) e può crescere o decrescere al massimo quanto un esponenziale al quadrato (???)

====Distorzioni sul segnale} Un filtro \emph{non introduce distorzioni} sul segnale in uscita rispetto al segnale in ingresso se ha risposta in ampiezza costante e risposta in fase lineare, ovvero \begin{equation} H(f) = A \e{-j 2 \pi f t_{r}} \phantom{2} h(t) = A \delta(t - t_{r}) \end{equation} un filtro di questo tipo introduce un ritardo $t_{r}$ sul segnale e varia l'ampiezza del segnale di un fattore costante $A$

si hanno delle \emph{distorsioni lineari} del segnale quando nello spettro del segnale in uscita non sono presenti delle componenti frequenziali che c'erano nello spettro del segnale in ingresso; si hanno delle \emph{distorsioni non lineari} del segnale quando nello spettro del segnale in uscita sono presenti delle componenti frequenziali che non c'erano nello spettro del segnale in ingresso (ad esempio se il sistema è non lineare oppure tempovariante)

Se il segnale in ingresso è a banda limitata, allora è sufficiente che il filtro abbia guadagno costante e risposta in fase lineare nella banda del segnale, ovvero i punti corrispondenti alle frequenze appartenenti alla banda del segnale devono appartenere ad una retta parallela all'asse delle frequenze nella la risposta in ampiezza e ad una retta passante per l'origine nella risposta in fase

====Effetto di un filtro sul segnale} Se il segnale in ingresso ad un filtro $h(t)$ è $x(t)$ ed il segnale in uscita è $y(t)$ si hanno le seguenti relazioni \begin{equation} \left\{ \begin{array}{l} \mid Y(f) \mid \phantom{1} = \phantom{1} \mid X(f) \mid \cdot \mid H(f) \mid \\ \angle Y(f) = \angle X(f) + \angle H(f) \\ \end{array} \right. \end{equation} \begin{equation} \dsP_{y(t)} = \dsP_{x(t)} \mid H(f) \mid^{2} \end{equation} \begin{equation} \dsE_{y(t)} = \dsE_{x(t)} \mid H(f) \mid^{2} \end{equation} che è detta \emph{relazione fondamentale del filtraggio}

===Modulatori e demodulatori} Sono usati per alzare la frequenza di un segnale per poterlo trasmettere in un mezzo che blocca le basse frequenze; sono sistemi lineari ma non tempo-invarianti

====Modulazione DSB} un \emph{modulatore coerente DSB} (duble side band) è un sistema che moltiplica un segnale per una cosinusoide a frequenza elevata $f_{pM}$, se il segnale in ingresso è passa-basso a banda $\B_{x}$ e la \emph{frequenza portante} $f_{pM}$ è sufficientemente elevata il segnale in uscita è un segnale passa-banda centrato alla frequenza della cosinusoide \begin{equation} y(t) = x(t) \cos(2 \pi f_{pM}) \end{equation} \begin{displaymath} Y(f) = X(f) \conv \frac{\delta(f-f_{pM}) + \delta(f-f_{pM}) }{2}

    = \frac{X(f-f_{pM}) + X(f+f_{pM})}{2}

\end{displaymath}

Un \emph{demodulatore coerente DSB} compie l'operazione inversa al modulatore ricreando il segnale passa-basso originario, moltiplicando il segnale modulato per una cosinusoide alla stessa frequenza del modulatore e quindi filtrando il segnale in banda base \begin{equation} x(t) = y(t) \cos(2\pi f_{pM} t) \conv 2\B_{x} \sinc (\B_{x}t) \end{equation} \begin{displaymath} X(f) = \left( Y(f) \conv \frac{\delta(f-f_{pM}) + \delta(f+f_{pM})}{2} \right)

      \rect{f}{2\B_{x}}

\end{displaymath}

====Modulazione SSB} la modulazione DSB raddoppia la banda utilizzata dal segnale, è possibile però utilizzare in teoria la metà della banda senza perdere informazione in quanto un modulatore DSB trasmette anche una replica identica della banda del segnale che può essere eliminata con il filtraggio, oppure si può usare un \emph{modulatore SSB} \begin{equation} y(t) = x(t) 2\cos(2 \pi f_{pM} t) \pm

      \left( x(t) \conv \TCFI{-j \sgn{f}} \right) 2 \sin(2 \pi f_{pM} t)

\end{equation} scegliendo nella formula il segno $+$ si ha un \emph{modulatore SSB UB} (upper band, ovvero trasmette solo la banda modulata a frequenza maggiore); scegliendo nella formula il segno $-$ si ha un \emph{modulatore SSB LB} (lower band, ovvero trasmette solo la banda modulata a frequenza minore)