Teoria dei segnali/Segnali nel tempo

Wikibooks, manuali e libri di testo liberi.

Sommario
Categoria · Sviluppo · modifica il template

Segnali nel tempo · Segnali in frequenza · Analisi dei segnali · Campionamento dei segnali · Segnali aleatori e processi stocastici

Indice

[modifica] Segnali nel tempo

[modifica] Segnali a tempo continuo

Un segnale a tempo continuo (o segnale continuo) è una funzione che associa ad ogni istante t \in \Re un valore; x(t) : \Re \rightarrow \Re è un segnale analogico; un segnale a tempo continuo i cui valori sono tutti multipli interi di un valore minimo è detto segnale quantizzato; se il segnale è definito solo in un intervallo di tempo limitato, allora si suppone nullo al di fuori di questo intervallo


[modifica] Proprietà elementari

Energia normalizzata del segnale

E _{x(t)} = \int \mid x(t) \mid ^{2} dt

Potenza normalizzata del segnale

P _{x(t)} = \lim_{T \rightarrow +\infty} \frac{1}{T} \int_{-T/2}^{+T/2} \mid x(t) \mid ^{2} dt

Un segnale a energia finita ha potenza nulla, un segnale a potenza finita ha energia infinita

Per normalizzato si intende che la potenza e l'energia sono riferite convenzionalmente ad una impedenza unitaria (che quindi non appare nelle formule)

Valor medio del segnale

M_{x(t)} = \lim_{T \rightarrow +\infty} \frac{1}{T} \int_{-T/2}^{+T/2} \mid x(t) \mid dt

Se un segnale ha durata limitata allora potenza, energia e valor medio sono valutati solo nell'intervallo di esistenza del segnale, invece che per tutti i valori reali del tempo (altrimenti avrebbero sempre valore nullo)

La durata di un segnale corrisponde all'intervallo di tempo in cui il segnale è definito,

l'ampiezza di un segnale corrisponte all'intervallo di valori che questo assume

Un segnale a tempo continuo è periodico} se esiste un valore minimo Tp tale che x(t) = x(t + iTp'') per ogni t, Tp è detto periodo ed il suo inverso fp = 1 / Tp è detta frequenza fondamentale; se questa proprietà non è soddisfatta un segnale si dice in generale aperiodico

La potenza di un segnale periodico può essere valutata più semplicemente come

P_{x(t + iT_{p})} = \frac{1}{T_{p}} \int _{[T_{p}]} \mid x(t) \mid ^{2} dt

un segnale periodico (che non sia sempre nullo) ha energia infinita

Anche la valutazione del valore medio può essere semplificata

M_{x(t + iT_{p})} = \frac{1}{T_{p}} \int _{[T_{p}]} x(t) dt

[modifica] Segnali comuni

Diamo qui le espressioni analitiche di alcuni segnali a tempo continuo che si ritrovano comuneemente.


  • Gradino unitario

grad(t)= \left\{ \begin{matrix} 1, & \mbox{per }t>0 \\ 1/2, & \mbox{per } t=0 \\ 0, & \mbox{per }t<0 \end{matrix} \right.

  • Segno

sgn(t) = \left\{ \begin{matrix} 1, & \mbox{per } t > 0 \\ 0 & \mbox{per } t = 0 \\ -1 & \mbox{per } t < 0 \end{matrix} \right.

  • Costante

x(t) = A

  • Esponenziale unilatero

Si è verificato un errore nel parsing (funzione sconosciuta\e): \left\{ \begin{array}{lcl} \e{-\frac{t}{\tau}} & \mbox{per <math>t \geq 0 } \\

    0 & \mbox{per t < 0} \\
    \end{array}

\right. </math>

  • Esponenziale bilatero

Si è verificato un errore nel parsing (funzione sconosciuta\e): \e{-\frac{\mid t \mid}{\tau}}


  • Esponenziale complesso

Si è verificato un errore nel parsing (funzione sconosciuta\e): \e{-j 2 \pi f_{0} t}


  • Cosinusoide di frequenza fp e fase θ

cos(2πfpt + θ)

  • Impulso rettangolare di ampiezza unitaria e durata τ

Si è verificato un errore nel parsing (funzione sconosciuta\rect): \rect{t}{\tau} = \left\{ \begin{array}{ll} 1 & \mbox{per <math>\mid t \mid \leq \tau/2 } \\

       0 & \mbox{altrimenti}
       \end{array}

\right. </math>

  • Impulso triangolare di ampiezza unitaria e durata 2τ

Si è verificato un errore nel parsing (funzione sconosciuta\tri): \tri{t}{\tau} = \left( 1 - \frac{t}{\tau} \right) \rect{t}{2\tau} = \left\{ \begin{array}{ll} \frac{1}{\tau} \left( 1 - \frac{\mid t \mid}{\tau} \right) & \mbox{per <math>\mid t \mid \leq\tau } \\

       0 & \mbox{altrimenti}
       \end{array}

\right. </math>

[modifica] Segnali a tempo discreto

Un segnale a tempo discreto} (o segnale discreto) è definito solo per alcuni valori del tempo multipli di un \emphasize{intervallo di segnalazione} Si è verificato un errore nel parsing (errore di sintassi): T_{s'' , il suo insieme di esistenza è quindi numerabile, Si è verificato un errore nel parsing (funzione sconosciuta\Int): x(nT_{s}) : \Int \rightarrow \Re


Si può sottintendere l'intervallo di segnalazione e trattare i segnali discreti come sequenze numeriche x[n](ovvero come vettori numerici)

Un segnale a tempo discreto i cui valori sono tutti multipli interi di un valore minimo è detto segnale digitale


[modifica] Proprietà fondamentali

Alcune proprietà dei segnali discreti differiscono nella loro definizione dalle corrispondenti proprietà dei segnali continui Energia normalizzata del segnale E_{x[n]} = \sum _{n = -\infty} ^{+\infty} x^{2}[n]

Potenza normalizzata del segnale P_{x[n]} = \lim_{N \rightarrow +\infty} \frac{1}{2N-1} \sum_{n = -N}^{+N} x^{2}[n]

Un segnale a tempo discreto è periodico} se esiste un valore minimo Si è verificato un errore nel parsing (funzione sconosciuta\Int): N_{p} \in \Int

tale che Si è verificato un errore nel parsing (errore di sintassi): x[n] = x[n + iN_{p'']
per ogni n

La potenza di un segnale periodico può essere valutata più semplicemente come P_{x[n+iN_{p}]} = \frac{1}{N} \sum _{n = 0} ^{N-1} x^{2}[n] dt

[modifica] Segnali comuni

Se si restringe la definizione dei segnali a tempo continuo per t = nTs, si ottengono i corrispondenti segnali a tempo discreto


  • Gradino unitario a tempo discreto

Si è verificato un errore nel parsing (funzione sconosciuta\dgra): \dgra{n} = \left\{ \begin{array}{ll} 1 & \mbox{per <math>n \geq 0 } \\

       0 & \mbox{per n < 0} \\
       \end{array}

\right. </math>

Delta di Kroncker Si è verificato un errore nel parsing (errore lessicale): \delta[n] = \left\{ \begin{array}{ll} 1 & \mbox{per <math>n = 0 } \\

       0 & \mbox{per n \not= 0} \\
       \end{array}

\right. </math>


  • Segno

Si è verificato un errore nel parsing (funzione sconosciuta\dsgn): \dsgn{n} = \left\{ \begin{array}{ll} 1 & \mbox{per <math>n \geq 0 } \\

       -1 & \mbox{per n < 0} \\
       \end{array}

\right. </math>

  • Impulso rettangolare di ampiezza unitaria e durata N

Si è verificato un errore nel parsing (funzione sconosciuta\drect): \drect{n}{N} = \left\{ \begin{array}{ll} 1 & \mbox{per <math>0 \leq n \leq N-1 } \\

       0 & \mbox{altrove}
       \end{array}

\right. </math>

Ricavato da "http://it.wikibooks.org/wiki/Teoria_dei_segnali/Segnali_nel_tempo"
Strumenti personali