Algebra vettoriale/Caratteristiche dei vettori

Rappresentazione dei vettori

Se Q e P sono due qualsiasi punti dello spazio, il segmento di linea orientato da Q a P localizza la posizione del punto P rispetto al punto Q. Tale segmento di linea orientato si denomina vettore posizione. È l'esempio più semplice di una quantità vettoriale. Graficamente rappresentiamo il vettore posizione da Q a P con una freccia che corre da Q a P come mostrato in figura. La lunghezza della freccia fornisce la grandezza della distanza da Q a P mentre il senso della freccia indica la direzione da Q a P. Seguendo l'esempio del vettore posizione rappresentiamo qualsiasi quantità vettoriale (per esempio, velocità, forza..) con una freccia di lunghezza proporzionale alla grandezza della quantità e puntante nella stessa direzione del vettore.

Una opportuna convenzione viene adottata per denotare una quantità vettoriale- Nei lavori tipografici viene usualmente indicata da una lettera in grassetto. Per esempio, la lettera r può essere usata per il vettore posizione, la lettera V per il vettore velocità e così via di seguito. Per iscritto, è consuetudine porre una freccia o una barra al di sopra della lettera che denota una quantità vettoriale. Pertanto, per un vettore posizione si scrive ${\vec {\mathcal {r}}}$ per un vettore velocità ${\vec {\mathcal {V}}}$ e così di seguito. Se si desidera evidenziare che un segmento di retta orientato da un punto Q ad un punto P rappresenta una certa quantità vettoriale, talvolta si usa la notazione ${\vec {\mathcal {QP}}}$ per denotarne il vettore.
La grandezza di un vettore A è denotata da |A| o semplicemente dalla lettera A.
Due vettori A e B sono uguali se la grandezza di A è uguale alla grandezza di B e se la direzione di A è la stessa della direzione di B. Pertanto, un vettore non cambia se viene spostato parallelamente a se stesso. Ciò significa che genericamente la posizione di un vettore nello spazio può venire scelta arbitrariamente. Tuttavia, in certe applicazioni (come nel calcolo del momento di una forza), il punto effettivo di ubicazione può essere importante. Un vettore, quando applicato in un particolare punto. è noto come vettore vincolato. Altrimenti è noto come vettore libero.
Quando due o più vettori sono paralleli alla medesima linea, si dice che sono collineari. Quando siano paralleli ad uno stesso piano si dice che sono complanari.

Addizione e sottrazione

Siano P e Q due punti nello spazio e siano ${\vec {\mathcal {OP}}}$ e ${\vec {\mathcal {OQ}}}$ i rispettivi vettori posizione da un punto di riferimento O. ${\vec {\mathcal {PQ}}}$ designa il vettore da P a Q. Da O il punto Q può essere raggiunto lungo il vettore ${\vec {\mathcal {OQ}}}$ o, alternativamente, lungo il vettore ${\vec {\mathcal {OP}}}$ a P e poi lungo il vettore ${\vec {\mathcal {PQ}}}$ a Q. ${\vec {\mathcal {OQ}}}$ viene definito come la somma dei vettori ${\vec {\mathcal {OP}}}$ e ${\vec {\mathcal {PQ}}}$ . Conseguentemente scriviamo
$\ \ \ \ \ \ \ {\vec {\mathcal {OQ}}}$ = ${\vec {\mathcal {OP}}}$ + ${\vec {\mathcal {PQ}}}$

Il concetto di addizione è applicabile alle quantità vettoriali oltre che al vettore posizione. Se ${\vec {\mathcal {AeB}}}$ sono due qualsiasi vettori, è possibile rappresentarli con delle frecce tracciate talché il punto iniziale di B coincida con il punto terminale di A. Allora, il vettore somma ${\vec {\mathcal {A}}}$ è dato dal vettore ${\vec {\mathcal {C}}}$ che si estende dal punto iniziale di ${\vec {\mathcal {A}}}$ al punto terminale ${\vec {\mathcal {B}}}$ . Nello stesso modo ${\vec {\mathcal {A}}}$ può venire aggiunto a ${\vec {\mathcal {B}}}$ e la somma ${\vec {\mathcal {A}}}$ + ${\vec {\mathcal {B}}}$ viene ottenuta come indicato nella figura.

Somma di due vettori con la legge del parallelogrammo

Assiemando le figure, che sono triangoli uguali, otteniamo un parallelogramma come viene mostrato nello spazio accanto. I vettori tracciati da una origine comune formano i lati del parallelogrammo. La diagonale ${\vec {\mathcal {C}}}$ tracciata dall'origine comune rappresenta la somma ${\vec {\mathcal {A}}}$ + ${\vec {\mathcal {B}}}$ oppure la somma ${\vec {\mathcal {B}}}$ + ${\vec {\mathcal {A}}}$ .

Pertanto, si dice che i vettori sono stati sommati in accordo con la legge del parallelogrammo. Una applicazione continua della legge del parallelogrammo determina la somma di qualunque numero di vettori

Poiché ${\vec {\mathcal {A+B}}}$ = ${\vec {\mathcal {B+A}}}$ , i vettori possono essere sommati in qualsiasi ordine possibile. Quindi, l'addizione vettoriale è commutativa.

${\vec {\mathcal {C}}}$ tracciata dall'origine comune rappresenta la somma ${\vec {\mathcal {A}}}$ + ${\vec {\mathcal {B}}}$ oppure la somma ${\vec {\mathcal {B}}}$ + ${\vec {\mathcal {A}}}$ .

La sottrazione di vettori viene effettuata sulla stessa falsariga della loro somma. Per formare il vettore differenza ${\vec {\mathcal {A}}}$ - ${\vec {\mathcal {B}}}$ si scrive

$\ \ \ \ \ \ \ \ {\vec {\mathcal {A}}}$ - ${\vec {\mathcal {B}}}$ = ${\vec {\mathcal {A}}}$ + ${\vec {\mathcal {(-B)}}}$

e l'operazione di addizione si riduce ad una operazione di addizione. Il vettore negativo ${\vec {\mathcal {(-B)}}}$ è della medesima ampiezza di ${\vec {\mathcal {B}}}$ ma è rivolto nella direzione opposta di ${\vec {\mathcal {B}}}$

Definizione di un vettore

Ora definiamo un vettore come una quantità che possiede sia una grandezza sia una direzione e sottostà alla legge del parallelogrammo dell'addizione. Che obbedisca alla legge del parallelogrammo è importante poiché ci sono delle quantità che hanno sia l'ampiezza che la direzione ma non si aggiungono secondo la legge del parallelogramma. Una rotazione portata a termine di un corpo rigido sebbene possegga grandezza e direzione non è un vettore poiché non ubbidisce alla legge del parallelogrammo. D'altra parte, una rotazione infinitesimale di un corpo rigido è un vettore.

dimostrazione che le rotazioni non sono commutative

Non tutte le grandezze dotate di modulo, direzione e verso sono necessariamente dei vettori. Ad esempio, la rotazione di un corpo rigido attorno ad un particolare asse fisso nello spazio possiede un modulo (l'angolo di rotazione una direzione e un verso (quelli dell'asse); due rotazioni di questo tipo però non si sommano secondo la regola di addizione dei vettori a meno che non si tratti di rotazioni infinitamente piccole. Questo si può controllare facilmente quando i due assi sono perpendicolari fra di loro le rotazioni siano π/2 radianti (90 gradi). Consideriamo un oggetto, per es. una scatola, che sia disposta come nella figura accanto;, facciamoli subire due rotazioni, che chiameremo (1) e (2), la rotazione (1) lo porta nella posizione....... e la successiva rotazione (2) in quella della figura...... Ma se dopo averla riportata nella posizione iniziale, gli applichiamo prima la rotazione (2) e poi la (1) la sua posizione finale sarà quella della figura ...cioè diversa da quella raggiunta prima. Chiaramente la proprietà commutativa della somma vettoriale non è soddisfatta da queste rotazioni e quindi, anche se posseggono modulo, direzione e verso, le rotazioni finite non possono essere rappresentate da vettori.

Moltiplicazione per un numero

Se un vettore è moltiplicato per un numero m, si ottiene un altro vettore, la cui grandezza è m volte maggiore di ${\vec {\mathcal {A}}}$ e la cui direzione è uguale a quella di ${\vec {\mathcal {A}}}$ .

Vettore unitario

Un vettore di lunghezza unitaria (cioè, di grandezza unitaria) è denominato vettore unitario. Considerando un vettore qualsiasi ${\vec {\mathcal {A}}}$ , formate il vettore

$\ \ \ \ \ \ \ \ \ {1 \over A}{\vec {\mathcal {A}}}$

Il risultato è semplicemente un vettore unitario orientato nella direzione di ${\vec {\mathcal {A}}}$ . Denotando il vettore unitario con e_A scriviamo

$\ \ \ \ \ \ \ \ \ {\vec {\mathcal {e}}}_{A}={{\vec {\mathcal {A}}} \over A}$
oppure

$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ {\vec {\mathcal {A}}}=A{\vec {\mathcal {e}}}_{A}$
Ovvero, qualsiasi vettore può venire rappresentato come il prodotto della sua grandezza per un vettore unitario. Un vettore unitario è impiegato per indicare una direzione.

Vettore nullo

Un vettore di grandezza ZERO è denominato vettore nullo. Non possiede alcuna direzione definita.

Prodotto scalare di due vettori

Oltre all'addizione, alla sottrazione e alla moltiplicazione per un numero, due ulteriori operazioni algebriche possono essere definite per le quantità vettoriali, note come prodotto scalare e prodotto vettoriale. Per introdurre il prodotto scalare, richiamerò il concetto di lavoro. Se una forza ${\vec {\mathcal {F}}}$ agisce su un punto di massa, e se in conseguenza di questa azione la massa esperimenta uno spostamento elementare ${\vec {\mathcal {s}}}$ , il lavoro fatto dalla forza è uguale alla proiezione ortogonale della forza lungo la direzione dello spostamento moltiplicata per la grandezza dello spostamento. Se θ èl'anolo fra ${\vec {\mathcal {F}}}$ e ${\vec {\mathcal {S}}}$ , esprimiamo il lavoro fatto come
$\ \ \ \ \ \ \ \ L=|{\vec {\mathcal {F}}}|cos\Theta |{\vec {\mathcal {S}}}|=$ FS cosθ
dove F e S denotano, rispettivamente, la grandezza di ${\vec {\mathcal {F}}}$ e ${\vec {\mathcal {s}}}$ . Il lavoro compiuto, L, è una quantità scalare ottenuta tramite una operazione di moltiplicazione tra due vettori ${\vec {\mathcal {F}}}$ e ${\vec {\mathcal {S}}}$ . Una tale operazione può essere denominata ed essere definita per qualsiasi due vettori. Dato che il risultato è uno scalare, esso è denominato prodotto scalare dei due vettori. Esso è definito come la quantità scalare uguale al prodotto delle grandezze dei vettori per il coseno dell'angolo tra i due vettori. Siano ${\vec {\mathcal {A}}}$ e ${\vec {\mathcal {B}}}$ due vettori. Il loro prodotto scalare è indicato con ${\vec {\mathcal {A}}}\cdot {\vec {\mathcal {B}}}$ e si legge A punto B. Cosicché, scriviamo

$\ \ \ \ \ \ \ \ {\vec {\mathcal {A}}}\cdot {\vec {\mathcal {B}}}\equiv |{\vec {\mathcal {A}}}||{\vec {\mathcal {B}}}|cos\Theta \equiv ABcos\Theta$
dove $\Theta$ è l'angolo tra i vettori.
Utilizzando la notazione del prodotto scalare il lavoro effettuato da una forza ${\vec {\mathcal {F}}}$ durante uno spostamento infinitesimale ${\vec {\mathcal {s}}}$ può essere rappresentato da

$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ L={\vec {\mathbf {F} }}\cdot {\vec {\mathbf {s} }}$
Dalla definizione data del prodotto scalare derivano alcuni risultati
$\ \ \ \ \ \$ Poiché ${\vec {\mathcal {A}}}\cdot {\vec {\mathcal {B}}}={\vec {\mathcal {B}}}\cdot {\vec {\mathcal {A}}}$ il prodotto scalare è commutativo.
$\ \ \ \ \ \$ Se i vettori ${\vec {\mathcal {A}}}$ e ${\vec {\mathcal {B}}}$ sono mutuamente ortogonali, il loro prodotto scalare è zero poiché $\Theta ={\pi \over 2}$ e il $\cos \Theta =0$ . Al conttario, se il prodotto scalare ${\vec {\mathcal {A}}}\cdot {\vec {\mathcal {B}}}=0$ ne consegue che o i vettori siano mutuamente ortogonali o che uno di loro sia uguale a 0.
$\ \ \ \ \ \$ Se due vettori ${\vec {\mathcal {A}}}$ e ${\vec {\mathcal {B}}}$ sono paralleli l'un l'altro, il loro prodotto scalare semplicemente diventa uguale al prodotto delle loro grandezze.
$\ \ \ \ \ \$ Il prodotto scalare di un vettore per se stesso è uguale al quadrato della sua grandezza. Pertanto abbiamo
$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ {\vec {\mathcal {A}}}\cdot {\vec {\mathcal {B}}}=AA=A^{2}$

${\vec {\mathcal {A}}}\cdot {\vec {\mathcal {A}}}$ talvolta viene rappresentato con ${\vec {\mathcal {A}}}^{2}$
La proiezione su una direzione qualsiasi ${\vec {\mathcal {e}}}$ di un vettore ${\vec {\mathcal {A}}}$ fornita dal prodotto ${\vec {\mathcal {A}}}\cdot {\vec {\mathcal {e}}}$ .

Prodotto vettoriale di due vettori

Per introdurre questo prodotto consideriamo il concetto di momento di una forze. Congetturiamo di volere descrivere il momento attorno ad un punto O di una forza ${\vec {\mathcal {F}}}$ che agisce su un punto P. Per descrivere compiutamente il momento devono essere dati la grandezza e la direzione: ovvero dobbiamo specificare una grandezza vettoriale. Specifichiamo il momento con M. Per definizione la grandezza del momento è uguale al prodotto della grandezza della forza e della minima distanza dal punto di riferimento alla linea di azione della forza (il cosiddetto braccio di leva). Indicando queste grandezze rispettivamente con M, F e l si ha
$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ M=Fl$
If ${\vec {\mathcal {r}}}$ indica il vettore ${\vec {\mathcal {OP}}}$ e $\Theta$ l'angolo fra ${\vec {\mathcal {r}}}$ e ${\vec {\mathcal {F}}}$ misurato in maniera che $0\leq \Theta \leq \pi$ , la misura del momento diventa
$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ M=Fr\sin \Theta$ .

La direzione del momento è quella di una rotazione attorno al punto O nel piano formato dai vettori ${\vec {\mathcal {r}}}$ e ${\vec {\mathcal {F}}}$ . Tracciando i vettori ${\vec {\mathcal {r}}}$ e ${\vec {\mathcal {F}}}$ dalla comune origine O, si osserva che la direzione della rotazione causata dal momento tende ad addossare il vettore ${\vec {\mathcal {r}}}$ al vettore ${\vec {\mathcal {F}}}$ .Per esprimere simbolicamente queste idee, approntiamo per prima sul punto O un asse di rotazione che sia perpendicolare al piano ${\vec {\mathcal {r}}}$ e ${\vec {\mathcal {F}}}$ e che punti nella direzione di avanzamento di una vite destrorsa ruotata nella direzione di rotazione dovuta al momento (cioè, da ${\vec {\mathcal {r}}}$ a ${\vec {\mathcal {F}}}$ ). Lungo questo asse di rotazione, si disegni allora un vettore unitario ${\vec {\mathcal {e_{m}}}}$ e si concordi che esso rappresenti la direzione del vettore momento ${\vec {\mathcal {M}}}$ . Pertanto, si scriva

$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ {\vec {\mathcal {M}}}$ = $Fr\sin \Theta {\vec {\mathcal {e_{m}}}}$

e lo si rappresenti come nella figura.

Il vettore momento, conformemente alla equazione xxx, può essere considerato come risultato di un certo tipo di prodotto tra due altri vettori. Pertanto l'equazione xxx può essere la base per definire un prodotto tra due vettori. Poiché il risultato di un tale prodotto è un vettore, può essere chiamato il prodotto vettoriale ed essere definito come segue
Il prodotto vettoriale di due vettori ${\vec {\mathcal {A}}}$ e ${\vec {\mathcal {B}}}$ è un vettore ${\vec {\mathcal {C}}}$ , la cui grandezza è uguale al prodotto delle grandezze di ${\vec {\mathcal {A}}}$ e ${\vec {\mathcal {B}}}$ per il seno dell'angolo misurato da ${\vec {\mathcal {A}}}$ a ${\vec {\mathcal {B}}}$ tale che $0\leq \Theta \leq \pi$ , e la cui direzione e specificata dalla condizione che ${\vec {\mathcal {C}}}$ sia perpendicolare al piano dei vettori ${\vec {\mathcal {r}}}$ a ${\vec {\mathcal {F}}}$ ) e che punti nella direzione di avanzamento di una vite destrorsa

per portare ${\vec {\mathcal {A}}}$ verso ${\vec {\mathcal {B}}}$ .

Il prodotto vettoriale viene normalmente denotato scrivendo i vettori con interposta una croce come
$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ {\vec {\mathcal {A}}}$ X ${\vec {\mathcal {B}}}$
e si legge ${\vec {\mathcal {A}}}$ vettore ${\vec {\mathcal {B}}}$ .

Usando la notazione del prodotto vettoriale, l'equazione xxx può ora venire abbreviata nella forma

$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ {\vec {\mathcal {M}}}={\vec {\mathcal {r}}}$ X ${\vec {\mathcal {F}}}$
Specifichiamo ora alcuni semplici risultati che conseguono rapidamente dalla definizione del prodotto vettoriale
Il prodotto ${\vec {\mathcal {A}}}$ X ${\vec {\mathcal {B}}}$ e ${\vec {\mathcal {B}}}$ X ${\vec {\mathcal {A}}}$ non sono uguali.
Se due vettori sono paralleli tra loro, il loro prodotto vettoriale è zero. Per contro, se ${\vec {\mathcal {A}}}$ X ${\vec {\mathcal {B}}}=0$ , o due vettori A e B sono paralleli o almeno uno di loro è zero. Ne consegue che il prodotto vettoriale di un vettore per se stesso è zero.

Vettore area

La grandezza del vettore ${\vec {\mathcal {A}}}\times {\vec {\mathcal {B}}}$ è uguale alla area del parallelogramma formata dai vettori ${\vec {\mathcal {A}}}$ e ${\vec {\mathcal {B}}}$ .

Effettivamente, il vettore ${\vec {\mathcal {A}}}\times {\vec {\mathcal {B}}}$ può essere considerato come rappresentante, sia in grandezza che in direzione, dell'area del parallelogramma i cui lati sono ${\vec {\mathcal {A}}}$ e ${\vec {\mathcal {B}}}$ , qualora una area piana possa venire rappresentata come un vettore.

Ora, qualsiasi superficie piana può essere considerata come se possedesse direzione nonché grandezza: il carattere direzionale derivante dalla necessità di specificare l'orientazione nello spazio dell'area piana. È consuetudine di denotare la direzione di una superficie piana tramite un vettore tracciato nella direzione della normale a detto piano. Per stabilire la direzione della normale, per primo determiniamo un dato senso di circolazione lungo il perimetro che costituisce il bordo dell'area piana in questione Dunque, se C è una curva che racchiude un'area S nel pian P e la direzione lungo C viene assegnata come mostrato nella figura, la direzione dell'area è data dal versore ${\vec {\mathcal {n}}}$ normale al piano e orientato come mostrato nella medesima figura. La stessa area può ora venire rappresentata da un vettore ${\vec {\mathcal {S}}}$ la cui grandezza è S e la cui direzione è ${\vec {\mathcal {n}}}$ . Conseguentemente possiamo scrivere simbolicamente

$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ {\vec {\mathcal {S}}}=S{\vec {\mathcal {n}}}$
Stando a queste idee, il prodotto vettoriale ${\vec {\mathcal {A}}}\times {\vec {\mathcal {b}}}$ rappresenta sia in grandezza sia in direzione l'area del parallelogramma i cui lati sono A e B.

Velocità di un punto di un corpo rigido ruotante

Il prodotto vettoriale di due vettori trova molte applicazioni generiche e fisiche. La descrizione del momento di una forza attorno ad un punto è un esempio importante. La descrizione della velocità di un punto di un corpo rigido ruotante in una data direzione è un altro esempio importante che verrà cui considerato. Supponiamo che un corpo rigido stia ruotando in una data direzione con una velocità angolare $\omega$ attorno ad un dato asse. Intendiamo descrivere la velocità di un punto P del corpo.

Si ponga che il vettore ${\vec {\mathcal {V}}}$ denoti la velocità del punto. Ogni punto del corpo descrive un cerchio che giace in un piano perpendicolare all'asse e con il suo centro sul medesimo. Il raggio del cerchio è la distanza perpendicolare dal punto d'interesse all'asse. La grandezza della velocità è uguale semplicemente al prodotto della velocità angolare $\omega$ e del raggio, diciamo a, del cerchio. La velocità ${\vec {\mathcal {V}}}$ , diretta come indicato nella figura, è perpendicolare al raggio ed all'asse di rotazione. Denotando la direzione di \vec{\mathcal{V}} mediante il versore ${\vec {\mathcal {e}}}$ si ottiene

$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ {\vec {\mathcal {V}}}=\omega a{\vec {\mathcal {e}}}$
.

Poniamo cheO sia uno dei punti sull'asse di rotazione e che ${\vec {\mathcal {r}}}$ denoti il vettore posizione ${\vec {\mathcal {OP}}}$ . Se $\theta$ è l'angolo tra ${\vec {\mathcal {r}}}$ e l'asso il raggio a è uguale a rsenθ, r essendo la lunghezza di ${\vec {\mathcal {r}}}$ . Poi dalla ${\vec {\mathcal {V}}}=\omega a{\vec {\mathcal {e}}}$ si ottiene
$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ {\vec {\mathcal {V}}}=\omega r{\vec {\mathcal {e}}}\sin \theta$
.

La velocità angolare, come il momento di una forza, è una grandezza vettoriale che possiede una direzione ed una grandezza e, e come si può verificare, obbedisce alla legge del parallelogramma dell'addizione. La velocità angolare è quindi una grandezza vettoriale che si indica indicata con ω. La direzione di ω, come nel caso del momento, è un senso di rotazione attorno ad un certo asse. Per simboleggiare la velocità angolare tramite un vettore si adotta la convenzione della vite destrorsa. Stando a questa convenzione, la direzione della velocità angolare è data da un versore tracciato lungo l'asse di rotazione e che è rivolto nel senso di avanzamento di una vite destrorsa ruotata nel senso di rotazione attorno all'asse. Indicando questo versore con ${\vec {\mathcal {e_{\omega }}}}$ scriviamo

$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ {\vec {\mathcal {\omega }}}=\omega {\vec {\mathcal {e_{\omega }}}}$

Se ${\vec {\mathcal {e_{r}}}}$ èun vrsosre nella direzione di r, si può osservare che

${\vec {\mathcal {e_{\omega }}}}\times {\vec {\mathcal {e_{r}}}}={\vec {\mathcal {e}}}\sin \theta$

Con questa relazione, l'equazione ${\vec {\mathcal {V}}}=\omega r{\vec {\mathcal {e}}}\sin \theta$ può venire scritta come

$\ \ \ \ \ \ \ \ \ {\vec {\mathcal {V}}}=|{\vec {\mathcal {\omega }}}||{\vec {\mathcal {r}}}|{\vec {\mathcal {e_{\omega }}}}\times \ {\vec {\mathcal {e_{r}}}}=|{\vec {\mathcal {\omega }}}|{\vec {\mathcal {e_{\omega }}}}\times \ |{\vec {\mathcal {r}}}|{\vec {\mathcal {e_{r}}}}$

$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ={\vec {\mathcal {\omega }}}\times \ {\vec {\mathcal {r}}}$

Ciò specifica che la velocità di un punto di un corpo rigido che ruota attorno ad un asse è fornita dal prodotto vettoriale della velocità angolare e del vettore posizione tracciato da qualsiasi punto dell'asse di rotazione al punto in considerazione.

Vettori polare e assiale

Potrebbe essere stato osservato, durante le considerazioni precedenti, che c'è una certa differenza tra i vettori come la velocità angolare ed il momento di una forza ed i vettori come forza, velocità, spostamento ed etc. La differenza tra i due tipi di vettori sta nel modo in cui sono rappresentati dai segmenti di linea orientati (frecce) Nel caso di vettori come forza, velocità, etc., la direzione delle freccia è la direzione vera del vettore che rappresenta. I vettori che possono essere rappresentati in questo modo sono denominati vettori polari. Nel caso di grandezza come velocità angolare e momento la direzione della freccia non è la direzione reale della grandezza che rappresenta. In questo caso la direzione effettiva è quella di una rotazione attorno ad un asse e ciò che abbiamo fatto è di scegliere per rappresentare questa direzione mediante un segmento orientato lungo l'asse di rotazione. Per specificare la direzione di detto segmento si è adottato, naturalmente in modo arbitrario, la regola della mano destra (cioè. la convenzione della vite destrorsa). Rappresentati secondo questo modo sono denominati vettori assiali.

Prodotti multipli

Ci riportiamo al prodotto di vettori. I prodotti di tre vettori sono denominati prodotti tripli Se ${\vec {\mathcal {A}}}$ , ${\vec {\mathcal {B}}}$ e ${\vec {\mathcal {C}}}$ sono tre vettori qualsiasi, i prodotti tripli della forma

$\ \ \ \ \ \ \ \ {\vec {\mathcal {A}}}({\vec {\mathcal {B}}}\cdot {\vec {\mathcal {C}}})\qquad {\vec {\mathcal {A}}}\cdot {\vec {\mathcal {B}}}\times \ {\vec {\mathcal {C}}}\qquad {\vec {\mathcal {A}}}\times \ ({\vec {\mathcal {B}}}\times \ {\vec {\mathcal {C}}})$

sono facilmente definibili. Il prodotto ${\vec {\mathcal {A}}}({\vec {\mathcal {B}}}\cdot {\vec {\mathcal {C}}})$ è semplicemente una moltiplicazione del vettore ${\vec {\mathcal {A}}}$ per un numero.

1)Prodotto triplo scalare.

Il risultato del prodotto ${\vec {\mathcal {A}}}\cdot {\vec {\mathcal {B}}}\times \ {\vec {\mathcal {C}}}$ è uno scalare. Pertanto, un tale prodotto è denominato triplo prodotto scalare. Tracciando i vettori ${\vec {\mathcal {A}}}$ , ${\vec {\mathcal {B}}}$ e ${\vec {\mathcal {C}}}$ da una origine comune, si può facilmente notare che il prodotto ${\vec {\mathcal {A}}}\cdot {\vec {\mathcal {B}}}\times \ {\vec {\mathcal {C}}}$ è di fatto uguale al volume del parallelepipedo formato dai vettori ${\vec {\mathcal {A}}}$ , ${\vec {\mathcal {B}}}$ e ${\vec {\mathcal {C}}}$ . I semplici risultati che seguono sono importanti nelle applicazioni. In un prodotto scalare triplo il punto e la croce possono venire scambiati senza variare il valore del risultato. Simbolicamente si ha
$\qquad \qquad {\vec {\mathcal {A}}}\cdot {\vec {\mathcal {B}}}\times \ {\vec {\mathcal {C}}}={\vec {\mathcal {A}}}\times \ {\vec {\mathcal {B}}}\cdot \ {\vec {\mathcal {C}}}$ .
Una permutazione ciclica dell'ordine dei vettori in un prodotto triplo scalare lascia invariato il prodotto. Ciò è espresso con
$\qquad \qquad {\vec {\mathcal {A}}}\cdot {\vec {\mathcal {B}}}\times \ {\vec {\mathcal {C}}}={\vec {\mathcal {B}}}\cdot {\vec {\mathcal {C}}}\times \ {\vec {\mathcal {A}}}={\vec {\mathcal {C}}}\cdot {\vec {\mathcal {A}}}\times \ {\vec {\mathcal {B}}}$

Ne consegue ulteriormente che
$\qquad \qquad {\vec {\mathcal {A}}}\cdot {\vec {\mathcal {B}}}\times \ {\vec {\mathcal {C}}}=-{\vec {\mathcal {A}}}\cdot {\vec {\mathcal {C}}}\times \ {\vec {\mathcal {B}}}=-{\vec {\mathcal {C}}}\cdot {\vec {\mathcal {B}}}\times \ {\vec {\mathcal {A}}}=-{\vec {\mathcal {B}}}\cdot {\vec {\mathcal {A}}}\times \ {\vec {\mathcal {C}}}$

2)Prodotto triplo vettoriale.
Il risultato del prodotto ${\vec {\mathcal {A}}}\times \ ({\vec {\mathcal {B}}}\times \ {\vec {\mathcal {C}}})$ è un vettore. Pertanto, un tale prodotto si denomina prodotto triplo vettoriale.

Il vettore ${\vec {\mathcal {A}}}\times \ ({\vec {\mathcal {B}}}\times \ {\vec {\mathcal {C}}})$ è normale al piano formato da ${\vec {\mathcal {A}}}$ e ( ${\vec {\mathcal {A}}}\times \ {\vec {\mathcal {B}}}$ ). Tuttavia, il vettore ${\vec {\mathcal {B}}}\times \ {\vec {\mathcal {C}}}$ è anche normale al piano formato dai vettori ${\vec {\mathcal {B}}}\ e\ {\vec {\mathcal {C}}}$ . Ciò significa che il vettore ${\vec {\mathcal {A}}}\times \ ({\vec {\mathcal {B}}}\times \ {\vec {\mathcal {C}}})$ giace nel piano formato da ${\vec {\mathcal {B}}}\ e\ ({\vec {\mathcal {C}}}$ ed è normale ad ${\vec {\mathcal {A}}}$ . Il vettore ${\vec {\mathcal {A}}}\times \ ({\vec {\mathcal {B}}}\times \ {\vec {\mathcal {C}}})$ può, in un tale caso, venire espresso come una combinazione lineare dei ettori ${\vec {\mathcal {B}}}\ e\ {\vec {\mathcal {C}}}$ . Pertanto possiamo scrivere
$\ \ \ \ \ \ \ \ \ {\vec {\mathcal {A}}}\times \ ({\vec {\mathcal {B}}}\times \ {\vec {\mathcal {C}}})=m{\vec {\mathcal {B}}}+n{\vec {\mathcal {C}}}$
in cui m e n sono numeri. È dimostrabile che
$\ \ \ \ \ \ \ \ \ m={\vec {\mathcal {A}}}\cdot {\vec {\mathcal {C}}}\qquad \qquad n=-{\vec {\mathcal {A}}}\cdot {\vec {\mathcal {B}}}$

Quindi abbiamo
$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ {\vec {\mathcal {A}}}\times ({\vec {\mathcal {B}}}\times {\vec {\mathcal {C}}})=({\vec {\mathcal {A}}}\cdot {\vec {\mathcal {C}}}){\vec {\mathcal {B}}}-({\vec {\mathcal {A}}}\cdot {\vec {\mathcal {B}}}){\vec {\mathcal {C}}}$

Dato che il prodotto vettoriale di due vettori cambia di segno quando l'ordine dei vettori viene cambiato, ne consegue che

$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ {\vec {\mathcal {A}}}\times ({\vec {\mathcal {B}}}\times {\vec {\mathcal {C}}})=-{\vec {\mathcal {A}}}\times ({\vec {\mathcal {C}}}\times {\vec {\mathcal {B}}})=({\vec {\mathcal {C}}}\times {\vec {\mathcal {B}}})\times {\vec {\mathcal {A}}}=-({\vec {\mathcal {B}}}\times {\vec {\mathcal {C}}})\times {\vec {\mathcal {A}}}$
I prodotti che coinvolgono più di tre vettori possono essere facilmente valutati in termini di prodotti tripli.