Analisi numerica/Il problema dell'approssimazione

Molti problemi matematici possono essere scritti nella seguente forma

$F(x,d)=0\,$

dove $d$ è l'insieme dei dati, $x$ è la soluzione e $F$ rappresenta il legame tra dati e la soluzione, i quali, a seconda del problema, potranno essere numeri reali, vettori, funzioni o altri oggetti matematici ancora. Ad esempio, nel problema dell'integrazione numerica, $d$ è costituito dalla funzione integranda $f$ e dall'intervallo di integrazione $(a,b)$, $x$ è il valore dell'integrale, mentre $F$ è la relazione

$F(x,d)=x-\int _{a}^{b}f(t)dt$.

Il problema viene detto diretto se $F$ e $d$ sono noti e $x$ è incognito, inverso se $F$ e $x$ sono noti e $d$ è incognito, di identificazione se $d$ e $x$ sono noti e $F$ è incognita.

Risolvere numericamente il problema significa costruire una successione di problemi approssimati $F_{n}(x_{n},d_{n})$ tali per cui $x_{n}\to x$ quando $n$ tende all'infinito. Si vuole cioè costruire una successione di problemi approssimati la cui soluzione esatta converga, in una norma opportuna, alla soluzione del problema originario. Ovviamente, affinché ciò avvenga, è necessario che $d_{n}\to d$ e che $F_{n}$ approssimi $F$ sempre meglio al tendere di $n$ all'infinito. Più precisamente, si richiede che, se $d$ è un dato ammissibile anche per il problema approssimato, sia verificata la seguente condizione, detta condizione di consistenza:

$\lim _{n\to +\infty }F_{n}(x,d)\to 0$.

Un metodo che verifica questa proprietà è detto consistente. Se poi vale $F_{n}(x,d)=0$ per ogni $n$, il metodo viene detto fortemente consistente. Per quanto detto, è evidente che gli unici metodi interessanti dal punto di vista applicativo sono quelli consistenti. Tuttavia, la consistenza da sola non garantisce nulla sulla convergenza della soluzione approssimata a quella esatta. Diremo quindi che un metodo è convergente se

$\lim _{n\to +\infty }||x-x_{n}||=0$,

dove $||\cdot ||$ è una norma opportuna.