Analisi numerica/Il problema dell'approssimazione

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Indice del libro

Molti problemi matematici possono essere scritti nella seguente forma

dove è l'insieme dei dati, è la soluzione e rappresenta il legame tra dati e la soluzione, i quali, a seconda del problema, potranno essere numeri reali, vettori, funzioni o altri oggetti matematici ancora. Ad esempio, nel problema dell'integrazione numerica, è costituito dalla funzione integranda e dall'intervallo di integrazione , è il valore dell'integrale, mentre è la relazione

.

Il problema viene detto diretto se e sono noti e è incognito, inverso se e sono noti e è incognito, di identificazione se e sono noti e è incognita.

Risolvere numericamente il problema significa costruire una successione di problemi approssimati tali per cui quando tende all'infinito. Si vuole cioè costruire una successione di problemi approssimati la cui soluzione esatta converga, in una norma opportuna, alla soluzione del problema originario. Ovviamente, affinché ciò avvenga, è necessario che e che approssimi sempre meglio al tendere di all'infinito. Più precisamente, si richiede che, se è un dato ammissibile anche per il problema approssimato, sia verificata la seguente condizione, detta condizione di consistenza:

.

Un metodo che verifica questa proprietà è detto consistente. Se poi vale per ogni , il metodo viene detto fortemente consistente. Per quanto detto, è evidente che gli unici metodi interessanti dal punto di vista applicativo sono quelli consistenti. Tuttavia, la consistenza da sola non garantisce nulla sulla convergenza della soluzione approssimata a quella esatta. Diremo quindi che un metodo è convergente se

,

dove è una norma opportuna.