Aritmetica modulare/Esercizi

Di seguito sono presentati degli esercizi, con le rispettive soluzioni, divisi per capitoli.

Capitolo 1

1

Trovare:

20 mod 3 =

31 mod 4 =

1895 mod 7 =

43245 mod 13 =

2

Dire quali dei seguenti elementi sono invertibili:

	4 (modulo 8)
	10 (modulo 14)
	12 (modulo 31)
	15 (modulo 35)
	8 (modulo 9)
	438 (modulo 15)

Capitolo 2

• Dimostrare che se $b\equiv 1modd$ allora n è divisibile per d se e solo se lo è la somma delle sue cifre, quando n è scritto in base b.

Soluzione proposta

Chiaramente $b^x\equiv 1modd$ per ogni x naturale; scrivendo n in base b come

$n=a_k\cdot b^k+a_{k-1}\cdot b^{k-1}+\cdots +a_1\cdot b^1+a_0$

e riducendo modulo d si ha

$n\equiv a_k+a_{k-1}+\cdots +a_1+a_0$

e quindi n è diviso da d se e solo se lo è la somma delle sue cifre in base b.

Calcolare usando il piccolo teorema di Fermat o il teorema di Eulero:

$2^{75}mod5$ =

$5^{89}mod7$ =

$4^{90}mod11$ =

$16^{96}mod13$ =

$56681^{123432}mod13$ =

$14^{54}mod10$ =

$26^{32}mod12$ =

$7^{19}mod15$ =

$9^{9}mod6$ =

Capitolo 3

1

Risolvere:

$2x\equiv 3mod5$ =

$3x\equiv 7mod8$ =

$6x\equiv 8mod9$ =

$21x\equiv 7mod28$ =

$8x\equiv 7mod9$ =

$91x\equiv 991mod3$ =

2

Risolvere:

$\{\begin{array}{c}x\equiv 7mod9\\ x\equiv 3mod5\end{array}$ =

$\{\begin{array}{c}x\equiv 2mod3\\ x\equiv 3mod4\\ x\equiv 4mod5\\ x\equiv 5mod6\end{array}$ =

3

Risolvere:

$x^4+3x^2+7x+3mod21$ =

4

Determinare tutti gli x tali che $\varphi (x)$ è dispari.

Capitolo 4

• Dimostrare, usando il solo teorema di Chevalley, che la congruenza

$x^2+y^2\equiv -1modp$

ha soluzione per ogni primo p.

Soluzione proposta

Moltiplichiamo tutto per $z^2$, ottenendo la congruenza $X^2+Y^2+z^2\equiv 0modp$. Questa ha una soluzione in cui non tutte le incognite sono pari a zero, e quindi per simmetria una in cui z è diversa da 0. Sia $(X_0,Y_0,z_0)$ questa soluzione. Allora

$(X_0{z}^{-1},Y_0{z}^{-1})$

è una soluzione della congruenza originaria.

• Trovare tutte le soluzioni della congruenza

$x^2+2y^2-z^2\equiv 0mod3$

Soluzione

(0,0,0), (1,0,1), (1,0,2), (1,1,0), (1,2,0), (2,0,1), (2,0,2), (2,1,0), (2,2,0)

Capitolo 5

Trovare l'ordine moltiplicativo di:

6 mod 11 =

14 mod 25 =

13 mod 43 =

2 mod 15 =

3 mod 63 =

• Sapendo che $2^9\equiv 1mod73$ e $10^8\equiv 1mod73$, trovare una radice primitiva modulo 73.

Soluzione proposta

L'ordine di $2\cdot 10$ è $mcm(9,2)=72=\varphi (73)$, e quindi 20 è radice primitiva.

1

Trovare le radici primitive modulo 23.

2

Sapendo che 2 è una radice primitiva modulo 13, trovare una radice primitiva modulo 169.

• Costruire una tavola di indici modulo 11 a partire dalla radice primitiva 2.

Soluzione

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 (elemento)
0 1 8 2 4 9 7 3 6 5 (indici)

Capitolo 6

• Dimostrare che se a è una radice primitiva modulo un primo p congruo a 1 modulo 4 allora anche p-a è una radice primitiva modulo p.

Soluzione proposta

Le potenze di -a sono le stesse di a, eccettuato il segno: quindi se $(-a{)}^k\equiv 1modp$ allora $a^k\equiv \pm 1modp$. k può essere uguale solo a p-1 o $\frac{p-1}{2}$: in quest'ultimo caso, tuttavia, essendo p è congruo a 1 modulo 4, (p-1)/2 è pari, e quindi si avrebbe anche $a^k\equiv 1modp$, impossibile perché a ha ordine p-1.

1

Elencare i residui quadratici modulo 13.

2

Calcolare:

|type="{}"

$\left(\frac{-26}{73}\right)$ = { -1

Capitolo 7

• Dimostrare che in ${\mathbb{Z}}_p$ ogni elemento è somma di al più due residui quadratici usando il teorema sull'esistenza di infiniti primi in ogni progressione aritmetica.

Soluzione proposta

Sia p un primo dispari, e $a\in {\mathbb{Z}}_p$. Uno tra a, a+p, a+2p, a+3pè congruo a 1 modulo 4; sia b. La progressione aritmetica b+4pk è congrua ad a modulo p; in essa esistono infiniti numeri primi e quindi, in articolare, ne esiste uno: questo, essendo congruo a 1 modulo 4, è somma di due quadrati; sia $P=x^2+y^2$. Ma allora questo vale anche riducendo modulo p; di conseguenza a è somma di due residui quadratici.