Aritmetica modulare/Esercizi

Di seguito sono presentati degli esercizi, con le rispettive soluzioni, divisi per capitoli.

Capitolo 1

1 Trovare:

20 mod 3 =

31 mod 4 =

1895 mod 7 =

43245 mod 13 =

2 Dire quali dei seguenti elementi sono invertibili:

	4 (modulo 8)
	10 (modulo 14)
	12 (modulo 31)
	15 (modulo 35)
	8 (modulo 9)
	438 (modulo 15)

Capitolo 2

• Dimostrare che se Errore del parser (SVG (MathML può essere abilitato tramite plug-in del browser): risposta non valida ("Math extension cannot connect to Restbase.") dal server "http://localhost:6011/it.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle b\equiv 1\mod d} allora n è divisibile per d se e solo se lo è la somma delle sue cifre, quando n è scritto in base b.

Soluzione proposta

Chiaramente Errore del parser (SVG (MathML può essere abilitato tramite plug-in del browser): risposta non valida ("Math extension cannot connect to Restbase.") dal server "http://localhost:6011/it.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle b^x\equiv 1\mod d} per ogni x naturale; scrivendo n in base b come

Errore del parser (SVG (MathML può essere abilitato tramite plug-in del browser): risposta non valida ("Math extension cannot connect to Restbase.") dal server "http://localhost:6011/it.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle n=a_k\cdot b^k+a_{k-1}\cdot b^{k-1}+\cdots+a_1 \cdot b^1+a_0}

e riducendo modulo d si ha

Errore del parser (SVG (MathML può essere abilitato tramite plug-in del browser): risposta non valida ("Math extension cannot connect to Restbase.") dal server "http://localhost:6011/it.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle n\equiv a_k+a_{k-1}+\cdots+a_1+a_0}

e quindi n è diviso da d se e solo se lo è la somma delle sue cifre in base b.

Calcolare usando il piccolo teorema di Fermat o il teorema di Eulero:

Errore del parser (SVG (MathML può essere abilitato tramite plug-in del browser): risposta non valida ("Math extension cannot connect to Restbase.") dal server "http://localhost:6011/it.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle 2^{75}\mod 5} =

Errore del parser (SVG (MathML può essere abilitato tramite plug-in del browser): risposta non valida ("Math extension cannot connect to Restbase.") dal server "http://localhost:6011/it.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle 5^{89}\mod 7} =

Errore del parser (SVG (MathML può essere abilitato tramite plug-in del browser): risposta non valida ("Math extension cannot connect to Restbase.") dal server "http://localhost:6011/it.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle 4^{90}\mod 11} =

Errore del parser (SVG (MathML può essere abilitato tramite plug-in del browser): risposta non valida ("Math extension cannot connect to Restbase.") dal server "http://localhost:6011/it.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle 16^{96}\mod 13} =

Errore del parser (SVG (MathML può essere abilitato tramite plug-in del browser): risposta non valida ("Math extension cannot connect to Restbase.") dal server "http://localhost:6011/it.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle 56681^{123432}\mod 13} =

Errore del parser (SVG (MathML può essere abilitato tramite plug-in del browser): risposta non valida ("Math extension cannot connect to Restbase.") dal server "http://localhost:6011/it.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle 14^{54}\mod 10} =

Errore del parser (SVG (MathML può essere abilitato tramite plug-in del browser): risposta non valida ("Math extension cannot connect to Restbase.") dal server "http://localhost:6011/it.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle 26^{32}\mod 12} =

Errore del parser (SVG (MathML può essere abilitato tramite plug-in del browser): risposta non valida ("Math extension cannot connect to Restbase.") dal server "http://localhost:6011/it.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle 7^{19}\mod 15} =

Errore del parser (SVG (MathML può essere abilitato tramite plug-in del browser): risposta non valida ("Math extension cannot connect to Restbase.") dal server "http://localhost:6011/it.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle 9^{9}\mod 6} =

Capitolo 3

1 Risolvere:

Errore del parser (SVG (MathML può essere abilitato tramite plug-in del browser): risposta non valida ("Math extension cannot connect to Restbase.") dal server "http://localhost:6011/it.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle 2x\equiv 3\mod 5} =

Errore del parser (SVG (MathML può essere abilitato tramite plug-in del browser): risposta non valida ("Math extension cannot connect to Restbase.") dal server "http://localhost:6011/it.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle 3x\equiv 7\mod 8} =

Errore del parser (SVG (MathML può essere abilitato tramite plug-in del browser): risposta non valida ("Math extension cannot connect to Restbase.") dal server "http://localhost:6011/it.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle 6x\equiv 8\mod 9} =

Errore del parser (SVG (MathML può essere abilitato tramite plug-in del browser): risposta non valida ("Math extension cannot connect to Restbase.") dal server "http://localhost:6011/it.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle 21x\equiv 7\mod 28} =

Errore del parser (SVG (MathML può essere abilitato tramite plug-in del browser): risposta non valida ("Math extension cannot connect to Restbase.") dal server "http://localhost:6011/it.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle 8x\equiv 7\mod 9} =

Errore del parser (SVG (MathML può essere abilitato tramite plug-in del browser): risposta non valida ("Math extension cannot connect to Restbase.") dal server "http://localhost:6011/it.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle 91x\equiv 991\mod 3} =

2 Risolvere:

Errore del parser (SVG (MathML può essere abilitato tramite plug-in del browser): risposta non valida ("Math extension cannot connect to Restbase.") dal server "http://localhost:6011/it.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \begin{cases} x\equiv 7\mod 9\\ x\equiv 3\mod 5\end{cases}} =

Errore del parser (SVG (MathML può essere abilitato tramite plug-in del browser): risposta non valida ("Math extension cannot connect to Restbase.") dal server "http://localhost:6011/it.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \begin{cases} x\equiv 2\mod 3\\ x\equiv 3\mod 4 \\ x\equiv 4\mod 5\\ x\equiv 5\mod 6\end{cases}} =

3 Risolvere:

Errore del parser (SVG (MathML può essere abilitato tramite plug-in del browser): risposta non valida ("Math extension cannot connect to Restbase.") dal server "http://localhost:6011/it.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle x^4+3x^2+7x+3\mod 21} =

4 Determinare tutti gli x tali che Errore del parser (SVG (MathML può essere abilitato tramite plug-in del browser): risposta non valida ("Math extension cannot connect to Restbase.") dal server "http://localhost:6011/it.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \phi(x)} è dispari.

Capitolo 4

• Dimostrare, usando il solo teorema di Chevalley, che la congruenza

Errore del parser (SVG (MathML può essere abilitato tramite plug-in del browser): risposta non valida ("Math extension cannot connect to Restbase.") dal server "http://localhost:6011/it.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle x^2+y^2\equiv -1\mod p}

ha soluzione per ogni primo p.

Soluzione proposta

Moltiplichiamo tutto per Errore del parser (SVG (MathML può essere abilitato tramite plug-in del browser): risposta non valida ("Math extension cannot connect to Restbase.") dal server "http://localhost:6011/it.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle z^2} , ottenendo la congruenza Errore del parser (SVG (MathML può essere abilitato tramite plug-in del browser): risposta non valida ("Math extension cannot connect to Restbase.") dal server "http://localhost:6011/it.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle X^2+Y^2+z^2\equiv 0\mod p} . Questa ha una soluzione in cui non tutte le incognite sono pari a zero, e quindi per simmetria una in cui z è diversa da 0. Sia Errore del parser (SVG (MathML può essere abilitato tramite plug-in del browser): risposta non valida ("Math extension cannot connect to Restbase.") dal server "http://localhost:6011/it.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle (X_0,Y_0,z_0)} questa soluzione. Allora

Errore del parser (SVG (MathML può essere abilitato tramite plug-in del browser): risposta non valida ("Math extension cannot connect to Restbase.") dal server "http://localhost:6011/it.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle (X_0z^{-1},Y_0z^{-1})}

è una soluzione della congruenza originaria.

• Trovare tutte le soluzioni della congruenza

Errore del parser (SVG (MathML può essere abilitato tramite plug-in del browser): risposta non valida ("Math extension cannot connect to Restbase.") dal server "http://localhost:6011/it.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle x^2+2y^2-z^2\equiv 0\mod 3}

Soluzione

(0,0,0), (1,0,1), (1,0,2), (1,1,0), (1,2,0), (2,0,1), (2,0,2), (2,1,0), (2,2,0)

Capitolo 5

Trovare l'ordine moltiplicativo di:

6 mod 11 =

14 mod 25 =

13 mod 43 =

2 mod 15 =

3 mod 63 =

• Sapendo che Errore del parser (SVG (MathML può essere abilitato tramite plug-in del browser): risposta non valida ("Math extension cannot connect to Restbase.") dal server "http://localhost:6011/it.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle 2^9\equiv 1\mod 73} e Errore del parser (SVG (MathML può essere abilitato tramite plug-in del browser): risposta non valida ("Math extension cannot connect to Restbase.") dal server "http://localhost:6011/it.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle 10^8\equiv 1\mod 73} , trovare una radice primitiva modulo 73.

Soluzione proposta

L'ordine di Errore del parser (SVG (MathML può essere abilitato tramite plug-in del browser): risposta non valida ("Math extension cannot connect to Restbase.") dal server "http://localhost:6011/it.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle 2\cdot 10} è Errore del parser (SVG (MathML può essere abilitato tramite plug-in del browser): risposta non valida ("Math extension cannot connect to Restbase.") dal server "http://localhost:6011/it.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle mcm(9,2)=72=\phi(73)} , e quindi 20 è radice primitiva.

1 Trovare le radici primitive modulo 23.

2 Sapendo che 2 è una radice primitiva modulo 13, trovare una radice primitiva modulo 169.

• Costruire una tavola di indici modulo 11 a partire dalla radice primitiva 2.

Soluzione

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 (elemento)
0 1 8 2 4 9 7 3 6 5 (indici)

Capitolo 6

• Dimostrare che se a è una radice primitiva modulo un primo p congruo a 1 modulo 4 allora anche p-a è una radice primitiva modulo p.

Soluzione proposta

Le potenze di -a sono le stesse di a, eccettuato il segno: quindi se Errore del parser (SVG (MathML può essere abilitato tramite plug-in del browser): risposta non valida ("Math extension cannot connect to Restbase.") dal server "http://localhost:6011/it.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle (-a)^k\equiv 1\mod p} allora Errore del parser (SVG (MathML può essere abilitato tramite plug-in del browser): risposta non valida ("Math extension cannot connect to Restbase.") dal server "http://localhost:6011/it.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle a^k\equiv\pm 1\mod p} . k può essere uguale solo a p-1 o Errore del parser (SVG (MathML può essere abilitato tramite plug-in del browser): risposta non valida ("Math extension cannot connect to Restbase.") dal server "http://localhost:6011/it.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \frac{p-1}{2}} : in quest'ultimo caso, tuttavia, essendo p è congruo a 1 modulo 4, (p-1)/2 è pari, e quindi si avrebbe anche Errore del parser (SVG (MathML può essere abilitato tramite plug-in del browser): risposta non valida ("Math extension cannot connect to Restbase.") dal server "http://localhost:6011/it.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle a^k\equiv 1\mod p} , impossibile perché a ha ordine p-1.

1 Elencare i residui quadratici modulo 13.

2 Calcolare: |type="{}" Errore del parser (SVG (MathML può essere abilitato tramite plug-in del browser): risposta non valida ("Math extension cannot connect to Restbase.") dal server "http://localhost:6011/it.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \left(\frac{-26}{73}\right)} = { -1

Capitolo 7

• Dimostrare che in Errore del parser (SVG (MathML può essere abilitato tramite plug-in del browser): risposta non valida ("Math extension cannot connect to Restbase.") dal server "http://localhost:6011/it.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \mathbb{Z}_p} ogni elemento è somma di al più due residui quadratici usando il teorema sull'esistenza di infiniti primi in ogni progressione aritmetica.

Soluzione proposta

Sia p un primo dispari, e Errore del parser (SVG (MathML può essere abilitato tramite plug-in del browser): risposta non valida ("Math extension cannot connect to Restbase.") dal server "http://localhost:6011/it.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle a\in\mathbb{Z}_p} . Uno tra a, a+p, a+2p, a+3pè congruo a 1 modulo 4; sia b. La progressione aritmetica b+4pk è congrua ad a modulo p; in essa esistono infiniti numeri primi e quindi, in articolare, ne esiste uno: questo, essendo congruo a 1 modulo 4, è somma di due quadrati; sia Errore del parser (SVG (MathML può essere abilitato tramite plug-in del browser): risposta non valida ("Math extension cannot connect to Restbase.") dal server "http://localhost:6011/it.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle P=x^2+y^2} . Ma allora questo vale anche riducendo modulo p; di conseguenza a è somma di due residui quadratici.