Aritmetica modulare/Esercizi

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Indice del libro

Di seguito sono presentati degli esercizi, con le rispettive soluzioni, divisi per capitoli.

Capitolo 1[modifica]

1 Trovare:

20 mod 3 =

31 mod 4 =

1895 mod 7 =

43245 mod 13 =

2 Dire quali dei seguenti elementi sono invertibili:

4 (modulo 8)
10 (modulo 14)
12 (modulo 31)
15 (modulo 35)
8 (modulo 9)
438 (modulo 15)


Capitolo 2[modifica]

  • Dimostrare che se Errore del parser (SVG (MathML può essere abilitato tramite plug-in del browser): risposta non valida ("Math extension cannot connect to Restbase.") dal server "http://localhost:6011/it.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle b\equiv 1\mod d} allora n è divisibile per d se e solo se lo è la somma delle sue cifre, quando n è scritto in base b.

Calcolare usando il piccolo teorema di Fermat o il teorema di Eulero:

Errore del parser (SVG (MathML può essere abilitato tramite plug-in del browser): risposta non valida ("Math extension cannot connect to Restbase.") dal server "http://localhost:6011/it.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle 2^{75}\mod 5} =

Errore del parser (SVG (MathML può essere abilitato tramite plug-in del browser): risposta non valida ("Math extension cannot connect to Restbase.") dal server "http://localhost:6011/it.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle 5^{89}\mod 7} =

Errore del parser (SVG (MathML può essere abilitato tramite plug-in del browser): risposta non valida ("Math extension cannot connect to Restbase.") dal server "http://localhost:6011/it.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle 4^{90}\mod 11} =

Errore del parser (SVG (MathML può essere abilitato tramite plug-in del browser): risposta non valida ("Math extension cannot connect to Restbase.") dal server "http://localhost:6011/it.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle 16^{96}\mod 13} =

Errore del parser (SVG (MathML può essere abilitato tramite plug-in del browser): risposta non valida ("Math extension cannot connect to Restbase.") dal server "http://localhost:6011/it.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle 56681^{123432}\mod 13} =

Errore del parser (SVG (MathML può essere abilitato tramite plug-in del browser): risposta non valida ("Math extension cannot connect to Restbase.") dal server "http://localhost:6011/it.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle 14^{54}\mod 10} =

Errore del parser (SVG (MathML può essere abilitato tramite plug-in del browser): risposta non valida ("Math extension cannot connect to Restbase.") dal server "http://localhost:6011/it.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle 26^{32}\mod 12} =

Errore del parser (SVG (MathML può essere abilitato tramite plug-in del browser): risposta non valida ("Math extension cannot connect to Restbase.") dal server "http://localhost:6011/it.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle 7^{19}\mod 15} =

Errore del parser (SVG (MathML può essere abilitato tramite plug-in del browser): risposta non valida ("Math extension cannot connect to Restbase.") dal server "http://localhost:6011/it.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle 9^{9}\mod 6} =


Capitolo 3[modifica]

1 Risolvere:

Errore del parser (SVG (MathML può essere abilitato tramite plug-in del browser): risposta non valida ("Math extension cannot connect to Restbase.") dal server "http://localhost:6011/it.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle 2x\equiv 3\mod 5} =

Errore del parser (SVG (MathML può essere abilitato tramite plug-in del browser): risposta non valida ("Math extension cannot connect to Restbase.") dal server "http://localhost:6011/it.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle 3x\equiv 7\mod 8} =

Errore del parser (SVG (MathML può essere abilitato tramite plug-in del browser): risposta non valida ("Math extension cannot connect to Restbase.") dal server "http://localhost:6011/it.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle 6x\equiv 8\mod 9} =

Errore del parser (SVG (MathML può essere abilitato tramite plug-in del browser): risposta non valida ("Math extension cannot connect to Restbase.") dal server "http://localhost:6011/it.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle 21x\equiv 7\mod 28} =

Errore del parser (SVG (MathML può essere abilitato tramite plug-in del browser): risposta non valida ("Math extension cannot connect to Restbase.") dal server "http://localhost:6011/it.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle 8x\equiv 7\mod 9} =

Errore del parser (SVG (MathML può essere abilitato tramite plug-in del browser): risposta non valida ("Math extension cannot connect to Restbase.") dal server "http://localhost:6011/it.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle 91x\equiv 991\mod 3} =

2 Risolvere:

Errore del parser (SVG (MathML può essere abilitato tramite plug-in del browser): risposta non valida ("Math extension cannot connect to Restbase.") dal server "http://localhost:6011/it.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \begin{cases} x\equiv 7\mod 9\\ x\equiv 3\mod 5\end{cases}} =

Errore del parser (SVG (MathML può essere abilitato tramite plug-in del browser): risposta non valida ("Math extension cannot connect to Restbase.") dal server "http://localhost:6011/it.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \begin{cases} x\equiv 2\mod 3\\ x\equiv 3\mod 4 \\ x\equiv 4\mod 5\\ x\equiv 5\mod 6\end{cases}} =

3 Risolvere:

Errore del parser (SVG (MathML può essere abilitato tramite plug-in del browser): risposta non valida ("Math extension cannot connect to Restbase.") dal server "http://localhost:6011/it.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle x^4+3x^2+7x+3\mod 21} =

4 Determinare tutti gli x tali che Errore del parser (SVG (MathML può essere abilitato tramite plug-in del browser): risposta non valida ("Math extension cannot connect to Restbase.") dal server "http://localhost:6011/it.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \phi(x)} è dispari.


Capitolo 4[modifica]

  • Dimostrare, usando il solo teorema di Chevalley, che la congruenza
Errore del parser (SVG (MathML può essere abilitato tramite plug-in del browser): risposta non valida ("Math extension cannot connect to Restbase.") dal server "http://localhost:6011/it.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle x^2+y^2\equiv -1\mod p}

ha soluzione per ogni primo p.

  • Trovare tutte le soluzioni della congruenza
Errore del parser (SVG (MathML può essere abilitato tramite plug-in del browser): risposta non valida ("Math extension cannot connect to Restbase.") dal server "http://localhost:6011/it.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle x^2+2y^2-z^2\equiv 0\mod 3}

Capitolo 5[modifica]

Trovare l'ordine moltiplicativo di:

6 mod 11 =

14 mod 25 =

13 mod 43 =

2 mod 15 =

3 mod 63 =


  • Sapendo che Errore del parser (SVG (MathML può essere abilitato tramite plug-in del browser): risposta non valida ("Math extension cannot connect to Restbase.") dal server "http://localhost:6011/it.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle 2^9\equiv 1\mod 73} e Errore del parser (SVG (MathML può essere abilitato tramite plug-in del browser): risposta non valida ("Math extension cannot connect to Restbase.") dal server "http://localhost:6011/it.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle 10^8\equiv 1\mod 73} , trovare una radice primitiva modulo 73.

1 Trovare le radici primitive modulo 23.

2 Sapendo che 2 è una radice primitiva modulo 13, trovare una radice primitiva modulo 169.


  • Costruire una tavola di indici modulo 11 a partire dalla radice primitiva 2.

Capitolo 6[modifica]

  • Dimostrare che se a è una radice primitiva modulo un primo p congruo a 1 modulo 4 allora anche p-a è una radice primitiva modulo p.

1 Elencare i residui quadratici modulo 13.

2 Calcolare: |type="{}" Errore del parser (SVG (MathML può essere abilitato tramite plug-in del browser): risposta non valida ("Math extension cannot connect to Restbase.") dal server "http://localhost:6011/it.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \left(\frac{-26}{73}\right)} = { -1


Capitolo 7[modifica]

  • Dimostrare che in Errore del parser (SVG (MathML può essere abilitato tramite plug-in del browser): risposta non valida ("Math extension cannot connect to Restbase.") dal server "http://localhost:6011/it.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \mathbb{Z}_p} ogni elemento è somma di al più due residui quadratici usando il teorema sull'esistenza di infiniti primi in ogni progressione aritmetica.