Calcolo mentale

Copertina

Svolgere alcuni calcoli matematici usando solo il proprio cervello può talvolta sembrare difficile.
Questo piccolo manuale vuole proporre alcune tecniche e metodi che possono facilitare di molto queste operazioni.

Addizioni

Quando si devono addizionare molti numeri piccoli, è comodo riunirli per formare dei multipli di 10.

Esempio

Per esempio dovendo svolgere 2 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 8, conviene scriverlo (3 + 7) + (9 + 11) + (2 + 8) + 5 = 10 + 20 + 10 + 5 = 45.
Si tratta semplicemente delle proprietà commutativa e associativa dell'addizione.

Sottrazioni

Conviene partire dal numero più piccolo e aggiungere man mano cercando di raggiungere dei valori più semplici (per esempio divisibili per 10) fino a quando non si ottiene l'altro numero.

Esempio

Per esempio, per sottrare 67 da 213 si parte dal numero più piccolo, 67, e si aggiunge 3, 30, 100 e 13.
Così da 67 si passerebbe a 70, poi 100, 200, e 213 - sommando i numeri che abbiamo usato vediamo che il risultato è 146.

Proprietà invariantiva

Si può applicare anche la proprietà invariantiva, cioè togliere o aggiungere lo stesso numero al minuendo e al sottraendo. Per esempio, per risolvere 152-47, basta fare (152-2)-(47-2)=150-45=105

Moltiplicazioni

Moltiplicando è molto importante scegliere le somme più semplici.

Esempio

Per esempio $251\times 325$ può sembrare una moltiplicazione piuttosto difficile, ma è più facile se scritta come $(251\times 5)+(251\times 20)+(251\times 300)$, o anche, in maniera più essenziale, come $(251\times 300)+(251\times 25)$ o meglio come $(251\times 300)+251\times 100/4$. La stessa cosa ma usando la sottrazione $251\times 92$ si può fare come $(251\times 100)-(251\times 8)$ può diventare: $25100-(251\times 10-251\times 2)=25100-(2510-502)=25100-2008=23092$

Fattorizzare

Se uno o più numeri sono facilmente divisibili, si può rendere il tutto più semplice. Per esempio $72\times 39$ può sembrare difficile, mentalmente, ma come $8\times 9\times 3\times 13$ diventa più gestibile.

Per prima cosa, metti in ordine i numeri dal più difficile da moltiplicare all'ultimo. Poi esegui le moltiplicazioni una alla volta.

1. $13\times 8=10\times 8+3\times 8=80+24=104$
2. $104\times 9=(100\times 9)+(4\times 9)=900+36=936$
3. $936\times 3=2808$

Prime cifre uguali, seconde cifre hanno somma 10

Se i numeri soddisfano questa condizioni, si può usare una tecnica molto semplice:

1. Prendiamo il numero 9 del moltiplicando e moltiplichiamolo per il suo naturale successivo (10).
2. Moltiplichiamo fra di loro le seconde cifre.
3. Mettiamo il secondo prodotto alla destra del primo per ottenere la soluzione.

Esempi:

• $98\times 92$

1. $9\times 10=90$
2. $8\times 2=16$
3. $9016\$

• $67\times 63$

1. $6\times 7=42$
2. $7\times 3=21$
3. $4221\$

• $115\times 115$

1. $11\times 12=132$
2. $5\times 5=25$
3. $13225\$

Fattori appena sopra 100

Se i numeri sono di poco superiori a 100 e le ultime due cifre di entrambi danno un prodotto inferiore a 100, possiamo usare un'altra tecnica.

Esempio

• $103\times 124$ test: $3\times 24=72$, che è minore di 100, quindi questa tecnica può essere usata.
• $117\times 112$ test: $17\times 12=204$, che è maggiore di 100, e quindi la tecnica non può essere usata.

Se questo test dà esito positivo (prodotto ultime due cifre < 100), allora il risultato della moltiplicazione sarà uguale a...

1[somma delle due ultime cifre][prodotto delle ultime due cifre]

Esempi

• $103\times 102$ = 1[03+02][03x02] = 1[05][06] = 10.506
• $108\times 109$ = 1[8+9][8x9] = 1[17][72] = 11.772
• $105\times 115$ = 1[5+15][5x15] = 1[20][75] = 12.075
• $132\times 103$ = 1[32+3][32x3] = 1[35][96] = 13.596

Per numeri appena sopra 200, 300, 400 e così via la formula è un po' più complessa:

[prodotto prime cifre][(somma ultime due cifre] $\times$prima cifra][prodotto ultime due cifre]

Se nella formula [(somma ultime due cifre] $\times$prima cifra] ho un riporto di 1 devo sommarlo al [prodotto prime cifre]. Esempio 433 x 401 = [4x4][(33+1)x4][33x1] = [16][34x4][33] = [16]+[1][36][33] = 173.633

Esempi

• 215 $\times$204 = [2x2][(15+4)x2][15x4] = [4][19x2][60] = [4][38][60] = 43.860
• 417 $\times$403 = [4x4][(17+3)x4][3x17] = [16][20x4][51] = [16][80][51] = 168.051

Per numeri appena sopra 1000, 2000, 3000 e cosi via, si fa così:

[prodotto prime cifre]0[(somma ultime due cifre) $\times$prima cifra]0[prodotto ultime due cifre]

Esempi:

• 2.008 $\times$2.009 = [2x2]0[(8+9)x2]0[8x9] = [4]0[17x2]0[72] = [4]0[34]0[72] = 4.034.072
• 3.005 $\times$3.007 = [3x3]0[(5+7)x3]0[7x5] = [9]0[12 $\times$3]0[35] = [9]0[36]0[35] = 9.036.035
• 5.004 $\times$5.006 = [5x5]0[(4+6)x5]0[6x4] = [25]0[10x5]0[24] = [25]0[50]0[24] = 25.050.024

Verticale e diagonale

Se i moltiplicatori non hanno più di due cifre ciascuno, si può usare questa tecnica.

Essendo la moltiplicazione $AB\times CD$, e facendo un esempio con $38\times 25$, il prodotto viene formato così:

unità

prodotto delle unità dei moltiplicatori, quindi $B\times D=8\times 5=40$, che diventa 0 unità con 4 decine di riporto.

decine

somma dei prodotti diagonali, decine del primo moltiplicatore per unità del secondo e viceversa, quindi AD + BC, cioè $3\times 5+8\times 2=15+16=31$, +4 per il riporto = 35 che si scrive come 5 con 3 centinaia di riporto.

centinaia

prodotto delle decine dei moltiplicatori, quindi $A\times C=3\times 2=6$, +3 per il riporto = 9.

La soluzione in questo esempio sarà 950.

La tecnica è quindi:

A B x
C D =
-----
(A $\times$C) $\times$100 + (AD + BC) $\times$10 + (B $\times$D).

Da questo si capisce anche l'origine del nome.

Elevare al quadrato

Questa tecnica può rilevarsi utile per numeri vicino alle potenze di 10:

1. Scegliere un numero da quadrare.
2. Scegliere una base, ovvero una potenza di 10 il più possibile vicina al numero.
3. Notare la differenza fra il numero da quadrare e la base.
4. Aggiungere questa differenza al numero e moltiplicare il risultato per la base.
5. Elevare al quadrato la differenza di prima, sommarla al numero di sopra.
6. Quello ottenuto è il numero al quadrato.

Esempi

• Numero da quadrare: 17
  1. Base: 10 ($10^{1}$)
  2. Differenza fra 17 e 10: 7
  3. Aggiungere 7 a 17 (=24), moltiplicare per 10: = 240
  4. Elevare al quadrato 7 e sommarlo a 240: (49 + 240) = 289
• Numero da quadrare: 98
  1. Base: 100 ($10^{2}$)
  2. Differenza fra 98 e 100: -2
  3. Aggiungere -2 a 98 (=96), moltiplicare per 100:$(96\times 100)$ = 9.600
  4. Elevare al quadrato -2 e sommarlo a 9600: (4 + 9.600) = 9.604

Quadrati di numero con 5 come ultima cifra

• Prendere il numero formato dalle cifre prima di questo ultimo 5.
• Sommargli il suo quadrato e porre 25 alla sua destra.

Esempi

• $35^{2}$ = ((3$\times$3)+3)25 = 1.225
• $75^{2}$ = ((7$\times$7)+7)25 = 5.625
• $115^{2}$ = ((11$\times$11)+11)25 = 13225

Variante

Un altro metodo (più semplice) è il seguente:

• Si prende il numero delle decine e si moltiplica per il suo successivo.
• Al risultato si aggiunge 25.

Esempi

• $65^{2}$ =
  1. si prende il 6 e si moltiplica per il suo successivo che è 7 ottenendo $6\times 7=42$
  2. al numero 42 ottenuto si aggiunge 25 e si ottiene 4225 (che è $65^{2}$)
• Altro esempio: $95^{2}=9\times 10=90$; a 90 aggiungo 25 e ottengo 9025 che è $95^{2}$

Arrotondare

Una delle cose più facili è vedere se ci sono numeri che possono rendere il tutto più semplice.
Per esempio, dovendo svolgere 251 $\times$ 325, notiamo che il numero 251 è prossimo a 250. Quindi si può calcolare (325 $\times$ 250) + 325. Poiché 250 è 1/4 di 1.000, moltiplicare per 250 significa aggiungere tre zeri per poi dividere per 4, quindi abbiamo 325.000/4, che si può svolgere dimezzando 2 volte il numero, che diventa prima 162.500 e poi 81.250.
Aggiungendo il 325 di prima, abbiamo 81.575. Questo metodo può sembrare complicato, ma con un po' di pratica è molto più semplice che quello 'classico'.

Divisioni

Ci sono molte possibili tecniche, quelle di seguito indicate sono solo alcune.
Tutti i numeri sono prodotti di numeri primi. Se si sta effettuando una divisione, si può sfruttare questa proprietà. Per esempio 100/24 è uguale a 100 diviso ($2\times 2\times 2\times 3$), è quindi si può svolgere dimezzando 100 per tre volte, per poi dividerlo per 3.
Ovviamente questo significa dover fare più passaggi, ma saranno comunque più semplici.
100/2 -> 50, /2 -> 25, /2 -> 12.5, /3 = ~4.16

Un'altra tecnica, quando devi prima moltiplicare e poi dividere, svolgi prima la divisione, magari scomponendola in più operazioni, e poi moltiplicare.
In questo modo eviti che i numeri diventino troppo grandi e quindi difficili da gestire.
Per esempio, dovendo svolgere $(18\times 115)/15$, è molto più comodo dividere 115 per 5(=23) e 18 per 3(=6).
Dividere entrambi i moltiplicandi per 5 e 3 è valido, perché 5 $\times$ 3 = 15.
A questo punto, moltiplicando 23 $\times$ 6, otteniamo 138, che è il quoziente di questa divisione.

Stime veloci

Il metodo migliore per fare una stima mentale veloce di un calcolo è arrotondare a una o due cifre significative per poi utilizzare le operazioni tipiche.
Quindi 1.241 $\times$ 15.645 vale, in maniera approssimativa, come 1.200 $\times$ 16.000=19.200.000, che è un valore ragionevolmente vicino al prodotto corretto, 19.415.445.

Un metodo ancora più performante, consiste nell'utilizzare i logaritmi, che trasformano moltiplicazioni in addizioni, divisioni in sottrazioni, potenze e radici in moltiplicazioni e divisioni. Tuttavia tale tecnica richiede la conoscenza delle tavole logaritmiche e dei relativi metodi.

Altre tecniche di calcolo mentale

Una delle tecniche più utili è la memorizzazione.
Può sembrare una perdita di tempo memorizzare alcuni valori matematici, come quadrati e cubi perfetti, fattorizzazioni prime o equivalente decimali di frazioni(come 1/7 = 0,1428...), ma questo può aumentare di molto la propria velocità di calcolo.
Per esempio, risolvere 1024/32 è molto facile se si sa che è la stessa cosa di ${\frac {2^{10}}{2^{5}}}$, che per le proprietà delle potenze ci da $2^{5}=32$.

Il modo migliore per memorizzare questi valori è usarli costantemente, ed è quindi evidente che la pratica e l'esercizio sono fondamentali.