Fisica matematica/Vettori tangenti

Sia $M$ una varietà. Si può definire un vettore tangente ad $M$ in tre modi differenti. Si può provare che queste definizioni sono tra loro equivalenti.

Prese due curve qualsiasi $\gamma$ e $\gamma '$ introduciamo la seguente relazione di equivalenza:

$\gamma \sim \gamma '\leftrightarrow \left\{{\begin{matrix}\gamma (0)=\gamma '(0)\\{\frac {d}{dt}}(f\circ \gamma )(0)={\frac {d}{dt}}(f\circ \gamma ')(0),{\mbox{ }}\forall f\in {\mathfrak {F}}(M)\end{matrix}}\right.$

Definizione 1

Un vettore tangente in $p\in M$ è una classe di equivalenza $[\gamma ]$ di curve basate in $p$, cioè una classe di equivalenza tale che $\forall \gamma '\in [\gamma ],\gamma '(0)=p$

Definizione 2

Un vettore tangente in $p\in M$ è una derivazione sulle funzioni differenziabili:

$v:{\mathfrak {F}}(M)\rightarrow {\mathfrak {F}}(M):f\rightarrow v(f)$

lineare che soddisfa la regola di Leibniz, cioè $\forall f,g\in {\mathfrak {F}}(M)$:

$\left\{{\begin{matrix}v(f+g)=v(f)+v(g)\\v(fg)=v(f)g(p)+f(p)v(g)\end{matrix}}\right.$

Definizione 3

Un vettore tangente nel punto $p\in M$ è una classe di equivalenza di terne $(U,x^{i},v^{i})$, dove $(U,x^{i})$ è una carta locale, rispetto alla relazione di equivalenza:

$(U,x^{i},v^{i})\sim (U',x'^{i'},v'^{v'})\leftrightarrow v'^{i'}=\left({\frac {\partial x'^{i'}}{\partial x^{i}}}\right)_{p}v^{i}$