Fondamenti di automatica/Modelli di sistemi comuni

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Fondamenti di automatica
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  6. Controllo di sistemi lineariFondamenti di automatica/Controllo di sistemi lineari

Modelli di sistemi comuni[modifica]

Amplificatore[modifica]

Consiste in un unico elemento che ha guadagno costante

Ritardo di tempo[modifica]

Un sistema ritardo di tempo [1] [2] è usato per rappresentare la non immediata risposta dei sistemi reali. Un sistema che ritarda la risposta di secondi è rappresentato dalla funzione di trasferimento

Un ritardo puro non introduce variazioni di ampiezza ma diminuisce linearmente la fase al crescere di [3] ed ha effetti negativi sulla stabilità di un sistema in anello chiuso.

È possibile approssimare il ritardo con funzioni razionali fratte scrivendo la funzione esponenziale come serie di Mc Laurin se è sufficientemente piccolo

Integratore[modifica]

Un sistema integratore [4] ha un solo polo nell'origine

Derivatore[modifica]

Un sistema derivatore [5] ha un solo zero e nessun polo,

non è quindi un sistema causale, ma esistono sistemi reali che si comportano approssimativamente come derivatori ideali, ovvero sistemi del primo ordine (o di ordine superiore) con poli dominanti a frequenze elevate ed un solo zero a bassa frequenza.

Sistemi del primo ordine[modifica]

Un sistema del primo ordine ha un solo polo e al massimo uno zero

Dove è detto tempo caratteristico del sistema.

Risposta al gradino[modifica]

La risposta al gradino di un sistema del primo ordine generico [6] può essere calcolata esplicitamente; ha un andamento esponenziale

;

la velocità di risposta del sistema dipende dalla sua costante di tempo , il transitorio si può considerare esaurito dopo circa cinque costanti di tempo; la presenza di uno zero influenza il valore iniziale della risposta e può causare una sovraelongazione iniziale se .

I parametri della risposta al gradino sono:

  • tempo di salita:

  • tempo di ritardo:

  • tempo di assestamento

Sistemi del secondo ordine[modifica]

Consideriamo un sistema che abbia due poli e nessuno zero. Sono di particolare interesse solo i sistemi con poli stabili complessi coniugati; ci sono altri sistemi con due poli, ma o sono instabili oppure si possono ricondurre a somma di sistemi del primo ordine.

Se i poli sono complessi coniugati negativi stabili, questi valgono

Parametri caratteristici[modifica]

I simboli usati nella funzione di trasferimento del sistema di secondo grado precedente significano: [7]

  • :

pulsazione naturale non smorzata, modulo dei poli se questi sono complessi coniugati [8]

  • :

smorzamento, opposto del coseno della fase dei poli se questi sono complessi coniugati negativi

  • :

fattore di smorzamento, parte reale dei poli

  • :

pulsazione smorzata, parte immaginaria dei poli

il tipo dei poli dipende dallo smorzamento

  • : due poli reali instabili, se coincidenti: sistema instabile
  • : due poli complessi coniugati instabili: sistema instabile
  • : due poli immaginari puri: sistema criticamente smorzato
  • : due poli positivi complessi coniugati stabili: sistema smorzato (è questo il caso di maggiore interesse)
  • : due poli positivi reali stabili, se coincidenti: sistema sovrasmorzato

Per i sistemi smorzati con smorzamento esiste un picco di risonanza [9] il cui valore dipende dallo smorzamento in corrispondenza della frequenza di risonanza L'entità del picco di risonanza è inversamente proporzionale allo smorzamento. Se lo smorzamento è maggiore di allora e

La banda [10] di un sistema smorzato del secondo ordine è

Risposta al gradino dei sistemi smorzati[modifica]

La risposta di un sistema ad un ingresso gradino unitario o risposta al gradino [11] [12] può essere usata per valutare le prestazioni di un sistema

  • Sovraelongazione massima:

[13] Se il sistema è smorzato () la risposta al gradino ha un comportamento oscillatorio periodico con massimi e minimi ai tempi per intero, il valore della sovraelongazione dipende solo dallo smorzamento ed è il tempo in cui si raggiunge il massimo è

  • Tempo di ritardo:

[14] Si calcola un valore approssimato del tempo necessario alla risposta a raggiungere la metà del valore di regime

  • Tempo di salita:

[15] Si calcola un valore approssimato del tempo necessario alla risposta ad andare dal 10\% al 90\% del suo valore di regime

  • Tempo di assestamento:

[16] si calcola un valore approssimato del tempo dopo cui la risposta non differisce di più del 5\% dal valore di regime

Se si desidera un assestamento al del valore di regime, si considera


Relazioni tra i parametri[modifica]

Esistono delle dipendenze tra i parametri caratteristici del sistema e i parametri della sua risposta al gradino [17]

  • Al crescere di la distanza dei poli dall'origine aumenta
  • Al crescere di diminuisce l'angolo tra i poli e l'asse reale negativo rispetto all'origine
  • Al crescere di il tempo di ritardo diminuisce e il sistema risponde più rapidamente
  • Al crescere di il tempo di ritardo aumenta e il sistema risponde più lentamente
  • La banda è direttamente proporzionale alla pulsazione naturale non smorzata e inversamente proporzionale al tempo di salita ,

per cui aumentando la banda il sistema risponde più rapidamente

  • Al crescere del picco di risonanza aumenta la sovraelongazione massima

Riduzione dell'ordine dei sistemi[modifica]

Poli dominanti[modifica]

Si possono trascurare in fase di valutazione delle specifiche poli o zeri a frequenze molto elevate rispetto agli altri \vedilibro{rif:k}{422, sezione 7.8: Dominant poles of transfer function}

Note[modifica]

  1. Fondamenti di controlli automatici di Paolo Bolzern, Riccardo Scattolini, Nicola Schiavoni; McGraw-Hill, prima edizione del marzo 1998; pag. 105, sezione 4.2.5: Ritardo di tempo
  2. Automatic Control Systems di Benjamin C. Kuo; Prentice Hall, settima edizione 1995; pag. 189, sezione 4-8: Systems with transportation lag
  3. Automatic Control Systems di Benjamin C. Kuo; Prentice Hall, settima edizione 1995; pag. 881, Bode plot: Pure time delay
  4. Fondamenti di controlli automatici di Paolo Bolzern, Riccardo Scattolini, Nicola Schiavoni; McGraw-Hill, prima edizione del marzo 1998; sezione 4.3.3: Integratore
  5. Fondamenti di controlli automatici di Paolo Bolzern, Riccardo Scattolini, Nicola Schiavoni; McGraw-Hill, prima edizione del marzo 1998; pag. 107, sezione 4.3.2: Derivatore ideale
  6. Fondamenti di controlli automatici di Paolo Bolzern, Riccardo Scattolini, Nicola Schiavoni; McGraw-Hill, prima edizione del marzo 1998; pag. 112, sezione 4.4.4: Sistemi del primo ordine
  7. Automatic Control Systems di Benjamin C. Kuo; Prentice Hall, settima edizione 1995; pag. 390, figura 7.15
  8. Fondamenti di controlli automatici di Paolo Bolzern, Riccardo Scattolini, Nicola Schiavoni; McGraw-Hill, prima edizione del marzo 1998; pag. 108, sezione 4.3.5: Pulsazione naturale e smorzamento
  9. Automatic Control Systems di Benjamin C. Kuo; Prentice Hall, settima edizione 1995; pag. 544, sezione 9-2-1: Resonant peak and resonant frequency
  10. Automatic Control Systems di Benjamin C. Kuo; Prentice Hall, settima edizione 1995; pag. 547, sezione 9-2-2: Bandwidth
  11. Automatic Control Systems di Benjamin C. Kuo; Prentice Hall, settima edizione 1995; pag. 387, sezione 7-5: Transient response of a prototype second-order system
  12. Fondamenti di controlli automatici di Paolo Bolzern, Riccardo Scattolini, Nicola Schiavoni; McGraw-Hill, prima edizione del marzo 1998; pag. 119, sezione 4.4.5 parte terza: Sistemi con solo poli complessi coniugati
  13. Automatic Control Systems di Benjamin C. Kuo; Prentice Hall, settima edizione 1995; pag. 394, sezione 7-5-3: Maximum overshoot
  14. Automatic Control Systems di Benjamin C. Kuo; Prentice Hall, settima edizione 1995; pag. 396, sezione 7-5-4: Delay time and rise time
  15. Automatic Control Systems di Benjamin C. Kuo; Prentice Hall, settima edizione 1995; pag. 396, sezione 7-5-4: Delay time and rise time
  16. Automatic Control Systems di Benjamin C. Kuo; Prentice Hall, settima edizione 1995; pag. 398, sezione 7-5-5: Settling time
  17. Automatic Control Systems di Benjamin C. Kuo; Prentice Hall, settima edizione 1995; pag. 550, figura 9-7