Geometria per scuola elementare/Frattali

Geometria per scuola elementare
Una dimostrazione di irrazionalità	Frattali	Cos'altro ancora?

Introduzione

Tutte le costruzioni considerate finora avevano una caratteristica comune: tutte cessavano dopo un numero finito di passi, un requisito che sembrerebbe necessario in un campo della matematica in cui si utilizza la riga e il compasso.

Tuttavia, se lasciamo cadere la limitazione del numero finito di passi, possiamo giungere a nuove ed interessanti figure geometriche. In questo capitolo ne introdurremo due che non fanno parte degli Elementi di Euclide ma che sono derivate da sviluppi molto successivi.

L'insieme di Cantor

Per una panoramica sull'insieme di Cantor sono disponibili articoli sulle wikipedia in varie lingue:

• Insieme di Cantor
• Cantor set at wikipedia on which this section is based.
• Ensemble de Cantor

L'Insieme di Cantor fu introdotto dal matematico tedesco Georg Cantor ed è definito togliendo ripetutamente la terza parte di un segmento, quella centrale.

Si comincia a togliere la terza parte centrale dell'intervallo [0, 1], ottenendo [0, 1/3] ∪ [2/3, 1]. Poi si rimuovono le "terze parti centrali" di tutti i segmenti che rimangono. Il processo viene continuato all'infinito. Quello che rimane dopo tutte le infinite rimozioni è definito come Insieme di Cantor

Cos'è l'insieme di Cantor

Secondo la nostra definizione l'insieme di Cantor è formato dai punti che rimangono fuori dal processo di rimozione ripetuto all'infinito.

Si può osservare ad esempio che ogni passo lascia dietro di sé 2/3 della lunghezza lasciata dal passo precedente, so quello che rimane è 2/3 × 2/3 × 2/3 × ..., un prodotto che, continuato all'infinito, diventerà sempre più piccolo spingendosi fino a al limite di 0.

Un latro modo è calcolare la proporzione tra ciò che è stato tolto è ciò che è rimasto calcoliamo la lunghezza degli intervalli rimossi.

Il totale degli intervalli rimossi è dato dalla serie geometrica:

${\frac {1}{3}}+{\frac {2}{9}}+{\frac {4}{27}}+{\frac {8}{81}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {2^{n}}{3^{n+1}}}={\frac {1}{3}}\left({\frac {1}{1-{\frac {2}{3}}}}\right)=1.$

Così quello che rimane, in rapporto a quello che si è tolto è 1 – 1 = 0.

Da questi calcoli si potrà pensare che non sia rimasto nulla del segmento originario — dopo tutto, la somma di quello che è tolto è uguale alla lunghezza dell0intervallo originario. Tuttavia se guardiamo più da vicino il processo, ci accorgiamo che qualcosa rimane comunque, perché rimuovere di volta in volta il "terzo centrale" di ciascun intervallo comporta il rimuovere segmenti aperti, cioè segmenti privi dei punti estremi. Così quando rimuoviamo il segmento (1/3, 2/3) dall'intervallo originario [0, 1] ci lasciamo dietro i punti 1/3 e 2/3. I passi successivi non rimuovono né questi né gli altri punti estremi, perché quello che si rimuove è sempre un intervallo interno ad un altro intervallo rimasto. Per questo possiamo essere certi che l'insieme di Cantor è vuoto.

L'insieme di Cantor è un frattale

L'insieme di Cantor è il prototipo di quelli che, in matematica, si chiamano frattali. È autosimilare, cioè conserva la sua forma a qualsiasi scala di ingrandimento lo si osservi: se affianchiamo due copie distanziate dell'insieme e rimpiccioliamo il tutto di un fattore tre, quello che otteniamo è uguale all'insieme di partenza.

La curva di Koch

A Un esempio della curva di Koch e della autosimilarità che si conserva all'infinito quando la si ingrandisce

Per una panoramica sulla curva di Koch si vedano gli articoli su wikipedia:

• Curva di Koch

La curva di Koch è uno dei primi esempi di curve frattali che siano mai stati descritti. La sua pubblicazione è avvenuta nel 1904 ad opera del matematico svedese Helge von Koch. È più conosciuta nella forma del fiocco di neve di Koch (o stella di Koch) praticamente la stessa cosa della curva eccetto il fatto che si parte da un triangolo equilatero invece che da un segmento.

Per figurarsela partiamo da un segmento e procediamo modificando i tutti i segmenti nel modo seguente:

1. dividiamo il segmento in tre parti uguali.
2. disegniamo un triangolo equilatero che ha la sua base sulla parte centrale che viene fuori dal passaggio precedente.
3. rimuoviamo la base del triangolo del passo (la parte centrale del primo passo)

Dopo averlo fatto dovremmo avere qualcosa di simile a questo:

Si ci avvicina alla curva di Koch come limite dei passi precedenti ripetuti all'infinito.

La curva di Koch, costruita partendo dal segmento, ha una lunghezza infinita perché ogni passo ne fa aumentare la lunghezza di un terzo. Partendo dal segmento unitario, dopo n passi la lunghezza sarà (4/3)ⁿ.

L'area racchiusa dalla curva di Koch a fiocco di neve è compresa in uno spazio limitato e non può essere che finita (più precisamente è 8/5 di quella del triangolo iniziale): così abbiamo un perimetro infinito che racchiude un'area finita.