Macroeconomia/Rapporto Debito-PIL

Trattazione matematica del rapporto debito/PIL

Debito pubblico in percentuale del PIL, evoluzione dal 1995 per Stati Uniti, Giappone e maggiori economie europee. Dati OECD.

La seguente equazione alle differenze relativa al rapporto debito/PIL mostra come il valore nominale del debito pubblico al tempo t sia uguale al valore nominale del debito pubblico dell'anno precedente moltiplicato per (1 + i), dove i è il tasso di interesse nominale dei titoli di stato più il disavanzo primario nell'anno considerato (pari alla differenza tra le uscite e le entrate statali, esclusa la spesa per interessi):,,

$B_t=B_{t-1}(1+i)+D_t$

Dividendo l'equazione per il PIL $Y_t$ e ponendo che l'incremento del PIL dal tempo t-1 al tempo t sia pari a 1+n (essendo n il tasso di crescita del PIL nominale), si ottiene l'equazione alle differenze $b_t$:

$\frac{B_t}{Y_t}=\frac{B_{t-1}}{Y_t}(1+i)+\frac{D_t}{Y_t}$

$\frac{B_t}{Y_t}=\frac{\frac{B_{t-1}}{Y_{t-1}}}{\frac{Y_t}{Y_{t-1}}}(1+i)+\frac{D_t}{Y_t}$

Ora, assumendo costante il rapporto tra disavanzo primario e PIL, si ha:

$b_t=b_{t-1}\frac{1+i}{1+n}+d$

Calcolando $b_1$ si ottiene:

$b_1=b_0\frac{1+i}{1+n}+d$

Calcolando $b_2$ si ottiene:

$b_2=b_1\frac{1+i}{1+n}+d=b_0{\left(\frac{1+i}{1+n}\right)}^2+\left(\frac{1+i}{1+n}\right)d+d$

Calcolando $b_3$ si ottiene:

$b_3=b_2\frac{1+i}{1+n}+d=b_0{\left(\frac{1+i}{1+n}\right)}^3+{\left(\frac{1+i}{1+n}\right)}^{2}d+\left(\frac{1+i}{1+n}\right)d+d$

Calcolando $b_t$ si ottiene:

$b_t=b_0{\left(\frac{1+i}{1+n}\right)}^t+{\left(\frac{1+i}{1+n}\right)}^{t-1}d+\mathrm{....}+{\left(\frac{1+i}{1+n}\right)}^{3}d+{\left(\frac{1+i}{1+n}\right)}^{2}d+\left(\frac{1+i}{1+n}\right)d+d$

Posto $K:=\left(\frac{1+i}{1+n}\right)$ e posto:

$S_n:={\left(\frac{1+i}{1+n}\right)}^{t-1}d+\mathrm{....}+{\left(\frac{1+i}{1+n}\right)}^{3}d+{\left(\frac{1+i}{1+n}\right)}^{2}d+\left(\frac{1+i}{1+n}\right)d+d$

si ha:

$S_n:=K^{t-1}d+\mathrm{....}+K^{3}d+K^{2}d+Kd+d$

Moltiplicando $S_n$ per -K si ha:

$-S_{n}K=-K^{t}d-\mathrm{....}-K^{4}d-K^{3}d-K^{2}d-dK$

Sommando membro a membro le due equazioni si ottiene:

$S_n-S_{n}K=-K^{t}d+d$ da cui si ricava:

$S_n=\frac{1-K^t}{1-K}d$

Pertanto si ha:

$b_t=K^t{b}_0+\frac{1-K^t}{1-K}d={\left(\frac{1+i}{1+n}\right)}^t{b}_0+\frac{(1-{\left(\frac{1+i}{1+n}\right)}^t)}{1-\frac{1+i}{1+n}}d$

che risulta uguale a:

$b_t={\left(\frac{1+i}{1+n}\right)}^t[b_0-d\left(\frac{1+n}{n-i}\right)]+d\left(\frac{1+n}{n-i}\right)$

Ottenuta la successione $b_t$ è possibile sapere quale sarà il rapporto debito/PIL dopo 1 anno, 2 anni, ..., t anni conoscendo $b_0$, i, n e d.

Per valutare in quali casi il debito pubblico in rapporto al PIL è crescente o decrescente, considerato che la successione $b_t$ è definita negli anni 1, 2, .., t se si considera la funzione corrispondente definita su tutto il tempo e non relativamente ai soli anni essendo tale funziona continua su T se ne può calcolare la derivata, laddove tale funzione sarà crescente o decrescente su tutto T la relativa successione sarà crescente o decrescente relativamente ai soli anni 1, 2, .., t che rappresentano un sottoinsieme di T.

Pertanto la derivata risulta uguale a:

$\frac{\text{d}b(t)}{\text{d}t}=K^{t}log(K)(b_0-\frac{d}{1-K})$

Primo caso: (d>0 e K>1 e quindi n<i)

$d>0eK>1$ e quindi $n<i$.

Se le uscite dello Stato superano le entrate e il tasso di incremento del PIL è minore del tasso di interesse dei titoli di Stato, si ha:

$\frac{d}{1-K}<0$ e $log(K)>0$ quindi la derivata è sempre positiva per cui $b_t$ è sempre crescente e risulta

$\underset{t\to +\mathrm{\infty }}{lim}{b}_t=+\mathrm{\infty }$

Secondo caso: (d>0 e K<1 e quindi n>i)

$d>0eK<1$ e quindi $n>i$.

Se le uscite dello Stato superano le entrate ma il tasso di incremento del PIL è maggiore del tasso di interesse dei titoli di Stato, si ha:

$\frac{d}{1-K}>0$ e $log(K)<0$

quindi:

• se la derivata è positiva (ovvero per $b_0<\frac{d}{1-K}$) il rapporto debito/PIL cresce

• se la derivata è negativa (ovvero per $b_0>\frac{d}{1-K}$) il rapporto debito/PIL decresce.

Il termine $\frac{d}{1-K}=\frac{d(1+n)}{n-i}$ è uno stato stazionario, per cui affinché il debito/PIL decresca è necessario che il debito/PIL iniziale sia maggiore dello stato stazionario e ciò accade se n è sufficientemente grande rispetto a i e se il disavanzo primario è sufficientemente piccolo, in modo che il debito iniziale sia maggiore dello stato stazionario.

Inoltre essendo $\underset{t\to +\mathrm{\infty }}{lim}{b}_t=\frac{d}{1-K}$, il rapporto debito/PIL converge verso lo stato stazionario (o crescendo o decrescendo).

Terzo caso: (d<0 e K>1 e quindi n<i)

$d<0eK>1$ e quindi $n<i$.

Se le entrate dello Stato superano le uscite e se il tasso di incremento del PIL è minore del tasso di interesse dei titoli di Stato, si ha:

$\frac{d}{1-K}>0$ e $log(K)>0$

quindi

• se la derivata è positiva (ovvero per $b_0>\frac{d}{1-K}$), il rapporto debito/PIL cresce

• se la derivata è negativa (ovvero per $b_0<\frac{d}{1-K}$), il rapporto debito/PIL decresce.

Il termine $\frac{d}{1-K}=\frac{d(1+n)}{n-i}$ è uno stato stazionario, per cui, affinché il rapporto debito/PIL decresca, è necessario che il rapporto debito/PIL iniziale sia minore dello stato stazionario e ciò accade se n è quasi uguale a i e se l'avanzo primario è sufficientemente grande, in modo che il debito iniziale sia minore dello stato stazionario.

Inoltre $\underset{t\to +\mathrm{\infty }}{lim}{b}_t=+\mathrm{\infty }$ quando il rapporto debito/PIL cresce, mentre si ha che $\underset{t\to +\mathrm{\infty }}{lim}{b}_t=-\mathrm{\infty }$ quando il rapporto debito/PIL decresce; infatti calcolando la forma indeterminata del tipo $\mathrm{\infty }-\mathrm{\infty }$ si ottiene come risultato $-\mathrm{\infty }$, per cui in tal caso dopo un certo tempo il rapporto debito/PIL si annulla.

Quarto caso: (d<0 e K<1 e quindi n>i)

$d<0$ e $K<1$ e quindi $n<i$.

Se le entrate dello Stato superano le uscite e il tasso di incremento del PIL è maggiore del tasso di interesse dei titoli di Stato, si ha:

$\frac{d}{1-K}<0$ e $log(K)<0$

quindi la derivata è sempre negativa, per cui $b_t$ è sempre decrescente e risulta:

$\underset{t\to +\mathrm{\infty }}{lim}{b}_t=\frac{d}{1-K}$

per cui dopo un certo periodo di tempo il rapporto debito/PIL si annulla.

Collegamenti esterni

• Simulatore rapporto Debito-PIL