Matematica per le superiori/Derivate

La derivata è sempre relativa ad una funzione e, per come è definita, ad un suo punto specifico (c, $f(c)$). La derivata prima (si parlerà successivamente di derivate seconde, terze,...) della funzione y = $f(x)$ nel punto (c, $f(c)$) si indica con $f'(c)$.

Se una funzione viene derivata, cioè se ne calcola la derivata, in tutti i punti di un intervallo o del suo dominio, la derivata è ancora una funzione, del tipo $y=f'(x)$. Questa funzione può essere a sua volta derivata, ottenendo quella che è detta derivata seconda ed è indicata con $f''(x)$. Se questa viene di nuovo derivata, si ottiene la derivata terza ($y=f'''(x)$), la derivata quarta ($f^{IV}(x)\,$) e così via.

La derivata rappresenta la tendenza della funzione (in un punto o in un intervallo), cioè la sua tendenza ad aumentare o diminuire. Maggiore è la derivata, più il valore di f(x) tende ad aumentare. Se la derivata è negativa, f(x) tende a calare. Storicamente, il concetto di derivata di una funzione è nato dalla ricerca di una soluzione a due diversi problemi, conosciuti oggi come interpretazioni del concetto di derivata.

Interpretazione geometrica

Il problema di carattere geometrico riguarda le ricerca dell'equazione della tangente al grafico della curva $y=f(x)$ in un punto. Questo problema si riduce alla sola determinazione del coefficiente angolare della tangente cercata.

Per fare ciò, si considera un punto

$P(x_{P};f(x_{P}))\,$

ed il punto Q determinato fornendo un incremento $\Delta x$, per cui il punto Q ha coordinate

$(x_{P}+\Delta x;f(x_{P}+\Delta x))\,$

Poiché il coefficiente angolare (m) di una retta passante per due punti è:

$m_{SEC}={\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}\Rightarrow {\frac {y_{Q}-y_{P}}{x_{Q}-x_{P}}}$.

Si nota facilmente che più i due punti "si avvicinano", più la secante passante per P e Q "si avvicina" alla tangente. Quindi:

$\lim _{Q\rightarrow P}m_{SEC}=m_{TAN}\Rightarrow \lim _{\Delta x\rightarrow 0}{\frac {y_{Q}-y_{P}}{x_{Q}-x_{P}}}=\lim _{\Delta x\rightarrow 0}{\frac {f(x+\Delta x)-f(x)}{(x+\Delta x)-x}}=$

$=\lim _{\Delta x\rightarrow 0}{\frac {f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}}=f'(x)$

Quindi, la derivata rappresenta il coefficiente angolare della tangente al grafico di $y=f(x)$ in un punto. Si dimostra che la derivata rappresenta la tangente trigonometrica dell'angolo formato dalla tangente nel punto con il semiasse positivo delle x.

Interpretazione cinematica

Il secondo problema legato allo sviluppo del concetto di derivata riguarda la determinazione della velocità di un corpo in moto: considerato l' equazione del moto di un corpo, cioè S(t) essa può essere rappresentata su un grafico cartesiano, nelle cui ascisse è rappresentato il tempo e nelle cui ordinate è rappresentato lo spostamento. Perciò S(x) è una qualsiasi funzione del tipo f(x).

Il problema risiede nel determinare la velocità del corpo dopo un dato tempo, cioè in un certo punto

$P(x_{P};f(x_{P}))\,$

Per fare ciò, si può considerare un punto Q di ascissa $x_{P}+\Delta x$ e, quindi, di ordinata $f(x+\Delta x)$ e poi calcolare la velocità con la formula

$v_{M}={\frac {S_{Q}-S_{P}}{t_{Q}-t_{P}}}$

dove S e t indicano lo spostamento nel punto indicato a pedice. Questa, però è la velocità media sostenuta nel percorso fra P e Q. Il problema era calcolare la velosità istantanea, cioè nel solo punto P. Questo valore può essere approssimato in modo sempre migliore diminuendo la distanza $\Delta x$ fra le ascisse di P e Q. Perciò:

$\lim _{Q\rightarrow P}v_{M}=v_{i}\Rightarrow \lim _{\Delta x\rightarrow 0}{\frac {S_{Q}-S_{P}}{x_{Q}-x_{P}}}=\lim _{\Delta x\rightarrow 0}{\frac {f(x+\Delta x)-f(x)}{(x+\Delta x)-x}}=$

$=\lim _{\Delta x\rightarrow 0}{\frac {f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}}=f'(x)$

Significato

Come si evince dalla definizione data nei due problemi storici, la derivata rappresenta il limite del rapporto incrementale ${\frac {\Delta y}{\Delta x}}$. Infatti, ${\frac {\Delta y}{\Delta x}}$ rappresenta il tasso di variazione medio della funzione nell' intervallo $\Delta x$, mentre $\lim _{\Delta x\rightarrow 0}{\frac {\Delta y}{\Delta x}}$ rappresenta il tasso di variazione istantaneo della funzione nel punto, cioè la sua tendenza in quel punto.

Per quanto riguarda lo studio di funzioni, la derivata prima di una funzione in un punto rappresenta la sua monotonia in quel punto, cioè la sua crescenza o decrescenza. In particolare, negli intervalli in cui la derivata prima è positiva, la funzione è crescente; nei punti in cui $f'(x)<0$ la funzione è decrescente.

Punti stazionari e non derivabili

Si dicono punti stazionari di una funzione tutti e soli i punti in cui la derivata prima è 0.

Si dicono punti (o intervalli) non derivabili tutti e soli i punti della funzione in cui: la derivata assume valore infinito, non esiste il limite del rapporto incrementale per $\Delta x\rightarrow 0$ oppure il limite da destra (per eccesso) è diverso dal limite da sinistra(per difetto). In questi punti la funzione ha un comportamento particolare.

Nei punti stazionari, la funzione può avere un punto di massimo (relatico o assoluto), un punto di minimo (relativo o assoluto) o un punto di flesso a tangente orizzontale.

I punti di massimo relativo sono punti in cui:

$\exists I_{C}:\forall x\in I_{C}\Rightarrow f(x)\leq f(x)$ (punti di massimo debole) oppure

$\exists I_{C}:\forall x\in I_{C}\Rightarrow f(x)<f(x)$ (punti di massimo forte)

con $I_{C}$: intorno del punto x = c

Se $I_{C}\equiv D$ (con D = dominio di $f(x)$), allora si parla di punti di massimo assoluti.

Analogamente, si dicono punti diminimo i punti in cui:

$\exists I_{C}:\forall x\in I_{C}\Rightarrow f(x)\geq f(x)$ (punti di minimo debole) oppure

$\exists I_{C}:\forall x\in I_{C}\Rightarrow f(x)>f(x)$ (punti di minimo forte)

Se $I_{C}\equiv D$ (con D = dominio di $f(x)$), allora si parla di punti di minimo assoluti.

I punti di flesso a tangente orizzontale sono punti in cui la derivata prima si annulla, ma 'prima' e 'dopo' di essi la derivata prima ha uguale segno (cioè la funzione ha uguale andamento). Quindi sono punti di flesso i punti in cui:

$\exists I_{C}:\forall (x_{1}<c)$ e $\forall (x_{2}>c)\in I_{C}\Rightarrow f'(x_{1})\cdot f'(x_{2})>0\land f'(c)=0$

Se in un punto non derivabile il limite della derivata (il limite perchè in quel punto la derivata non esiste) da destra è diverso da quello da sinistra ma sono entrambi finiti e diversi da 0, cioè:

$\lim _{x\rightarrow c^{-}}f'(x)\neq \lim _{x\rightarrow c^{+}}f'(x)$

allora nel punto x = c si ha un punto angoloso, cioè un punto nel quale sono presenti due diverse tangenti.

Se, invece, nel punto i limiti della derivata da destra e da sinistra sono entrambi infiniti positivamente o negativamente (purchè aventi entrambi lo stesso 'segno'), allora in quel punto è presente un punto di flesso a tangente verticale. Scritto in simboli:

$\lim _{x\rightarrow c^{-}}f'(x)\cdot \lim _{x\rightarrow c^{+}}f'(x)=+\infty$

Nel caso in cui invece i due limiti siano entrambi infiniti ma di diverso 'segno', allora nel punto si ha una cuspide:

$\lim _{x\rightarrow c^{-}}f'(x)\cdot \lim _{x\rightarrow c^{+}}f'(x)=-\infty$

Teoremi sulle derivate

Derivata della somma di funzioni

Date due funzioni $y=f(x)$ e $y=g(x)$ definite e derivabili in un intorno $I_{C}$ del punto c, escluso al più il punto c stesso, e considerata la funzione $y=f(x)+g(x)$, la derivata prima di tale funzione vale $y'=f'(x)+g'(x)$ per ogni $x\in I_{C}$

Detto in altri termini: la derivata della somma di funzioni è la somma delle derivate delle singole funzioni.

Col termine somma si intende, in questo caso, una somma algebrica, e quindi anche la derivata della differenza di due funzioni è la differenza delle derivate delle singole funzioni.

Dimostrazione

Per la definizione di derivata:

$\lim _{\Delta x\rightarrow 0}{\frac {(f(x+\Delta x)+g(x+\Delta x))-(f(x)+g(x))}{\Delta x}}=$

$=\lim _{\Delta x\rightarrow 0}{\left({\frac {f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}}+{\frac {g(x+\Delta x)-g(x)}{\Delta x}}\right)}=$

$=\lim _{\Delta x\rightarrow 0}{\frac {f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}}+\lim _{\Delta x\rightarrow 0}{\frac {g(x+\Delta x)-g(x)}{\Delta x}}=f'(x)+g'(x)$

c.v.d.

Può essere generalizzato per un qualsiasi numero di funzioni sommate fra di loro, quindi vale anche:

$y=f(x)+g(x)+h(x)\Rightarrow y'=f'(x)+g'(x)+h'(x)$

Caso particolare

Se $g(x)=cost\Rightarrow y=f(x)+cost\Rightarrow y'=f(x)+0=f(x)$

Perciò, una costante additiva viene eliminata nella derivazione. Infatti, come si vedrà in seguito, la derivata di una costante vale 0.

Derivata del prodotto di funzioni

Considerate due funzioni $y=f(x)$ e $y=g(x)$ definite e derivabili in un intorno $I_{C}$ del punto c, escluso al più il punto c stesso, e considerata la funzione $y=f(x)\cdot g(x)$, la derivata prima di tale funzione vale $y'=f'(x)\cdot g(x)+g'(x)\cdot f(x)$ per ogni $x\in I_{C}$

Cioè: la derivata del prodotto di più funzioni è la somma dei singoli prodotti di una funzione derivata per tutte le altre non derivate.

Può essere generalizzato a più funzioni, cioè:

$y=f(x)\cdot g(x)\cdot h(x)\Rightarrow y'=f'(x)\cdot g(x)\cdot h(x)+g'(x)\cdot f(x)\cdot h(x)+h'(x)\cdot f(x)\cdot g(x)$

Dimostrazione

Per la definizione di derivata:

$\lim _{\Delta x\rightarrow 0}{\frac {(f(x+\Delta x)\cdot g(x+\Delta x))-(f(x)\cdot g(x))}{\Delta x}}=$

Notando che: $+f(x)\cdot g(x+\Delta x)-f(x)\cdot g(x+\Delta x)=0$, il limite qui sopra si può scrivere come:

$\lim _{\Delta x\rightarrow 0}{\frac {f(x+\Delta x)\cdot g(x+\Delta x)-f(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot g(x+\Delta x)-f(x)\cdot g(x+\Delta x)}{\Delta x}}=$

$\lim _{\Delta x\rightarrow 0}{\left\{g(x+\Delta x)\cdot \left[{\frac {f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}}\right]+f(x)\cdot \left[{\frac {g(x+\Delta x)-g(x)}{\Delta x}}\right]\right\}}=$

$\lim _{\Delta x\rightarrow 0}{\left\{g(x+\Delta x)\cdot \left[{\frac {f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}}\right]\right\}}+\lim _{\Delta x\rightarrow 0}{\left\{f(x)\cdot \left[{\frac {g(x+\Delta x)-g(x)}{\Delta x}}\right]\right\}}=$

$\lim _{\Delta x\rightarrow 0}{g(x+\Delta x)}\cdot \lim _{\Delta x\rightarrow 0}{\frac {f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}}+\lim _{\Delta x\rightarrow 0}{f(x)}\cdot \lim _{\Delta x\rightarrow 0}{\frac {g(x+\Delta x)-g(x)}{\Delta x}}=$

$=f'(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot g'(x)$

c.v.d

Caso particolare

Se $g(x)=cost\Rightarrow D(f(x)\cdot cost)=cost\cdot f'(x)+f(x)\cdot 0=cost\cdot f'(x)$

Derivata del quoziente di funzioni

Considerate due funzioni $y=f(x)$ e $y=g(x)$ definite e derivabili in un intorno $I_{C}$ del punto c, escluso al più il punto c stesso, e considerata la funzione $y={\frac {f(x)}{g(x)}}$, la derivata prima di tale funzione vale $y'={\frac {f'(x)\cdot g(x)-g'(x)\cdot f(x)}{\left[g(x)\right]^{2}}}$ per ogni $x\in I_{C}$

Dimostrazione

Per la definizione di derivata:

$\lim _{\Delta x\rightarrow 0}{\frac {\left({\frac {f(x+\Delta x)}{g(x+\Delta x}}\right)-{\frac {f(x)}{g(x)}}}{\Delta x}}=\lim _{\Delta x\rightarrow 0}{\frac {\frac {f(x+\Delta x)\cdot g(x)-f(x)\cdot g(x+\Delta x)}{g(x+\Delta x)\cdot g(x)}}{\Delta x}}=$

Notando che: $+f(x)\cdot g(x)-f(x)\cdot g(x)=0$, il limite qui sopra si può scrivere come:

$\lim _{\Delta x\rightarrow 0}{{\frac {1}{g(x+\Delta x)\cdot g(x)}}\cdot {\frac {f(x+\Delta x)\cdot g(x)-f(x)\cdot g(x+\Delta x)+f(x)\cdot g(x)-f(x)\cdot g(x)}{\Delta x}}}=$

$\lim _{\Delta x\rightarrow 0}{\frac {1}{g(x+\Delta x)\cdot g(x)}}\cdot \lim _{\Delta x\rightarrow 0}{\left\{g(x)\cdot \left[{\frac {f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}}\right]-f(x)\cdot \left[{\frac {g(x+\Delta x)-g(x)}{\Delta x}}\right]\right\}}=$

${\frac {1}{\left[g(x)\right]^{2}}}\cdot \left[\lim _{\Delta x\rightarrow 0}{g(x)}\cdot \lim _{\Delta x\rightarrow 0}{\frac {f(x+\Delta x-f(x)}{\Delta x}}-\lim _{\Delta x\rightarrow 0}{f(x)}\cdot \lim _{\Delta x\rightarrow 0}{\frac {g(x+\Delta x)-g(x)}{\Delta x}}\right]=$

$={\frac {f'(x)\cdot g(x)-g'(x)\cdot f(x)}{\left[g(x)\right]^{2}}}$

c.v.d.

Derivate fondamentali

Qui di seguito viene dimostrato il valore di alcune derivate che, d' ora in poi, vengono dati per scontati.

• $y=cost$

$f'(x)=\lim _{\Delta x\rightarrow 0}{\frac {f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}}=\lim _{\Delta x\rightarrow 0}{\frac {cost-cost}{\Delta x}}=\lim _{\Delta x\rightarrow 0}{\frac {0}{\Delta x}}=0\Rightarrow y'=0$

• $y=x$

  $f'(x)=\lim _{\Delta x\rightarrow 0}{\frac {f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}}=\lim _{\Delta x\rightarrow 0}{\frac {(x+\Delta x)-x}{\Delta x}}=\lim _{\Delta x\rightarrow 0}{\frac {\Delta x}{\Delta x}}=1\Rightarrow y'=1$

• $y=x^{n}$, con $n\in N_{0}$

  $f'(x)=\lim _{\Delta x\rightarrow 0}{\frac {f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}}=\lim _{\Delta x\rightarrow 0}{\frac {(x+\Delta x)^{n}-x^{n}}{\Delta x}}=$

  $\lim _{\Delta x\rightarrow 0}{\frac {\left(x^{n}+n\cdot x^{n-1}\cdot (\Delta x)+{\binom {n}{2}}\cdot x^{n-2}\cdot (\Delta x)^{2}+...+n\cdot x\cdot (\Delta x)^{n-1}+(\Delta x)^{n}\right)-x^{n}}{\Delta x}}=$

  $\lim _{\Delta x\rightarrow 0}{\frac {(\Delta x)\cdot \left(n\cdot x^{n-1}+{\binom {n}{2}}\cdot x^{n-2}\cdot (\Delta x)+...+n\cdot x\cdot (\Delta x)^{n-2}+(\Delta x)^{n-1}\right)}{\Delta x}}=$

  $\lim _{\Delta x\rightarrow 0}{n\cdot x^{n-1}+(\Delta x)\cdot \left[{\binom {n}{2}}\cdot x^{n-2}+...+n\cdot x\cdot (\Delta x)^{n-3}+(\Delta x)^{n-2}\right]}=$

  $n\cdot x^{n-1}\Rightarrow y'=n\cdot x^{n-1}$

  Questa derivata contempla anche tutte le funzioni irrazionali (cioè del tipo $y={\sqrt[{3}]{f(x)}}$). Infatti, la radice n-esima di una qualsiasi funzione equivale alla funzione elevata alla potenza ${\frac {1}{n}}$. Cioè: ${\sqrt[{n}]{f(x)}}=\left[f(x)\right]^{\frac {1}{n}}$. In questo modo, la derivata di una radice si riduce alla derivata di una potenza.

• $y=a^{x}$, con $a\in R^{+}$

  $\lim _{\Delta x\rightarrow 0}{\frac {a^{x+\Delta x}-a^{x}}{\Delta x}}=\lim _{\Delta x\rightarrow 0}{\frac {a^{x}\cdot a^{\Delta x}-a^{x}}{\Delta x}}=\lim _{\Delta x\rightarrow 0}{\frac {a^{x}\cdot \left(a^{\Delta x-1}\right)}{\Delta x}}=\lim _{\Delta x\rightarrow 0}{\frac {a^{x}}{\Delta x}}\cdot \lim _{\Delta x\rightarrow 0}{\frac {a^{\Delta x}-1}{\Delta x}}$

  Ricordando che: $\lim _{\Delta x\rightarrow 0}{\frac {a^{\Delta x}-1}{\Delta x}}=\log _{e}a$, il limite qui sopra si può scrivere come:

  $\lim _{\Delta x\rightarrow 0}{\frac {a^{x}}{\Delta x}}\cdot \lim _{\Delta x\rightarrow 0}{\frac {a^{\Delta x}-1}{\Delta x}}=a^{x}\cdot \log _{e}a\Rightarrow y'=a^{x}\cdot \log _{e}a$

• $y=\log _{a}x$

  Ricordando:

  • la proprietà dei logaritmi per cui $\log _{c}(a)-\log _{c}(b)=\log _{c}\left({\frac {a}{b}}\right)$
  • che ${\frac {x}{x}}=1$ e $a\cdot 1=a\Rightarrow a\cdot {\frac {x}{x}}=1$
  • che l' operazione di logaritmo può essere "portata fuori" dal limite, cioè: $\lim _{x\rightarrow c}{\left(\log _{a}b\right)}=\log _{a}\left(\lim _{x\rightarrow c}{b}\right)$
  • il limite notevole: $\lim _{\Delta x\rightarrow 0}{\left(1+{\frac {\Delta x}{x}}\right)^{\frac {x}{\Delta x}}}=e$
  • la formula per il cambio di base dei logaritmi: $\log _{a}b={\frac {\log _{c}b}{\log _{c}a}}\Rightarrow \log _{a}b={\frac {1}{\log _{b}a}}$

  $\lim _{\Delta x\rightarrow 0}{\frac {\log _{a}(x+\Delta x)-\log _{a}x}{\Delta x}}=\lim _{\Delta x\rightarrow 0}{\left[{\frac {1}{\Delta x}}\cdot \log _{a}\left({\frac {x+\Delta x}{x}}\right)\right]}=\lim _{\Delta x\rightarrow 0}{\left[{\frac {1}{\Delta x}}\cdot \log _{a}\left({\frac {x+\Delta x}{x}}\right)\cdot {\frac {x}{x}}\right]}$

  $=\lim _{\Delta x\rightarrow 0}{\left[{\frac {1}{x}}\cdot {\frac {x}{\Delta x}}\cdot \log _{a}\left(1+{\frac {\Delta x}{x}}\right)\right]}=\lim _{\Delta x\rightarrow 0}{\frac {1}{x}}\cdot \lim _{\Delta x\rightarrow 0}{\left[{\frac {x}{\Delta x}}\cdot \log _{a}\left(1+{\frac {\Delta x}{x}}\right)\right]}=$

  ${\frac {1}{x}}\cdot \lim _{\Delta x\rightarrow 0}{\log _{a}\left(1+{\frac {\Delta x}{x}}\right)^{\frac {x}{\Delta x}}}={\frac {1}{x}}\cdot \log _{a}\left[\lim _{\Delta x\rightarrow 0}{\left(1+{\frac {\Delta x}{x}}\right)^{\frac {x}{\Delta x}}}\right]={\frac {1}{x}}\cdot \log _{a}e={\frac {1}{x\cdot \ln a}}\Rightarrow y'={\frac {1}{x\cdot \ln a}}$

• $y=\sin x$

  Ricordando la formula di prostaferesi: $\sin(p)-\sin(q)=2\cdot \sin \left({\frac {p-q}{2}}\right)\cdot \cos \left({\frac {p+q}{2}}\right)$

  Ricordando il limite notevole: $\lim _{x\rightarrow c}{\frac {\sin(a)}{a}}=1$

  $\lim _{\Delta x\rightarrow 0}{\frac {\sin(x+\Delta x)-\sin x}{\Delta x}}=\lim _{\Delta x\rightarrow 0}{\frac {2\cdot \sin \left({\frac {x+\Delta x-x}{2}}\right)\cdot \cos \left({\frac {x+\Delta x+x}{2}}\right)}{\frac {\Delta x}{2}}}=$

  $\lim _{\Delta x\rightarrow 0}{\frac {\sin \left({\frac {\Delta x}{2}}\right)\cdot \cos \left({\frac {2\cdot x+\Delta x}{2}}\right)}{\Delta x}}=\lim _{\Delta x\rightarrow 0}{\frac {\sin \left({\frac {\Delta x}{2}}\right)}{\frac {\Delta x}{2}}}\cdot \lim _{\Delta x\rightarrow 0}{\cos \left(x+{\frac {\Delta x}{2}}\right)}=1\cdot \cos x\Rightarrow y'=\cos x$

• $y=\cos x$

  Ricordando la formula di prostaferesi: $\cos(p)-\cos(q)=-2\cdot \sin \left({\frac {p-q}{2}}\right)\cdot \sin \left({\frac {p+q}{2}}\right)$

  Ricordando il limite notevole: $\lim _{x\rightarrow c}{\frac {\sin(a)}{a}}=1$

  $\lim _{\Delta x\rightarrow 0}{\frac {\sin(x+\Delta x)-\sin x}{\Delta x}}=\lim _{\Delta x\rightarrow 0}{\frac {-2\cdot \sin \left({\frac {x+\Delta x-x}{2}}\right)\cdot \sin \left({\frac {x+\Delta x+x}{2}}\right)}{\frac {\Delta x}{2}}}=$

  $\lim _{\Delta x\rightarrow 0}{-{\frac {\sin \left({\frac {\Delta x}{2}}\right)\cdot \cos \left({\frac {2\cdot x+\Delta x}{2}}\right)}{\Delta x}}}=\lim _{\Delta x\rightarrow 0}{-{\frac {\sin \left({\frac {\Delta x}{2}}\right)}{\frac {\Delta x}{2}}}}\cdot \lim _{\Delta x\rightarrow 0}{\sin \left(x+{\frac {\Delta x}{2}}\right)}=-1\cdot \sin x$

  $\Rightarrow y'=-\sin x$

• $y=\tan x$

  Poichè: $\tan x={\frac {\sin x}{\cos x}}$

  $\Rightarrow y'={\frac {\cos x\cdot \cos x-\sin x(-\sin x)}{\cos ^{2}x}}={\frac {\cos ^{2}x+\sin ^{2}x}{\cos ^{2}x}}={\frac {1}{\cos ^{2}x}}=1+\tan ^{2}x$